Мат ожидание по плотности распределения. Примеры решения задач. Математическое ожидание – это
В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.
В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.
1. Математическое ожидание неслучайной величины
Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
.
2. Дисперсия неслучайной величины
Если - неслучайная величина, то
3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания
, (10.2.1)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.
Доказательство.
а) Для прерывных величин
б) Для непрерывных величин
.
4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения
Если - неслучайная величина, а - случайная, то
, (10.2.2)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
,
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.
5. Математическое ожидание суммы случайных величин
Докажем, что для любых двух случайных величин и
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:
.
Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :
;
следовательно,
.
Аналогично докажем, что
,
и теорема доказана.
б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)
. (10.2.4)
Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):
;
аналогично
,
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
, (10.2.5)
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
6. Математическое ожидание линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :
где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что
, (10.2.6)
т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:
.
7. Дисп ep сия суммы случайных величин
Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:
По определению дисперсии
что и требовалось доказать.
Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
,
(10.2.10)
где
-
корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование
распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин 
.
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:
, (10.2.11)
где
двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы
величин ,
содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины , входящие в систему,
некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:
, (10.2.12)
т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
8. Дисперсия линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.
где - неслучайные величины.
Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой
, (10.2.13)
где - корреляционный момент величин , .
Доказательство. Введем обозначение:
. (10.2.14)
Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:
где - корреляционный момент величин :
.
Вычислим этот момент. Имеем:
;
аналогично
Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).
В частном случае, когда все
величины некоррелированны,
формула (10.2.13) принимает вид:
, (10.2.16)
т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.
9. Математическое ожидание произведения случайных величин
Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).
Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:
т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.
Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
. (10.2.19)
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае
, (10.2.20)
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин
Докажем, что для независимых величин
Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии
Так как величины независимы, и
При независимых величины тоже независимы; следовательно,
,
Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:
;
аналогично
.
Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:
, (10.2.23)
т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
11. Высшие моменты суммы случайных величин
В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.
1) Если величины независимы, то
Доказательство.
откуда по теореме умножения математических ожиданий
Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.
Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.25)
2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой
где - дисперсии величин и .
Доказательство совершенно аналогично предыдущему.
Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.
Величин.
Основные числовые характеристики случайных
Закон распределения плотностью характеризует случайную величину. Но часто он неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. Рассмотрим основные из них.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности:
Если дискретная случайная величина Х принимает счётное множество возможных значений, то
Причем математическое ожидание существует, если данный ряд абсолютно сходится.
Из определения следует, что M(X) дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Пример: Пусть Х – число появлений события А в одном испытании, P(A) = p . Требуется найти математическое ожидание Х .
Решение: Составим табличный закон распределения Х :
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - p | p |
Найдем математическое ожидание:
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события .
Происхождение термина математическое ожидание связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI-XVIIвв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, т.е. математическое ожидание выигрыша.
Рассмотрим вероятностный смысл математического ожидания .
Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m 1 раз значение x 1 , m 2 раз значение x 2 , и так далее, и, наконец, она приняла m k раз значение x k , причём m 1 + m 2 +…+ + m k = n .
Тогда сумма всех значений, принятых случайной величиной Х , равна x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k .
Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной Х ,равно:
так как – относительная частота значения для любого значения i = 1, …, k.
Как известно, если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближённо равна вероятности появления события , следовательно,
Таким образом, .
Вывод: Математическое ожидание дискретной случайной величины приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Рассмотрим основные свойства математического ожидания.
Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине:
М(С) = С.
Доказательство: Постоянную С можно рассматривать , которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно, М(С) =С 1= С.
Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную величину СХ , возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х :
| СХ | C | C | … | C |
| Х | … | |||
| Р | … |
Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(CX) = CM(X).
Доказательство: Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
| X | … | |||
| P | … |
Напишем закон распределения вероятностей случайной величины CX :
| СX | C | C | … | C |
| P | … |
М(CX) = C + C = C + ) = C M(X).
Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.
Определение: Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Определим произведение независимых дискретных случайных величин X и Y как дискретную случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y . Вероятности возможных значений XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.
Пусть даны распределения случайных величин X и Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Тогда распределение случайной величины XY имеет вид:
| XY | … | |||
| P | … |
Некоторые произведения могут оказаться равными. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если = , тогда вероятность значения равна
Свойство 3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X) M(Y).
Доказательство: Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения вероятностей:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Для упрощения выкладок ограничимся малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.
Составим закон распределения случайной величины XY :
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Доказательство: Докажем для трех взаимно независимых случайных величин X , Y , Z . Случайные величины XY и Z независимы, тогда получаем:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Для произвольного числа взаимно независимых случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример: Независимые случайные величины X и Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Требуется найти M(XY) .
Решение: Так как случайные величины X и Y независимы, то M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Определим сумму дискретных случайных величин X и Y как дискретную случайную величину X+Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y . Вероятности возможных значений X+Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.
Если = и вероятности этих значений соответственно равны , то вероятность (то же, что и ) равна .
Свойство 4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Доказательство: Пусть две случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Для упрощения вывода ограничимся двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное.
Составим все возможные значения случайной величины X+Y (предположим, для простоты, что эти значения различны; если – нет, то доказательство проводится аналогично):
| X+Y | ||||
| P |
Найдем математическое ожидание этой величины.
M (X+Y ) = + + + +
Докажем, что + = .
Событие X = (его вероятность P(X = ) влечет за собой событие, состоящее в том, что случайная величина X + Y примет значение или (вероятность этого события, по теореме сложения, равна ) и обратно. Тогда = .
Аналогично доказываются равенства = = =
Подставляя правые части этих равенств в полученную формулу для математического ожидания, получим:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Доказательство: Докажем для трех случайных величин X , Y , Z . Найдем математическое ожидание случайных величин X +Y и Z :
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.
Пример: Найти среднее значение суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Решение: Пусть X – число очков, которое может выпасть на первой кости, Y – на второй. Очевидно, что случайные величины X и Y имеют одинаковые распределения. Запишем данные распределений X и Y в одну таблицу:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Итак, среднее значение суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей равно 7 .
Теорема: Математическое ожидание M(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X) = np.
Доказательство: Пусть X – число наступлений события A в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Тогда, если число появлений события в первом испытании, во втором, и так далее, наконец, – число появлений события в n -ом исытании, то общее число появлений события вычисляется по формуле:
По свойству 4 математического ожидания имеем:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то
M( ) = M( )= … = M( ) = p.
Следовательно, M(X) = np.
Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна p = 0,6 . Найти среднее число попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание равно:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Итак, среднее число попаданий равно 6.
Теперь рассмотрим математическое ожидание непрерывной случайной величины.
Определение: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:
где f(x) – плотность распределения вероятностей.
Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей оси Ox, то
Предполагается, что данный несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. сходится интеграл Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -∞, а верхнего предела – к +∞.
Можно доказать, что все свойства математического ожидания дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины . Доказательство основано на свойствах определенных и несобственных интегралов.
Очевидно, чтоматематическое ожидание M(X) больше наименьшего и меньше наибольшего из возможных значений случайной величины X . Т.е. на числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от ее математического ожидания. В этом смысле, математическое ожидание M(X) характеризует расположение распределения, и поэтому его часто называют центром распределения .
Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или вообще не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.
Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Подойдём к понятию математического ожидания, сначала исходя из механической интерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть единичная масса распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , ..., x n , причём каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу из p 1 , p 2 , ..., p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X , в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:
Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?
Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:
С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.
Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.
Найти ожидаемую прибыль издателя.
Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:
| Число | Прибыль x i | Вероятность p i | x i p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всего: | 1,00 | 25000 |
Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:
.
Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.
Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:
.
Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .
Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли .
Свойства математического ожидания
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:
Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием
В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.
Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| Значение X | Вероятность |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значение Y | Вероятность |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:
Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:
.
Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y , законы распределения которых приведены в таблицах выше.
Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y , как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е (х )=Е (y )=0 получаем:
Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют
.
Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.
Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P =1 | 1000, P =0,5 | 500, P =0,5 | 500, P =0,5 |
| 0, P =0,5 | 1000, P =0,25 | 10500, P =0,25 | |
| 0, P =0,25 | 9500, P =0,25 |
Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:
В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.
У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.
Свойства дисперсии
Приведём свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:
.
Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:
,
где 
.
Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:
Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E (X ) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.
Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:
E (X ) = x 1 p + x 2 (1 − p ) = −3p + 7(1 − p ) = 4 ,
откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .
Закон распределения случайной величины:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:
D (X ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D (X ) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.
Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей . Закон распределения случайной величины:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:
M (X ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсия данной случайной величины:
D (X ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f (x ). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.
Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы . Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.
Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или .
Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .
Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.
Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:
а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).
г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).
1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$
Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end{array}$
Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.
2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.
Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:
- $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
- Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
- Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$
Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.
Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.
Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.
Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.
Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.
3. Дисперсия дискретной случайной величины.
Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.
Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:
$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$
В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.
Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:
- Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
- Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$
Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.
Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.
Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.
Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.
4. Функция распределения дискретной случайной величины.
Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.
Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$
Свойства функции распределения :
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - неубывающая.
- ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.
Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$
Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).
Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.
Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$
Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.
Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
М (Х ) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п. (7.1)
Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.
Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.
Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.
Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.
Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х - числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х . Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда
Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х - числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:
| Х | … | п | … | ||
| р | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5) п | … |
+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).
Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М (С ) = С. (7.2)
Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С ) = С ?1 = С .
2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:
М (СХ ) = С М (Х ). (7.3)
Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения
Тогда М (СХ ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С ( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п ) = СМ (Х ).
Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы .
Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y , а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.
3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M (XY ) = M (X )M (Y ). (7.4)
Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:
Следовательно, M (XY ) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X )?M (Y ).
Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.
Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.
Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).
4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ). (7.5)
Доказательство.
Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М (Х +Y ) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =
= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).
Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность - р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,
M (X + Y ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X ) + M (Y ).
Замечание . Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.
Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:
М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М (Х )=
Дисперсия .
Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y , заданные рядами распределения вида
| Х | |||
| р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| p | 0,5 | 0,5 |
Найдем М (Х ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М (Y ) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х ) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М (Y ). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.
Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D (X ) = M (X - M (X ))². (7.6)
Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Следовательно,
Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
Теорема 7.1. D (X ) = M (X ²) - M ²(X ). (7.7)
Доказательство.
Используя то, что М (Х ) - постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:
D (X ) = M (X - M (X ))² = M (X ² - 2X?M (X ) + M ²(X )) = M (X ²) - 2M (X )?M (X ) + M ²(X ) =
= M (X ²) - 2M ²(X ) + M ²(X ) = M (X ²) - M ²(X ), что и требовалось доказать.
Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y , рассмотренных в начале этого раздела. М (Х ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
М (Y ) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D (C ) = 0. (7.8)
Доказательство. D (C ) = M ((C - M (C ))²) = M ((C - C )²) = M (0) = 0.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D (CX ) = C ²D (X ). (7.9)
Доказательство. D (CX ) = M ((CX - M (CX ))²) = M ((CX - CM (X ))²) = M (C ²(X - M (X ))²) =
= C ²D (X ).
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ). (7.10)
Доказательство. D (X + Y ) = M (X ² + 2XY + Y ²) - (M (X ) + M (Y ))² = M (X ²) + 2M (X )M (Y ) +
+ M (Y ²) - M ²(X ) - 2M (X )M (Y ) - M ²(Y ) = (M (X ²) - M ²(X )) + (M (Y ²) - M ²(Y )) = D (X ) + D (Y ).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X - Y ) = D (X ) + D (Y ). (7.11)
Доказательство. D (X - Y ) = D (X ) + D (-Y ) = D (X ) + (-1)²D (Y ) = D (X ) + D (X ).
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно
Загрузка...