Приводится определение конечного предела последовательности. Рассмотрены связанные с этим свойства и эквивалентное определение. Приводится определение, что точка a не является пределом последовательности. Рассмотрены примеры, в которых доказывается существование предела, используя определение.

Содержание

См. также: Предел последовательности – основные теоремы и свойства
Основные виды неравенств и их свойства

Здесь мы рассмотрим определение конечного предела последовательности. Случай последовательности, сходящейся к бесконечности, рассмотрен на странице «Определение бесконечно большой последовательности» .

Предел последовательности - это такое число a , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N ε выполняется неравенство
| x n - a| < ε .
Здесь x n - элемент последовательности с номером n . Предел последовательности обозначается так:
.
Или при .

Преобразуем неравенство:
;
;
.

ε - окрестность точки a - это открытый интервал (a - ε, a + ε ). Сходящаяся последовательность - это последовательность, у которой существует предел . Также говорят, что последовательность сходится к a . Расходящаяся последовательность - это последовательность, не имеющая предела.

Из определения следует, что, если последовательность имеет предел a , то какую бы ε - окрестностью точки a мы не выбрали, за ее пределами может оказаться, лишь конечное число элементов последовательности, или вообще ни одного (пустое множество). А любая ε - окрестность содержит бесконечное число элементов. В самом деле, задав определенное число ε , мы, тем самым имеем число . Так что все элементы последовательности с номерами , по определению, находятся в ε - окрестностью точки a . Первые элементов могут находиться где угодно. То есть за пределами ε - окрестности может находиться не более элементов - то есть конечное число.

Также заметим, что разность вовсе не обязана монотонно стремиться к нулю, то есть все время убывать. Она может стремиться к нулю не монотонно: может то возрастать, то убывать, имея локальные максимумы. Однако эти максимумы, с ростом n , должны стремиться к нулю (возможно тоже не монотонно).

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение предела можно записать следующим образом:
(1) .

Определение, что число a не является пределом

Теперь рассмотрим обратное утверждение, что число a не является пределом последовательности.

Число a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.

Запишем это утверждение с помощью логических символов.
(2) .

Утверждение, что число a не является пределом последовательности , означает, что
можно выбрать такую ε - окрестность точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности .

Рассмотрим пример . Пусть задана последовательность с общим элементом
(3)
Любая окрестность точки содержит бесконечное число элементов. Однако эта точка не является пределом последовательности, поскольку и любая окрестность точки также содержит бесконечное число элементов. Возьмем ε - окрестность точки с ε = 1 . Это будет интервал (-1, +1) . Все элементы, кроме первого, с четными n принадлежат этому интервалу. Но все элементы с нечетными n находятся за пределами этого интервала, поскольку они удовлетворяют неравенству x n > 2 . Поскольку число нечетных элементов бесконечно, то за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов. Поэтому точка не является пределом последовательности.

Теперь покажем это, строго придерживаясь утверждения (2). Точка не является пределом последовательности (3), поскольку существует такое , так что, для любого натурального n , существует нечетное , для которого выполняется неравенство
.

Также можно показать, что любая точка a не может являться пределом этой последовательности. Мы всегда можем выбрать такую ε - окрестность точки a , которая не содержит либо точку 0, либо точку 2. И тогда за пределами выбранной окрестности будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Эквивалентное определение предела последовательности

Можно дать эквивалентное определение предела последовательности, если расширить понятие ε - окрестности. Мы получим равносильное определение, если в нем, вместо ε - окрестности, будет фигурировать любая окрестность точки a . Окрестности точки - это любой открытый интервал, содержащий эту точку. Математически окрестность точки определяется так: , где ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Тогда эквивалентное определение предела будет следующим.

Предел последовательности - это такое число a , если для любой его окрестности существует такое натуральное число N , так что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Это определение можно представить и в развернутом виде.

Предел последовательности - это такое число a , если для любых положительных чисел и существует такое натуральное число N , зависящее от и , что для всех натуральных выполняются неравенства
.

Доказательство равносильности определений

Докажем, что, представленные выше, два определения предела последовательности равносильны.

Пусть число a является пределом последовательности согласно первому определению. Это означает, что имеется функция , так что для любого положительного числа ε выполняются неравенства:
(4) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по второму определению. То есть нам нужно показать, что существует такая функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Пусть мы имеем два положительных числа: ε 1 и ε 2 . И пусть ε - наименьшее из них: . Тогда ; ; . Используем это в (5):
.
Но неравенства выполняются при . Тогда и неравенства (5) выполняются при .

То есть мы нашли такую функцию , при которой выполняются неравенства (5) для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 .
Первая часть доказана.

Теперь пусть число a является пределом последовательности согласно второму определению. Это означает, что имеется функция , так что для любых положительных чисел ε 1 и ε 2 выполняются неравенства:
(5) при .

Покажем, что число a является пределом последовательности и по первому определению. Для этого нужно положить . Тогда при выполняются неравенства:
.
Это соответствует первому определению с .
Равносильность определений доказана.

Примеры

Пример 1

Доказать, что .

(1) .
В нашем случае ;
.

.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом заданной последовательности:
.

Пример 2

С помощью определения предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Воспользуемся свойствами неравенств . Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
.

Пример 3

.

Вводим обозначения , .
Преобразуем разность:
.
Для натуральных n = 1, 2, 3, ... имеем:
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
При этом
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Пример 4

Используя определение предела последовательности доказать, что
.

Выпишем определение предела последовательности:
(1) .
В нашем случае , ;
.

Вводим положительные числа и :
.
Тогда если и , то
.

То есть, для любого положительного , мы можем взять любое натуральное число, большее или равное :
.
Тогда
при .
Это означает, что число является пределом последовательности :
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

См. также:

Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции , а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов.

За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна . И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =)

Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать.

Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи:

– Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нет-нет, вы не о том подумали =)

– И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи:

В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций , в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей , на котором я фактически уже сформулировал строгое определение.

Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?

– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что» , в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;

– для всех «эн», бОльших чем ;

– знак модуля означает расстояние , т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон.

Ну как, убийственно сложно? =)

После освоения практики жду вас в следующем параграфе:

И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия : «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».

Хорошо, распишем последовательность :

Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице».

А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный .

Примечание : у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.

Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров) , но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.

Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.

Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро , который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями , чем значительно продвинул теорию.

Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность:

Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно . Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля : .

Определение : число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности (заранее выбранной) существует натуральный номер – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерами окажутся внутри окрестности:

Или короче: , если

Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.

Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой .

Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт » – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом.

Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке .

Закрепим материал практикой:

Пример 1

Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .

Примечание : у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .

Решение : рассмотрим произвольную найдётся ли номер – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности:

Чтобы показать существование искомого номера , выразим через .

Так как при любом значении «эн» , то знак модуля можно убрать:

Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции . При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:

Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить:

Примечание : иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.

А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.

Вывод : для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение . Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать .

К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.

Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз.

Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами:

Пример 2

Решение : по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!) .

Рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, существует ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство:

Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля:

Модуль уничтожает знак «минус»:

Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать:

Перетасовка:

Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем:

Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что , то подавно будет выполнено и условие . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какого-то), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону.

Извлекаем корень:

И округляем результат:

Вывод : т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, по определению. Что и требовалось доказать .

Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство ни в коем случае нельзя ослаблять , вычитая, скажем, единицу:

Опять же условно: если номер точно подойдёт, то предыдущий может уже и не подойти.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Используя определение последовательности, доказать, что

Краткое решение и ответ в конце урока.

Если последовательность бесконечно велика , то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство . Число называют окрестностью точки «плюс бесконечность» :

Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки , оставив слева лишь конечное число членов.

Дежурный пример:

И сокращённая запись: , если

Для случая запишите определение самостоятельно. Правильная версия в конце урока.

После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно) . Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы.

Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус!

Строгое определение предела функции

Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа) , соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж) . Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.

Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена:

Такой выбор подчёркивает суть предела функции : «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение , при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.

Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.

Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют) , принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.

Предел функции по Гейне для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ) , которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)

Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность) . По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.

Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз) . Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.

Предел функции по Коши : число называется пределом функции в точке , если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой) , существует -окрестность точки , ТАКАЯ , что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки) .

Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)

Короткая запись: , если

В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.

! Внимание : если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши , пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки » . Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.

Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!) , который также называют «предел на языке »:

Пример 4

Используя определение предела, доказать, что

Решение : функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.

Примечание : величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение

Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ , что из неравенства следует неравенство .

Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство:
(разложили квадратный трёхчлен )

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х 1 , х 2 , х 3 , …х n …

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х 1 — первый член последовательности;

х 2 — второй член последовательности;

х 3 — третий член;

х n — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Арифметическая прогрессия как часть последовательностей

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии.

а 3 =19+4=23 — третий член.

а 4 =23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1

а 3 = - 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:

Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 .

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от такой, что для любого выполняется неравенство .

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые ирациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.

В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Определение

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся . Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности .

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности .

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Числовая последовательность.
Как ?

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности . Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики . Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов . Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.

Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:

Понятие числовой последовательности

Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.

Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке . Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:

С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .

Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:
называют первым членом последовательности;
– вторым членом последовательности;
– третьим членом последовательности;
…
– энным или общим членом последовательности;
…

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена , например:
– последовательность положительных чётных чисел:

Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:

Последовательность положительных нечётных чисел :

Ещё одна распространённая последовательность :

Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию . Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
…
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой

Примечание : в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.

Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: . В нашем случае:

Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.

Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии , энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель прогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.

прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность ;
прогрессия задаёт последовательность .

Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.

Прогрессию называют бесконечно убывающей , если (последние два случая).

Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:

Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:

Таким образом, члены последовательности могут повторяться . Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.

А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:

Пригласим на танец незамысловатую подругу :

Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой .

В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:

Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:


Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.

Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.

Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:

Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».

Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся , при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой . Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:

Последовательности являются бесконечно большими , поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:

Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно великА:

К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.

У последовательностей схожая судьба:

Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА :

Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно великА:

Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.

После небольшого разоблачения становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.

Факториал является бесконечно большой последовательностью:

Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.

С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:

А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы . Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:

В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров .
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.

Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.

Начнём с прогрессий:

Пример 1

Найти предел последовательности

Решение : нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:

Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .

Оформляем решение:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.

Пример 2

Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел

Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
, где – первый, а – энный член прогрессии.

Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций !

А может быть что-нибудь посложнее наподобие ? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов .

С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.

Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.

Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.

Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:

Пример 3

Найти предел последовательности

Решение : сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:

(1) В числителе дважды используем формулу .

(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.

(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).

Как видите, ничего сложного.

Пример 4

Найти предел последовательности

Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.

В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:

Пример 5

Найти предел последовательности

Решение оформим по той же схеме:

Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.

Пример 9

Найти предел последовательности