Znalezienie odległości między dwoma punktami. Zależność między współrzędnymi biegunowymi punktu a jego współrzędnymi prostokątnymi
Zgodnie z ogólnie przyjętym stanowiskiem za południk zerowy przyjmuje się ten, który przechodzi przez stare Obserwatorium Greenwich w Greenwich. Współrzędne geograficzne lokalizacji można uzyskać za pomocą nawigatora GPS. Urządzenie to odbiera sygnały satelitarnego systemu pozycjonowania w jednolitym dla całego świata układzie współrzędnych WGS-84.
Modele Navigatorów różnią się producentem, funkcjonalnością i interfejsem. Obecnie wbudowane nawigatory GPS są dostępne także w niektórych modelach telefonów komórkowych. Ale każdy model może rejestrować i zapisywać współrzędne punktu.
Odległość między współrzędnymi GPS
Aby rozwiązać problemy praktyczne i teoretyczne w niektórych branżach, konieczna jest umiejętność wyznaczania odległości między punktami za pomocą ich współrzędnych. Można to zrobić na kilka sposobów. Kanoniczna forma przedstawiania współrzędnych geograficznych: stopnie, minuty, sekundy.Przykładowo, możesz określić odległość pomiędzy następującymi współrzędnymi: punkt nr 1 - szerokość geograficzna 55°45′07″ N, długość geograficzna 37°36′56″ E; punkt nr 2 - szerokość geograficzna 58°00′02″ N, długość geograficzna 102°39′42″ E.
Najłatwiej jest użyć kalkulatora do obliczenia długości między dwoma punktami. W wyszukiwarce przeglądarki należy ustawić następujące parametry wyszukiwania: online - aby obliczyć odległość między dwoma współrzędnymi. W kalkulatorze online wartości szerokości i długości geograficznej są wprowadzane w polach zapytania dla pierwszej i drugiej współrzędnej. Podczas obliczeń kalkulator online dał wynik - 3 800 619 m.
Kolejna metoda jest bardziej pracochłonna, ale i bardziej wizualna. Należy skorzystać z dowolnego dostępnego programu do mapowania lub nawigacji. Do programów, w których można tworzyć punkty za pomocą współrzędnych i mierzyć odległości między nimi, zaliczają się następujące aplikacje: BaseCamp (nowoczesny odpowiednik programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.
Wszystkie powyższe programy są dostępne dla każdego użytkownika sieci. Na przykład, aby obliczyć odległość między dwoma współrzędnymi w Google Earth, musisz utworzyć dwie etykiety wskazujące współrzędne pierwszego i drugiego punktu. Następnie za pomocą narzędzia „Linijka” należy połączyć pierwszy i drugi znak linią, program automatycznie wyświetli wynik pomiaru i wskaże ścieżkę na zdjęciu satelitarnym Ziemi.
W przypadku podanego powyżej przykładu program Google Earth zwrócił wynik - długość odległości pomiędzy punktem nr 1 a punktem nr 2 wynosi 3 817 353 m.
Dlaczego przy określaniu odległości występuje błąd
Wszystkie obliczenia zasięgu pomiędzy współrzędnymi opierają się na obliczeniu długości łuku. Promień Ziemi bierze udział w obliczaniu długości łuku. Ponieważ jednak kształt Ziemi jest zbliżony do spłaszczonej elipsoidy, promień Ziemi zmienia się w niektórych punktach. Do obliczenia odległości pomiędzy współrzędnymi przyjmuje się średnią wartość promienia Ziemi, co daje błąd pomiaru. Im większa jest mierzona odległość, tym większy jest błąd.Twierdzenie 1. Dla dowolnych dwóch punktów i płaszczyzny odległość między nimi wyraża się wzorem:
Na przykład, jeśli podane są punkty i, to odległość między nimi wynosi:
2. Pole trójkąta.
Twierdzenie 2.
Za dowolne punkty
nie leżący na tej samej linii prostej, pole trójkąta wyraża się wzorem:
Na przykład znajdźmy obszar trójkąta utworzonego przez punkty i.
Komentarz. Jeśli pole trójkąta wynosi zero, oznacza to, że punkty leżą na tej samej linii.
3. Podział odcinka w zadanym stosunku.
Niech na płaszczyźnie będzie dany dowolny odcinek i niech
– dowolny punkt tego odcinka inny niż punkty końcowe. Nazywa się liczbę określoną przez równość postawa, w którym punkt dzieli odcinek.
Problem podziału odcinka w danej relacji polega na tym, że: dla danej relacji i danych współrzędnych punktów
i znajdź współrzędne punktu.
Twierdzenie 3.
Jeśli punkt dzieli odcinek
w związku
,
wówczas współrzędne tego punktu wyznaczają wzory: 
(1.3), gdzie są współrzędnymi punktu i są współrzędnymi punktu.
Konsekwencja: Jeśli jest środkiem odcinka
, gdzie i, następnie (1.4) (od).
Na przykład. Punkty i są przyznawane. Znajdź współrzędne punktu, który jest dwa razy bliżej niż
Rozwiązanie: Wymagany punkt dzieli odcinek
w związku od 
, Następnie 
,
, dostał
Współrzędne biegunowe
Najważniejszym po prostokątnym układzie współrzędnych jest biegunowy układ współrzędnych. Składa się z pewnego punktu zwanego Polak i emanujący z niego promień - oś polarna. Dodatkowo ustawiona jest jednostka skali do pomiaru długości odcinków. 
Niech będzie dany biegunowy układ współrzędnych i niech będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie. Niech będzie odległością od punktu
do punktu ; – kąt, o który należy obrócić oś biegunową, aby zrównać się z belką.
Współrzędne biegunowe punktu nazywane są liczbami. W takim przypadku liczba jest uważana za pierwszą współrzędną i nazywana promień biegunowy, liczba jest drugą współrzędną i jest nazywana kąt polarny.
Oznaczony przez . Promień biegunowy może mieć dowolną wartość nieujemną:. Zwykle uważa się, że kąt biegunowy zmienia się w następujących granicach: Jednak w niektórych przypadkach konieczne jest określenie kątów mierzonych od osi biegunowej zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Zależność między współrzędnymi biegunowymi punktu a jego współrzędnymi prostokątnymi.
Zakładamy, że początek prostokątnego układu współrzędnych znajduje się na biegunie, a dodatnia półoś odciętej pokrywa się z osią biegunową. 
Niech – w prostokątnym układzie współrzędnych i – w biegunowym układzie współrzędnych. Zdefiniowany – trójkąt prostokątny c. Następnie (1,5). Wzory te wyrażają współrzędne prostokątne w postaci biegunowej.
Z drugiej strony, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa i
(1.6) – wzory te wyrażają współrzędne biegunowe poprzez prostokątne.
Należy zauważyć, że wzór definiuje dwie wartości kąta biegunowego, ponieważ. Spośród tych dwóch wartości kąta wybierz ten, przy którym równości są spełnione.
Na przykład znajdźmy współrzędne biegunowe punktu ..lub, ponieważ ćwiartuję.
Przykład 1: Znajdź punkt symetryczny do punktu 
Względem dwusiecznej pierwszego kąta współrzędnych.
Rozwiązanie:
Przeciągnijmy przez punkt A bezpośredni l 1, prostopadle do dwusiecznej l pierwszy kąt współrzędnych. Pozwalać . Na linii prostej l 1 odłóż segment SA 1 , równy segmentowi AC. Trójkąty prostokątne ASO I A 1 WSPÓŁ równe sobie (po dwóch stronach). Wynika z tego, że | OA| = |O.A. 1 |. Trójkąty KOROWODY I OEA 1 są również sobie równe (przez przeciwprostokątną i kąt ostry). Dochodzimy do wniosku, że |AD| = |OE| = 4,|OD| = |EA 1 | = 2, tj. punkt ma współrzędne x = 4, y = -2, te. A 1 (4;-2).
Należy pamiętać, że istnieje ogólne stwierdzenie: pkt A 1, symetryczny do punktu względem dwusiecznej pierwszego i trzeciego kąta współrzędnych ma współrzędne, to znaczy .
Przykład 2: Znajdź punkt, w którym linia przechodząca przez punkty i , przetnie oś Oh.
Rozwiązanie:
Współrzędne żądanego punktu Z Jest ( X; 0). A od punktów A,W I Z leżą na tej samej prostej, to warunek musi być spełniony (X 2 -X 1 )(y 3 -y 1 )-(X 3 -X 1 )(y 2 -y 1 ) = 0 (wzór (1.2), pole trójkąta ABC równe zeru!), gdzie są współrzędne punktu A, – punkty W, – punkty Z. Otrzymujemy, tj. , . Dlatego punkt Z ma współrzędne , tj.
Przykład 3: W biegunowym układzie współrzędnych podawane są punkty. Znajdować: A) odległość między punktami i ; b) pole trójkąta OM 1 M 2 (O– słup).
Rozwiązanie:
a) Skorzystajmy ze wzorów (1.1) i (1.5):
to jest, .
b) korzystając ze wzoru na pole trójkąta o bokach A I B i kąt między nimi (), znajdujemy obszar trójkąta OM 1 M 2 . .
Obliczanie odległości między punktami na podstawie ich współrzędnych na płaszczyźnie jest elementarne, na powierzchni Ziemi jest to nieco bardziej skomplikowane: rozważymy pomiar odległości i początkowego azymutu między punktami bez przekształceń projekcji. Najpierw zapoznajmy się z terminologią.
Wstęp
Duża długość łuku koła– najkrótsza odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami znajdującymi się na powierzchni kuli, mierzona wzdłuż linii łączącej te dwa punkty (taką linię nazywa się ortodromią) i przechodzącej wzdłuż powierzchni kuli lub innej powierzchni obrotowej. Geometria sferyczna różni się od normalnej geometrii euklidesowej, a równania odległości również przyjmują inną formę. W geometrii euklidesowej najkrótszą odległością między dwoma punktami jest linia prosta. Na kuli nie ma linii prostych. Te linie na kuli są częścią wielkich kół – okręgów, których środki pokrywają się ze środkiem kuli. Początkowy azymut- azymut, przyjmując, że rozpoczynając ruch od punktu A, po okręgu wielkim po najkrótszą odległość do punktu B, punktem końcowym będzie punkt B. Podczas przemieszczania się od punktu A do punktu B po linii koła wielkiego, azymut od bieżąca pozycja do punktu końcowego B jest stała i zmienia się. Azymut początkowy jest inny niż stały, po czym azymut od punktu aktualnego do punktu końcowego nie ulega zmianie, ale przebyta trasa nie jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami.Przez dowolne dwa punkty na powierzchni kuli, jeśli nie są one bezpośrednio naprzeciw siebie (to znaczy nie są antypodami), można narysować unikalny okrąg wielki. Dwa punkty dzielą duży okrąg na dwa łuki. Długość krótkiego łuku to najkrótsza odległość między dwoma punktami. Pomiędzy dwoma punktami antypodalnymi można narysować nieskończoną liczbę dużych okręgów, ale odległość między nimi będzie taka sama na każdym okręgu i równa połowie obwodu koła, czyli π*R, gdzie R jest promieniem kuli.
Na płaszczyźnie (w prostokątnym układzie współrzędnych) duże okręgi i ich fragmenty, jak wspomniano powyżej, reprezentują łuki we wszystkich rzutach z wyjątkiem gnomonicznego, gdzie duże okręgi są liniami prostymi. W praktyce oznacza to, że samoloty i inny transport lotniczy zawsze korzystają z tej trasy minimalna odległość między punktami w celu oszczędzania paliwa, czyli lot odbywa się na dystansie dużego koła, w samolocie wygląda to jak łuk.
Kształt Ziemi można opisać jako kulę, dlatego równania odległości wielkiego koła są ważne przy obliczaniu najkrótszej odległości między punktami na powierzchni Ziemi i są często wykorzystywane w nawigacji. Obliczanie odległości tą metodą jest efektywniejsze i w wielu przypadkach dokładniejsze niż obliczanie jej dla współrzędnych rzutowanych (w prostokątnych układach współrzędnych), gdyż po pierwsze nie wymaga przeliczania współrzędnych geograficznych na prostokątny układ współrzędnych (przeprowadzania przekształceń rzutowych) oraz po drugie, wiele projekcji, jeśli zostaną nieprawidłowo wybrane, może prowadzić do znacznych zniekształceń długościowych ze względu na charakter zniekształceń projekcji. Wiadomo, że nie jest to kula, ale elipsoida, która dokładniej opisuje kształt Ziemi, jednak w tym artykule omówiono obliczanie odległości konkretnie na kuli, do obliczeń używana jest kula o promieniu 6 372 795 metrów , co może prowadzić do błędu w obliczaniu odległości rzędu 0,5%.
Formuły
Istnieją trzy sposoby obliczania odległości sferycznej koła wielkiego. 1. Twierdzenie o cosinusie sferycznym W przypadku małych odległości i małej głębokości obliczeń (liczba miejsc po przecinku) zastosowanie wzoru może prowadzić do znacznych błędów zaokrągleń. φ1, λ1; φ2, λ2 - szerokość i długość geograficzna dwóch punktów w radianach Δλ - różnica współrzędnych w długości geograficznej Δδ - różnica kątowa Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Aby przeliczyć odległość kątową na metryczną, należy pomnóż różnicę kątową przez promień Ziemi (6372795 metrów), jednostki ostatecznej odległości będą równe jednostkom, w których wyrażony jest promień (w tym przypadku metrom). 2. Wzór Haversina Służy do uniknięcia problemów na krótkich dystansach. 3. Modyfikacja antypodów W poprzednim wzorze również występuje problem punktów antypodalnych, aby go rozwiązać, stosuje się następującą modyfikację.Moja implementacja w PHP
// Zdefiniuj promień Ziemi("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Odległość pomiędzy dwoma punktami * $φA, $λA - szerokość, długość geograficzna 1. punktu, * $φB, $λB - szerokość, długość geograficzna 2. punktu * Napisano na podstawie http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Michaił Kobzariew< >* */ funkcja obliczOdległość ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // konwertuj współrzędne na radiany $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinusy i sinusy różnic szerokości i długości geograficznej $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // obliczenia długości koła wielkiego $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Przykład wywołania funkcji: $lat1 = 77,1539; $długi1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $długi2 = -139,55; echo obliczOdległość($lat1, $long1, $lat2, $long2) . „metry”; // Zwróć „17166029 metrów”Artykuł wzięty ze strony
Rozwiązywaniu problemów matematycznych często towarzyszą uczniom liczne trudności. Głównym celem naszej witryny jest pomaganie uczniowi w radzeniu sobie z tymi trudnościami, a także nauczenie go stosowania istniejącej wiedzy teoretycznej przy rozwiązywaniu konkretnych problemów we wszystkich sekcjach kursu z przedmiotu „Matematyka”.
Przystępując do rozwiązywania zadań z danego tematu, uczniowie powinni potrafić skonstruować punkt na płaszczyźnie wykorzystując jego współrzędne, a także znaleźć współrzędne danego punktu.
Obliczenia odległości pomiędzy dwoma punktami A(x A; y A) i B(x B; y B) na płaszczyźnie dokonuje się za pomocą wzoru re = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), gdzie d jest długością odcinka łączącego te punkty na płaszczyźnie.
Jeżeli jeden z końców odcinka pokrywa się z początkiem współrzędnych, a drugi ma współrzędne M(x M; y M), to wzór na obliczenie d będzie miał postać OM = √(x M 2 + y M 2 ).
1. Obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na podstawie podanych współrzędnych tych punktów
Przykład 1.
Znajdź długość odcinka łączącego punkty A(2; -5) i B(-4; 3) na płaszczyźnie współrzędnych (rys. 1).
Rozwiązanie.
Stwierdzenie problemu stwierdza: x A = 2; x B = -4; y A = -5 i y B = 3. Znajdź d.
Stosując wzór d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), otrzymujemy:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Obliczanie współrzędnych punktu znajdującego się w równej odległości od trzech podanych punktów
Przykład 2.
Znajdź współrzędne punktu O 1, który jest w równej odległości od trzech punktów A(7; -1), B(-2; 2) i C(-1; -5).
Rozwiązanie.
Z sformułowania warunków problemu wynika, że O 1 A = O 1 B = O 1 C. Niech żądany punkt O 1 ma współrzędne (a; b). Korzystając ze wzoru d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) znajdujemy:
O 1 ZA = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);
O 1 do = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Stwórzmy układ dwóch równań:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Po podniesieniu lewej i prawej strony równań do kwadratu piszemy:
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
Upraszczając, napiszmy
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
Po rozwiązaniu układu otrzymujemy: a = 2; b = -1.
Punkt O 1 (2; -1) jest w równej odległości od trzech punktów określonych w warunku, które nie leżą na tej samej linii prostej. Punkt ten jest środkiem okręgu przechodzącego przez trzy dane punkty (ryc. 2).
3. Obliczenie odciętej (rzędnej) punktu leżącego na osi odciętej (rzędnej) i znajdującego się w zadanej odległości od danego punktu
Przykład 3.
Odległość od punktu B(-5; 6) do punktu A leżącego na osi Wółu wynosi 10. Znajdź punkt A.
Rozwiązanie.
Z sformułowania warunków problemu wynika, że rzędna punktu A jest równa zeru i AB = 10.
Oznaczając odciętą punktu A przez a, piszemy A(a; 0).
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
Otrzymujemy równanie √((a + 5) 2 + 36) = 10. Upraszczając to, mamy
za 2 + 10a – 39 = 0.
Pierwiastkami tego równania są a 1 = -13; i 2 = 3.
Otrzymujemy dwa punkty A 1 (-13; 0) i A 2 (3; 0).
Badanie:
ZA 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
ZA 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Oba uzyskane punkty są odpowiednie w zależności od warunków problemu (ryc. 3).
4. Obliczenie odciętej (rzędnej) punktu leżącego na osi odciętej (rzędnej) i znajdującego się w tej samej odległości od dwóch danych punktów
Przykład 4.
Znajdź punkt na osi Oy, który znajduje się w tej samej odległości od punktów A (6, 12) i B (-8, 10).
Rozwiązanie.
Niech współrzędne punktu wymaganego przez warunki zadania, leżącego na osi Oy, będą wynosić O 1 (0; b) (w punkcie leżącym na osi Oy odcięta wynosi zero). Z warunku wynika, że O 1 A = O 1 B.
Korzystając ze wzoru d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) znajdujemy:
O 1 ZA = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Mamy równanie √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) lub 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.
Po uproszczeniu otrzymujemy: b – 4 = 0, b = 4.
Punkt O 1 (0; 4) wymagany przez warunki problemu (ryc. 4).
5. Obliczanie współrzędnych punktu znajdującego się w tej samej odległości od osi współrzędnych i jakiegoś zadanego punktu
Przykład 5.
Znajdź punkt M położony na płaszczyźnie współrzędnych w tej samej odległości od osi współrzędnych i punktu A(-2; 1).
Rozwiązanie.
Wymagany punkt M, podobnie jak punkt A(-2; 1), znajduje się w drugim kącie współrzędnych, ponieważ jest w równej odległości od punktów A, P 1 i P 2 (ryc. 5). Odległości punktu M od osi współrzędnych są takie same, zatem jego współrzędne będą wynosić (-a; a), gdzie a > 0.
Z warunków zadania wynika, że MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
te. |-a| = za.
Korzystając ze wzoru d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) znajdujemy:
MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).
Ułóżmy równanie:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu mamy: a 2 – 6a + 5 = 0. Rozwiąż równanie, znajdź a 1 = 1; i 2 = 5.
Otrzymujemy dwa punkty M 1 (-1; 1) i M 2 (-5; 5), które spełniają warunki zadania. 
6. Obliczenie współrzędnych punktu znajdującego się w tej samej określonej odległości od osi odciętej (rzędnej) i od zadanego punktu
Przykład 6.
Znajdź punkt M taki, że jego odległość od osi rzędnych i od punktu A(8; 6) jest równa 5.
Rozwiązanie.
Z warunków zadania wynika, że MA = 5, a odcięta punktu M jest równa 5. Niech rzędna punktu M będzie równa b, wtedy M(5; b) (ryc. 6).
Zgodnie ze wzorem d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mamy:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Ułóżmy równanie:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Upraszczając otrzymamy: b 2 – 12b + 20 = 0. Pierwiastkami tego równania są b 1 = 2; b 2 = 10. Istnieją więc dwa punkty spełniające warunki zadania: M 1 (5; 2) i M 2 (5; 10).
Wiadomo, że wielu uczniów przy samodzielnym rozwiązywaniu problemów potrzebuje ciągłych konsultacji w zakresie technik i metod ich rozwiązywania. Często uczeń nie jest w stanie znaleźć sposobu na rozwiązanie problemu bez pomocy nauczyciela. Na naszej stronie internetowej student może uzyskać niezbędne porady dotyczące rozwiązywania problemów.
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak znaleźć odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Matematyka
§2. Współrzędne punktu na płaszczyźnie
3. Odległość między dwoma punktami.
Ty i ja możemy teraz rozmawiać o punktach w języku liczb. Na przykład nie musimy już wyjaśniać: weź punkt znajdujący się trzy jednostki na prawo od osi i pięć jednostek poniżej osi. Wystarczy powiedzieć prosto: podejmij decyzję.
Powiedzieliśmy już, że stwarza to pewne korzyści. Możemy więc telegrafem przesłać rysunek złożony z kropek, przekazać go komputerowi, który w ogóle nie rozumie rysunków, ale dobrze rozumie liczby.
W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy niektóre zbiory punktów na płaszczyźnie za pomocą relacji między liczbami. Spróbujmy teraz konsekwentnie przełożyć na język liczb inne pojęcia i fakty geometryczne.
Zaczniemy od prostego i typowego zadania.
Znajdź odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie.
Rozwiązanie:
Jak zawsze zakładamy, że punkty są dane poprzez ich współrzędne, a następnie naszym zadaniem jest znalezienie reguły, dzięki której będziemy mogli obliczyć odległość między punktami, znając ich współrzędne. Przy wyprowadzaniu tej reguły można oczywiście odwołać się do rysunku, ale sama reguła nie powinna zawierać żadnych odniesień do rysunku, a jedynie wskazywać, jakie działania i w jakiej kolejności należy wykonać na danych liczbach - współrzędnych punktów – w celu uzyskania pożądanej liczby – odległość pomiędzy punktami.
Być może niektórzy czytelnicy uznają takie podejście do rozwiązania problemu za dziwne i naciągane. Co będzie prostsze, powiedzą, że punkty podaje się nawet za pomocą współrzędnych. Narysuj te punkty, weź linijkę i zmierz odległość między nimi.
Ta metoda czasami nie jest taka zła. Jednak wyobraź sobie jeszcze raz, że masz do czynienia z komputerem. Nie ma linijki i nie rysuje, ale potrafi tak szybko liczyć, że nie stanowi to dla niej żadnego problemu. Należy zauważyć, że nasz problem jest tak sformułowany, że reguła obliczania odległości między dwoma punktami składa się z poleceń, które może wykonać maszyna.
Lepiej jest najpierw rozwiązać problem postawiony dla szczególnego przypadku, gdy jeden z tych punktów leży w początku współrzędnych. Zacznij od kilku przykładów numerycznych: znajdź odległość od początku punktów; I .
Notatka. Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.
Teraz napisz ogólny wzór na obliczenie odległości punktu od początku układu współrzędnych.
Odległość punktu od początku układu współrzędnych określa wzór:
Oczywiście reguła wyrażona tym wzorem spełnia warunki podane powyżej. W szczególności można go wykorzystać w obliczeniach na maszynach, które potrafią mnożyć liczby, dodawać je i wyodrębniać pierwiastki kwadratowe.
Rozwiążmy teraz ogólny problem
Mając dane dwa punkty na płaszczyźnie, znajdź odległość między nimi.
Rozwiązanie:
Oznaczmy przez , , , rzuty punktów i na osie współrzędnych.
Oznaczmy punkt przecięcia linii z literą . Z trójkąta prostokątnego korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
Ale długość odcinka jest równa długości odcinka. Punkty i , leżą na osi i mają odpowiednio współrzędne i . Zgodnie ze wzorem uzyskanym w ust. 3 ust. 2 odległość między nimi wynosi .
Argumentując podobnie, stwierdzamy, że długość odcinka jest równa . Podstawiając znalezione wartości i do otrzymanego wzoru.
Ładowanie...