Podnoszenie liczb zespolonych do potęg. Podnoszenie liczb zespolonych do potęg Podnoszenie liczb zespolonych

Zacznijmy od naszego ulubionego placu.

Przykład 9

Kwadrat liczby zespolonej

Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy polega na zapisaniu stopnia jako iloczynu czynników i pomnożeniu liczb zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

Druga metoda polega na zastosowaniu znanego szkolnego wzoru na skrócone mnożenie:

W przypadku liczby zespolonej łatwo jest wyprowadzić własny, skrócony wzór na mnożenie:

Podobny wzór można wyprowadzić na kwadrat różnicy, a także na sześcian sumy i sześcian różnicy. Jednak te wzory są bardziej odpowiednie w przypadku złożonych problemów analitycznych. Co się stanie, jeśli trzeba podnieść liczbę zespoloną, powiedzmy, do potęgi 5, 10 lub 100? Oczywiste jest, że wykonanie takiej sztuczki w formie algebraicznej jest prawie niemożliwe; w rzeczywistości zastanów się, jak rozwiążesz taki przykład?

I tu na ratunek przychodzi forma trygonometryczna liczby zespolonej i tzw Wzór Moivre’a: Jeśli liczbę zespoloną przedstawiono w postaci trygonometrycznej, to po podniesieniu jej do potęgi naturalnej obowiązuje następujący wzór:

To po prostu oburzające.

Przykład 10

Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną, znajdź.

Co powinno być zrobione? Najpierw musisz przedstawić tę liczbę w formie trygonometrycznej. Uważni czytelnicy zauważyli, że w przykładzie 8 już to zrobiliśmy:

Następnie, zgodnie ze wzorem Moivre’a:

Nie daj Boże, nie musisz liczyć na kalkulator, ale w większości przypadków kąt powinien być uproszczony. Jak uprościć? Mówiąc obrazowo, musisz pozbyć się niepotrzebnych zakrętów. Jeden obrót to radian lub 360 stopni. Przekonajmy się, ile mamy zwrotów w argumencie. Dla wygody poprawiamy ułamek:, po czym staje się wyraźnie widoczne, że można zmniejszyć jeden obrót:. Mam nadzieję, że wszyscy rozumieją, że jest to ten sam kąt.

Zatem ostateczna odpowiedź zostanie zapisana w następujący sposób:

Odrębną odmianą problemu potęgowania jest potęgowanie liczb czysto urojonych.

Przykład 12

Podnieś liczby zespolone do potęg

Tutaj też wszystko jest proste, najważniejsze jest, aby pamiętać o słynnej równości.

Jeśli urojoną jednostkę podniesiemy do parzystej potęgi, wówczas technika rozwiązania jest następująca:

Jeśli wyimaginowana jednostka zostanie podniesiona do nieparzystej potęgi, wówczas „odcinamy” jedno „i”, uzyskując parzystą moc:

Jeśli istnieje minus (lub jakikolwiek rzeczywisty współczynnik), należy go najpierw oddzielić:

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb zespolonych. Równanie kwadratowe ze złożonymi pierwiastkami

Spójrzmy na przykład:

Nie możesz wyodrębnić roota? Jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, to naprawdę jest to niemożliwe. Można wyodrębnić pierwiastek z liczb zespolonych! Dokładniej, dwaźródło:

Czy znalezione pierwiastki są rzeczywiście rozwiązaniem równania? Sprawdźmy:

To właśnie należało sprawdzić.

Często stosuje się zapis skrócony, oba rdzenie są zapisane w jednym wierszu pod „tym samym grzebieniem”: .

Te korzenie są również nazywane sprzężone złożone korzenie.

Myślę, że każdy rozumie, jak wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych: ,,, itp. We wszystkich przypadkach się okazuje dwa sprzężone złożone korzenie.

Zacznijmy od naszego ulubionego placu.

Przykład 9

Kwadrat liczby zespolonej

Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy polega na zapisaniu stopnia jako iloczynu czynników i pomnożeniu liczb zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

Druga metoda polega na zastosowaniu znanego szkolnego wzoru na skrócone mnożenie:

W przypadku liczby zespolonej łatwo jest wyprowadzić własny, skrócony wzór na mnożenie:

Podobny wzór można wyprowadzić na kwadrat różnicy, a także na sześcian sumy i sześcian różnicy. Jednak te wzory są bardziej odpowiednie w przypadku złożonych problemów analitycznych. Co się stanie, jeśli trzeba podnieść liczbę zespoloną, powiedzmy, do potęgi 5, 10 lub 100? Oczywiste jest, że wykonanie takiej sztuczki w formie algebraicznej jest prawie niemożliwe; w rzeczywistości zastanów się, jak rozwiążesz taki przykład?

I tu na ratunek przychodzi forma trygonometryczna liczby zespolonej i tzw Wzór Moivre’a: Jeśli liczbę zespoloną przedstawiono w postaci trygonometrycznej, to po podniesieniu jej do potęgi naturalnej obowiązuje następujący wzór:

To po prostu oburzające.

Przykład 10

Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną, znajdź.

Co powinno być zrobione? Najpierw musisz przedstawić tę liczbę w formie trygonometrycznej. Uważni czytelnicy zauważyli, że w przykładzie 8 już to zrobiliśmy:

Następnie, zgodnie ze wzorem Moivre’a:

Nie daj Boże, nie musisz liczyć na kalkulator, ale w większości przypadków kąt powinien być uproszczony. Jak uprościć? Mówiąc obrazowo, musisz pozbyć się niepotrzebnych zakrętów. Jeden obrót to radian lub 360 stopni. Przekonajmy się, ile mamy zwrotów w argumencie. Dla wygody poprawiamy ułamek:, po czym staje się wyraźnie widoczne, że można zmniejszyć jeden obrót:. Mam nadzieję, że wszyscy rozumieją, że jest to ten sam kąt.

Zatem ostateczna odpowiedź zostanie zapisana w następujący sposób:

Odrębną odmianą problemu potęgowania jest potęgowanie liczb czysto urojonych.

Przykład 12

Podnieś liczby zespolone do potęg

Tutaj też wszystko jest proste, najważniejsze jest, aby pamiętać o słynnej równości.

Jeśli urojoną jednostkę podniesiemy do parzystej potęgi, wówczas technika rozwiązania jest następująca:

Jeśli wyimaginowana jednostka zostanie podniesiona do nieparzystej potęgi, wówczas „odcinamy” jedno „i”, uzyskując parzystą moc:

Jeśli istnieje minus (lub jakikolwiek rzeczywisty współczynnik), należy go najpierw oddzielić:

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb zespolonych. Równanie kwadratowe ze złożonymi pierwiastkami

Spójrzmy na przykład:

Nie możesz wyodrębnić roota? Jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, to naprawdę jest to niemożliwe. Można wyodrębnić pierwiastek z liczb zespolonych! Dokładniej, dwaźródło:

Czy znalezione pierwiastki są rzeczywiście rozwiązaniem równania? Sprawdźmy:

To właśnie należało sprawdzić.

Często stosuje się zapis skrócony, oba rdzenie są zapisane w jednym wierszu pod „tym samym grzebieniem”: .

Te korzenie są również nazywane sprzężone złożone korzenie.

Myślę, że każdy rozumie, jak wyodrębnić pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych: ,,, itp. We wszystkich przypadkach się okazuje dwa sprzężone złożone korzenie.

Przykład 13

Rozwiąż równanie kwadratowe

Obliczmy dyskryminator:

Dyskryminator jest ujemny i równanie nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych. Ale pierwiastek można wyodrębnić z liczb zespolonych!

Korzystając ze znanych wzorów szkolnych, otrzymujemy dwa pierwiastki: – sprzężone pierwiastki złożone

Zatem równanie ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone:

Teraz możesz rozwiązać dowolne równanie kwadratowe!

Ogólnie rzecz biorąc, każde równanie z wielomianem „n-tego” stopnia ma równe pierwiastki, z których niektóre mogą być złożone.

Prosty przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 14

Znajdź pierwiastki równania i rozłóż na czynniki dwumian kwadratowy.

Faktoryzacja jest ponownie przeprowadzana zgodnie ze standardową formułą szkolną.