Naturalne, prawdziwe. Pojęcie liczby. Rodzaje liczb. Ułamki zwykłe i dziesiętne

Pojęcie liczby rzeczywistej: prawdziwy numer- (liczba rzeczywista), dowolna liczba nieujemna, ujemna lub zero. Liczby rzeczywiste służą do wyrażania pomiarów każdej wielkości fizycznej.

Prawdziwy, Lub prawdziwy numer powstało z potrzeby pomiaru geometrycznego i wielkości fizyczne pokój. Ponadto do wykonywania operacji ekstrakcji pierwiastków, obliczania logarytmów, rozwiązywania równań algebraicznych itp.

Liczby naturalne powstały wraz z rozwojem liczenia, a liczby wymierne z koniecznością zarządzania częściami całości, następnie liczby rzeczywiste (rzeczywiste) służą do pomiaru wielkości ciągłych. Zatem rozszerzenie zasobu rozważanych liczb doprowadziło do zbioru liczb rzeczywistych, który oprócz liczb wymiernych składa się z innych elementów zwanych liczby niewymierne.

Zbiór liczb rzeczywistych(oznaczone R) to zbiory liczb wymiernych i niewymiernych zebrane razem.

Liczby rzeczywiste podzielone przezracjonalny I irracjonalny.

Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczany i często nazywany prawdziwy Lub Numer linii. Liczby rzeczywiste składają się z prostych obiektów: cały I liczby wymierne.

Liczba, którą można zapisać jako stosunek, gdzieM jest liczbą całkowitą oraz N- liczba naturalna, tjLiczba wymierna.

Dowolną liczbę wymierną można łatwo przedstawić w postaci ułamka skończonego lub nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego.

Przykład,

Nieskończony dziesiętny, to ułamek dziesiętny mający nieskończoną liczbę cyfr po przecinku.

Liczby, których nie można przedstawić w formie, to liczby niewymierne.

Przykład:

Każdą liczbę niewymierną można łatwo przedstawić jako nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny.

Przykład,

Tworzą liczby wymierne i niewymierne zbiór liczb rzeczywistych. Wszystkie liczby rzeczywiste odpowiadają jednemu punktowi na linii współrzędnych, który nazywa się Numer linii.

W przypadku zbiorów numerycznych stosuje się następującą notację:

• N- zbiór liczb naturalnych;
• Z- zbiór liczb całkowitych;
• Q- zbiór liczb wymiernych;
• R- zbiór liczb rzeczywistych.

Teoria nieskończonych ułamków dziesiętnych.

Liczbę rzeczywistą definiuje się jako nieskończony dziesiętny, tj.:

±a 0 ,a 1 za 2 …an …

gdzie ± jest jednym z symboli + lub -, znakiem liczby,

0 jest dodatnią liczbą całkowitą,

a 1 ,a 2 ,…an ,… to ciąg miejsc po przecinku, tj. elementy zbioru liczbowego {0,1,…9}.

Nieskończony ułamek dziesiętny można wyjaśnić jako liczbę leżącą pomiędzy wymiernymi punktami na osi liczbowej, np.:

±a 0 ,a 1 za 2 …a n I ±(a 0 ,a 1 za 2 …a n +10 −n) dla wszystkich n=0,1,2,…

Porównanie liczb rzeczywistych w postaci nieskończonych ułamków dziesiętnych odbywa się miejscowo. Na przykład, załóżmy, że mamy podane 2 liczby dodatnie:

α =+ za 0 , za 1 za 2 … za n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jeśli 0 0, To α<β ; Jeśli za 0 > b 0 To α>β . Gdy za 0 = b 0 Przejdźmy do porównania kolejnej kategorii. Itp. Gdy α≠β , co oznacza, że ​​po skończonej liczbie kroków napotkana zostanie pierwsza cyfra N, takie że za n ≠b n. Jeśli an n, To α<β ; Jeśli a n > b n To α>β .

Ale nudne jest zwracanie uwagi na fakt, że liczba za 0 ,za 1 za 2 …za n (9)=za 0 ,za 1 za 2 …za n +10 –n . Jeżeli więc zapis jednej z porównywanych liczb, zaczynając od określonej cyfry, jest okresowym ułamkiem dziesiętnym z liczbą 9 w okresie, to należy go zastąpić równoważnym zapisem z zerem w okresie.

Operacje arytmetyczne na nieskończonych ułamkach dziesiętnych są ciągłą kontynuacją odpowiednich operacji na liczbach wymiernych. Na przykład, suma liczb rzeczywistych α I β jest liczbą rzeczywistą α+β , który spełnia następujące warunki:

∀ a′,a′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ A'')∧ (B'⩽ β ⩽ B'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Podobnie definiuje się operację mnożenia nieskończonych ułamków dziesiętnych.

Cyfry w liczbach wielocyfrowych są podzielone od prawej do lewej na grupy po trzy cyfry każda. Grupy te nazywane są zajęcia. W każdej klasie liczby od prawej do lewej wskazują jednostki, dziesiątki i setki tej klasy:

Pierwsza klasa po prawej stronie nazywa się klasa jednostek, drugi - tysiąc, trzeci - miliony, czwarty - miliardy, piąty - bilion, szósty - kwadrylion, siódmy - tryliony, ósmy - sekstylion.

Aby ułatwić odczytanie zapisu liczby wielocyfrowej, pomiędzy klasami pozostawiono niewielką spację. Na przykład, aby odczytać liczbę 148951784296, wyróżniamy w niej zawarte klasy:

i odczytaj liczbę jednostek każdej klasy od lewej do prawej:

148 miliardów 951 milionów 784 tysięcy 296.

Podczas czytania klasy jednostek słowo jednostki zwykle nie jest dodawane na końcu.

Każda cyfra w zapisie liczby wielocyfrowej zajmuje określone miejsce - pozycję. Miejsce (pozycja) w zapisie liczby, na którym stoi cyfra, nazywa się wypisać.

Liczenie cyfr przebiega od prawej do lewej. Oznacza to, że pierwsza cyfra po prawej stronie liczby nazywana jest pierwszą cyfrą, druga cyfra po prawej stronie jest drugą cyfrą itd. Na przykład w pierwszej klasie liczby 148 951 784 296 cyfra 6 jest pierwszą cyfrą, 9 to druga cyfra, 2 - trzecia cyfra:

Nazywa się także jednostki, dziesiątki, setki, tysiące itp jednostki bitowe:
jednostki nazywane są jednostkami pierwszej kategorii (lub proste jednostki)
dziesiątki nazywane są jednostkami drugiej cyfry
setki nazywane są jednostkami trzeciocyfrowymi itp.

Nazywa się wszystkie jednostki z wyjątkiem jednostek prostych jednostki składowe. Zatem dziesięć, sto, tysiące itd. to jednostki złożone. Każde 10 jednostek dowolnej rangi to jedna jednostka następnej (wyższej) rangi. Na przykład sto zawiera 10 dziesiątek, a dziesiątka zawiera 10 jednostek pierwszych.

Dowolna jednostka złożona w porównaniu z inną jednostką mniejszą niż się ją nazywa jednostka najwyższej kategorii i w porównaniu z jednostką większą niż się ją nazywa jednostka najniższej kategorii. Na przykład sto jest jednostką wyższego rzędu w stosunku do dziesięciu i jednostką niższego rzędu w stosunku do tysiąca.

Aby dowiedzieć się, ile jednostek dowolnej cyfry znajduje się w liczbie, należy odrzucić wszystkie cyfry wskazujące jednostki niższych cyfr i odczytać liczbę wyrażoną przez pozostałe cyfry.

Na przykład musisz dowiedzieć się, ile setek jest w liczbie 6284, czyli ile setek jest w tysiącach i setkach danej liczby razem wziętej.

W liczbie 6284 liczba 2 znajduje się na trzecim miejscu w klasie jednostek, co oznacza, że ​​w liczbie tej znajdują się dwie setki pierwsze. Następna liczba po lewej stronie to 6, co oznacza tysiące. Ponieważ każdy tysiąc zawiera 10 setek, 6 tysięcy zawiera ich 60. W sumie zatem liczba ta zawiera 62 setki.

Liczba 0 w dowolnej cyfrze oznacza brak jednostek w tej cyfrze. Np. liczba 0 na miejscu dziesiątek oznacza brak dziesiątek, na miejscu setek brak setek itd. W miejscu 0 przy czytaniu liczby nie mówi się nic:

172 526 - sto siedemdziesiąt dwa tysiące pięćset dwadzieścia sześć.
102 026 - sto dwa tysiące dwadzieścia sześć.

Liczby całkowite

Liczby używane do liczenia nazywane są liczbami naturalnymi. Na przykład 1,2,3$ itd. Liczby naturalne tworzą zbiór liczb naturalnych, który jest oznaczony przez $N$. Oznaczenie to pochodzi od łacińskiego słowa naturalis- naturalny.

Liczby przeciwne

Definicja 1

Jeśli dwie liczby różnią się tylko znakami, nazywa się je w matematyce liczby przeciwne.

Na przykład liczby $5$ i $-5$ są liczbami przeciwnymi, ponieważ Różnią się jedynie znakami.

Notatka 1

Dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna i tylko jedna.

Uwaga 2

Liczba zero jest jej przeciwieństwem.

Wszystkie liczby

Definicja 2

Cały liczby to liczby naturalne, ich przeciwieństwa i zero.

Zbiór liczb całkowitych obejmuje zbiór liczb naturalnych i ich przeciwieństw.

Oznacz liczby całkowite $Z.$

Liczby ułamkowe

Liczby w postaci $\frac(m)(n)$ nazywane są ułamkami lub liczbami ułamkowymi. Liczby ułamkowe można również zapisać w postaci dziesiętnej, tj. w postaci ułamków dziesiętnych.

Na przykład: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ itd.

Podobnie jak liczby całkowite, liczby ułamkowe mogą być dodatnie lub ujemne.

Liczby wymierne

Definicja 3

Liczby wymierne to zbiór liczb zawierający zbiór liczb całkowitych i ułamków zwykłych.

Dowolną liczbę wymierną, zarówno całkowitą, jak i ułamkową, można przedstawić jako ułamek $\frac(a)(b)$, gdzie $a$ jest liczbą całkowitą, a $b$ jest liczbą naturalną.

Zatem tę samą liczbę wymierną można zapisać na różne sposoby.

Na przykład,

To pokazuje, że dowolną liczbę wymierną można przedstawić jako skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony dziesiętny ułamek okresowy.

Zbiór liczb wymiernych jest oznaczony przez $Q$.

W wyniku wykonania dowolnej operacji arytmetycznej na liczbach wymiernych otrzymaną odpowiedzią będzie liczba wymierna. Można to łatwo udowodnić, ponieważ dodając, odejmując, mnożąc i dzieląc zwykłe ułamki, otrzymujesz zwykły ułamek

Liczby niewymierne

Studiując matematykę, często masz do czynienia z liczbami, które nie są wymierne.

Na przykład, aby sprawdzić istnienie zbioru liczb innych niż wymierne, rozwiążmy równanie $x^2=6$ Pierwiastkami tego równania będą liczby $\surd 6$ i -$\surd 6$ . Liczby te nie będą wymierne.

Ponadto, znajdując przekątną kwadratu o boku $3$, stosujemy twierdzenie Pitagorasa i stwierdzamy, że przekątna będzie równa $\surd 18$. Ta liczba również nie jest wymierna.

Takie liczby nazywane są irracjonalny.

Zatem liczba niewymierna jest nieskończonym, nieokresowym ułamkiem dziesiętnym.

Jedną z często spotykanych liczb niewymiernych jest liczba $\pi $

Podczas wykonywania operacji arytmetycznych na liczbach niewymiernych wynik może być liczbą wymierną lub niewymierną.

Udowodnijmy to na przykładzie znajdowania iloczynu liczb niewymiernych. Znajdźmy:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Decyzją

$\\sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ten przykład pokazuje, że wynikiem może być liczba wymierna lub niewymierna.

Jeśli w działania arytmetyczne w grę wchodzą jednocześnie liczby wymierne i niewymierne, wówczas wynikiem będzie liczba niewymierna (oczywiście z wyjątkiem pomnożenia przez $0$).

Liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych to zbiór zawierający zbiór liczb wymiernych i niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczony przez $R$. Symbolicznie zbiór liczb rzeczywistych można oznaczyć przez $(-?;+?).$

Powiedzieliśmy wcześniej, że liczba niewymierna to nieskończony ułamek dziesiętny nieokresowy, a każdą liczbę wymierną można przedstawić jako skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony dziesiętny ułamek okresowy, więc każdy skończony i nieskończony ułamek dziesiętny będzie liczbą rzeczywistą.

Podczas wykonywania operacji algebraicznych należy przestrzegać następujących zasad:

1. Podczas mnożenia i dzielenia liczb dodatnich wynikowa liczba będzie dodatnia
2. Podczas mnożenia i dzielenia liczb ujemnych wynikowa liczba będzie dodatnia
3. Podczas mnożenia i dzielenia liczb ujemnych i dodatnich wynikowa liczba będzie ujemna

Liczby rzeczywiste można także porównywać ze sobą.

Z ogromnej różnorodności wszelkiego rodzaju zestawy Szczególnie interesujące są tzw zestawy liczbowe, czyli zbiory, których elementami są liczby. Oczywiste jest, że aby wygodnie z nimi pracować, trzeba umieć je zapisywać. Artykuł zaczniemy od notacji i zasad pisania zbiorów liczbowych. Następnie przyjrzyjmy się, jak zbiory liczbowe są przedstawiane na linii współrzędnych.

Nawigacja strony.

Zapisywanie zestawów liczbowych

Zacznijmy od przyjętej notacji. Jak wiadomo, do oznaczania zbiorów używamy wielkie litery Alfabet łaciński. Oznaczono także zbiory numeryczne, jako szczególny przypadek zbiorów. Na przykład możemy mówić o zbiorach liczb A, H, W itp. Szczególne znaczenie mają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, Liczby zespolone itd., przyjęto dla nich własne oznaczenia:

• N – zbiór wszystkich liczb naturalnych;
• Z – zbiór liczb całkowitych;
• Q – zbiór liczb wymiernych;
• J – zbiór liczb niewymiernych;
• R – zbiór liczb rzeczywistych;
• C jest zbiorem liczb zespolonych.

Stąd jasne jest, że nie należy oznaczać zbioru składającego się na przykład z dwóch liczb 5 i -7 jako Q, oznaczenie to będzie mylące, ponieważ litera Q zwykle oznacza zbiór wszystkich liczb wymiernych. Aby oznaczyć określony zestaw liczb, lepiej użyć innej „neutralnej” litery, na przykład A.

Skoro mowa o notacji, przypomnijmy sobie tu także o notacji zbioru pustego, czyli takiego, który nie zawiera elementów. Oznacza się to znakiem ∅.

Przypomnijmy sobie jeszcze oznaczenie tego, czy element należy, czy nie należy do zbioru. Aby to zrobić, użyj znaków ∈ - należy i ∉ - nie należy. Przykładowo zapis 5∈N oznacza, że ​​liczba 5 należy do zbioru liczb naturalnych, a 5,7∉Z – ułamek dziesiętny 5,7 nie należy do zbioru liczb całkowitych.

Przypomnijmy sobie także notację przyjętą przy włączaniu jednego zbioru do drugiego. Wiadomo, że wszystkie elementy zbioru N wchodzą w skład zbioru Z, zatem zbiór liczbowy N wchodzi w skład Z, co oznacza się jako N⊂Z. Można także zastosować zapis Z⊃N, co oznacza, że ​​zbiór wszystkich liczb całkowitych Z zawiera zbiór N. Relacje nieuwzględnione i nieuwzględnione oznaczono odpowiednio ⊄ i . Stosowane są również nieścisłe znaki włączenia w postaci ⊆ i ⊇, co oznacza odpowiednio zawarte lub pokrywające się oraz zawiera lub pokrywa się.

Mówiliśmy już o notacji, przejdźmy do opisu zbiorów liczbowych. W tym przypadku poruszymy jedynie główne przypadki, które są najczęściej stosowane w praktyce.

Zacznijmy od zbiorów liczbowych zawierających skończone i mała ilość elementy. Wygodnie jest opisać zbiory liczbowe składające się ze skończonej liczby elementów, wymieniając wszystkie ich elementy. Wszystkie elementy liczbowe zapisuje się oddzielone przecinkami i ujęte w , co jest zgodne z ogólną zasadą zasady opisywania zbiorów. Na przykład zbiór składający się z trzech liczb 0, -0,25 i 4/7 można opisać jako (0, -0,25, 4/7).

Czasami, gdy liczba elementów zbioru liczbowego jest dość duża, ale elementy te układają się według określonego wzorca, do opisu stosuje się wielokropek. Na przykład zbiór wszystkich liczb nieparzystych od 3 do 99 włącznie można zapisać jako (3, 5, 7, ..., 99).

Płynnie przeszliśmy więc do opisu zbiorów liczbowych, których liczba elementów jest nieskończona. Czasami można je opisać za pomocą tych samych elips. Opiszmy dla przykładu zbiór wszystkich liczb naturalnych: N=(1, 2, 3, …) .

Wykorzystują także opis zbiorów liczbowych poprzez wskazanie właściwości ich elementów. W tym przypadku używana jest notacja (właściwości x|). Na przykład zapis (n| 8·n+3, n∈N) określa zbiór liczb naturalnych, które po podzieleniu przez 8 dają resztę 3. Ten sam zbiór można opisać jako (11,19, 27, ...).

W szczególnych przypadkach zbiorami liczbowymi o nieskończonej liczbie elementów są znane zbiory N, Z, R itd. lub przedziały liczbowe. Zasadniczo zestawy liczbowe są reprezentowane jako Unia ich składowe indywidualne przedziały liczbowe i zbiory liczbowe ze skończoną liczbą elementów (o których mówiliśmy tuż powyżej).

Pokażmy przykład. Niech zbiór liczb składa się z liczb −10, −9, −8,56, 0, wszystkich liczb odcinka [−5, −1,3] i liczb otwartej osi liczbowej (7, +∞). Ze względu na definicję sumy zbiorów, określony zbiór liczbowy można zapisać jako {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Zapis ten w rzeczywistości oznacza zbiór zawierający wszystkie elementy zbiorów (−10, −9, −8,56, 0), [−5, −1,3] i (7, +∞).

Podobnie, łącząc różne przedziały liczbowe i zbiory poszczególnych liczb, można opisać dowolny zbiór liczb (składający się z liczb rzeczywistych). Tutaj staje się jasne, dlaczego wprowadzono takie typy przedziałów liczbowych jak: przedział, półprzedział, odcinek, otwarty półprzedział numeryczny i półprzedział numeryczny: wszystkie one, w połączeniu z oznaczeniami zbiorów poszczególnych liczb, umożliwiają opisanie dowolnych zbiorów liczbowych poprzez ich związek.

Należy pamiętać, że podczas zapisywania zbioru liczb jego liczby składowe i przedziały liczbowe są uporządkowane w kolejności rosnącej. Nie jest to warunek konieczny, ale pożądany, ponieważ uporządkowany zbiór liczbowy łatwiej jest sobie wyobrazić i przedstawić na linii współrzędnych. Należy również pamiętać, że w takich rekordach nie stosuje się przedziałów numerycznych ze wspólnymi elementami, ponieważ takie rekordy można zastąpić łącząc przedziały numeryczne bez wspólnych elementów. Na przykład suma zbiorów liczbowych ze wspólnymi elementami [−10, 0] i (−5, 3) jest półprzedziałem [−10, 3) . To samo dotyczy sumy przedziałów liczbowych o tych samych liczbach brzegowych, na przykład suma (3, 5]∪(5, 7] to zbiór (3, 7] , zajmiemy się tym osobno, gdy nauczymy się znaleźć przecięcie i sumę zbiorów liczbowych

Reprezentacja zbiorów liczbowych na linii współrzędnych

W praktyce wygodnie jest stosować obrazy geometryczne zbiorów liczbowych - włączone są ich obrazy. Na przykład kiedy rozwiązywanie nierówności, w którym konieczne jest uwzględnienie ODZ, konieczne jest zobrazowanie zbiorów liczbowych w celu znalezienia ich przecięcia i/lub sumy. Przydatne będzie zatem dobre zrozumienie wszystkich niuansów przedstawiania zbiorów liczbowych na linii współrzędnych.

Wiadomo, że pomiędzy punktami osi współrzędnych a liczbami rzeczywistymi istnieje zgodność jeden do jednego, co oznacza, że ​​sama oś współrzędnych jest modelem geometrycznym zbioru wszystkich liczb rzeczywistych R. Zatem, aby zobrazować zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, należy narysować linię współrzędnych z cieniowaniem na całej jej długości:

Często nawet nie wskazują pochodzenia i segmentu jednostki:

Porozmawiajmy teraz o obrazie zbiorów liczbowych, które reprezentują pewną skończoną liczbę pojedynczych liczb. Na przykład przedstawmy zestaw liczb (−2, −0,5, 1,2) . Obraz geometryczny tego zbioru, składającego się z trzech liczb −2, −0,5 i 1,2, będzie trzema punktami osi współrzędnych o odpowiednich współrzędnych:

Należy pamiętać, że zazwyczaj ze względów praktycznych nie ma potrzeby dokładnego wykonywania rysunku. Często wystarczy schematyczny rysunek, co oznacza, że ​​nie jest konieczne zachowywanie skali; w tym przypadku ważne jest jedynie zachowanie względnego położenia punktów względem siebie: każdy punkt o mniejszej współrzędnej musi znajdować się w na lewo od punktu o większej współrzędnej. Poprzedni rysunek będzie schematycznie wyglądać następująco:

Oddzielnie od wszelkiego rodzaju zbiorów numerycznych wyróżnia się przedziały numeryczne (przedziały, półprzedziały, półprzedziały, promienie itp.), które reprezentują ich obrazy geometryczne, które szczegółowo zbadaliśmy w rozdziale. Nie będziemy się tu powtarzać.

Pozostaje tylko zatrzymać się na obrazie zbiorów liczbowych, które są sumą kilku przedziałów liczbowych i zbiorów składających się z pojedynczych liczb. Nie ma tu nic trudnego: zgodnie ze znaczeniem sumy w tych przypadkach na linii współrzędnych należy przedstawić wszystkie składniki zbioru danego zbioru liczbowego. Jako przykład pokażmy obraz zbioru liczb (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

I zastanówmy się nad dość typowymi przypadkami, gdy przedstawiony zbiór liczbowy reprezentuje cały zbiór liczb rzeczywistych, z wyjątkiem jednego lub kilku punktów. Takie zbiory są często określone przez warunki takie jak x≠5 lub x≠−1, x≠2, x≠3,7 itd. W takich przypadkach geometrycznie reprezentują całą linię współrzędnych, z wyjątkiem odpowiednich punktów. Innymi słowy, punkty te należy „wyrwać” z linii współrzędnych. Są one przedstawiane jako koła z pustym środkiem. Dla przejrzystości zobrazujmy zbiór liczbowy odpowiadający warunkom (ten zestaw zasadniczo istnieje):

Podsumować. Idealnie byłoby, gdyby informacje z poprzednich akapitów tworzyły ten sam widok zapisu i przedstawienia zbiorów liczbowych, co widok poszczególnych przedziałów liczbowych: zapis zbioru liczbowego powinien od razu dawać swój obraz na osi współrzędnych, a z obrazu na linii współrzędnych powinniśmy być gotowi na łatwe opisanie odpowiedniego zbioru liczbowego poprzez sumę poszczególnych przedziałów i zbiorów składających się z pojedynczych liczb.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.

Co to jest liczba? LICZBA jest jednym z podstawowych pojęć matematyki, wywodzi się z czasów starożytnych i stopniowo się rozwijała oraz uogólniała. W związku z liczeniem poszczególnych obiektów powstało pojęcie dodatnich liczb całkowitych (naturalnych), a następnie idea nieskończoności naturalnego ciągu liczb: 1, 2, 3. Liczby naturalne to liczby używane w liczenie obiektów. 1

Fabuła. Podczas wykopalisk w obozie starożytnych ludzi znaleziono kość wilka, na której 30 tysięcy lat temu jakiś starożytny myśliwy wykonał pięćdziesiąt pięć nacięć. Widać, że robiąc te nacięcia, liczył na palcach. Wzór na kości składał się z jedenastu grup, każda z pięcioma nacięciami. Jednocześnie długą linią oddzielił pierwsze pięć grup od pozostałych. Również na Syberii i w innych miejscach odnaleziono kamienne narzędzia i ozdoby wykonane w tej samej odległej epoce, które również miały linie i kropki, pogrupowane w grupy 3, 5 lub 7. Celtowie to starożytny lud, który żył w Europie 2500 lat temu , będąc przodkami Francuzów i Anglików, uważano ich za dwudziestolatków (dwie ręce i dwie nogi dawały dwadzieścia palców). Ślady tego przetrwały w języku francuskim, gdzie słowo „osiemdziesiąt” brzmi jak „cztery razy dwadzieścia”. Inne ludy również uważały się za dwudziestu - przodków Duńczyków i Holendrów, Osetyjczyków i Gruzinów. 2

Liczby parzyste i nieparzyste. Liczba parzysta to liczba całkowita, która dzieli się przez 2 bez reszty: ..., 2, 4, 6, 8, ... Liczba nieparzysta to liczba całkowita, która nie dzieli się przez 2 bez reszty: ..., 1, 3, 5, 7, 9,... Pitagoras definiował liczbę jako energię i wierzył, że poprzez naukę liczb odkrywana jest tajemnica Wszechświata, gdyż liczba zawiera tajemnicę rzeczy. Pitagoras uważał, że liczby parzyste są żeńskie, a nieparzyste za męskie: 2+3=5 5 jest symbolem rodziny, małżeństwa. Liczby parzyste i nieparzyste = liczby żeńskie i męskie. 4

Proste i złożone. Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa różne czynniki naturalne: jeden i samą siebie. Sekwencja liczb pierwszych zaczyna się w ten sposób: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, ... Liczby złożone to liczby, które mają 3 lub więcej dzielników. Teoria liczb bada właściwości liczb pierwszych. Zatem wszystkie liczby naturalne większe niż jeden dzielą się na pierwsze i złożone. 5

Liczby doskonałe i niedoskonałe. Liczby doskonałe, dodatnie liczby całkowite równe sumie wszystkich ich zwykłych (tj. mniejszych od tej liczby) dzielników. Na przykład liczby 6 = i 28 = są idealne. Do tej pory (1976) nie była znana żadna dziwna sowa. godzin, a kwestia ich istnienia pozostaje otwarta. Badania na temat Sow. godziny zapoczątkowali pitagorejczycy, którzy przypisywali liczbom i ich kombinacjom szczególne znaczenie mistyczne. Pitagoras nazwał liczby niedoskonałe sumą dzielników regularnych, które są mniejsze od niego samego. 6

Magiczne liczby. Tajemnice liczb przyciągają ludzi, zmuszają ich do zagłębienia się, zrozumienia i porównania swoich wniosków z prawdziwym związkiem spraw. Do liczb w świat starożytny Byli bardzo pełni szacunku. Ludzi, którzy ich znali, uważano za wielkich, utożsamiano ich z bóstwami. Najprostszym przykładem jest brak w wielu krajach samolotów o numerze końcowym 13, pięter i pokoi hotelowych o numerze „13”. 8
Seria Magic 2 to liczba równowagi i kontrastu oraz wspiera stabilność, mieszając pozytywne i negatywne cechy. 6 – Symbol niezawodności. Jest to liczba doskonała, która dzieli się zarówno przez liczbę parzystą (2), jak i nieparzystą (3), łącząc w ten sposób elementy każdego z nich. 8 – Liczba sukcesów materialnych. Oznacza niezawodność doprowadzoną do perfekcji, co reprezentuje podwójny kwadrat. Podzielony na pół ma równe części (4 i 4). Jeśli zostanie on dalej podzielony, wówczas części również będą równe (2, 2, 2, 2), wykazując czterokrotną równowagę. 9 – Liczba powszechnego sukcesu, największa ze wszystkich liczb. Podobnie jak trzykrotność liczby 3, dziewięć zamienia niestabilność w aspirację. 10