Co znaczy wzajemnie prostopadłe? Linie wzajemnie prostopadłe. Prostopadłość prostych - warunki prostopadłości

Prostopadłość to często używane słowo, którego znaczenie wielu nie do końca rozumie. W tym mini-artykule dowiesz się o istocie prostopadłości.

Co jest prostopadłe

Mówienie w prostych słowach, prostopadła to linia prosta, która tworzy kąt 90 z inną linią. Pojęcie prostopadłości jest często używane w geometrii. Często można usłyszeć podobne zdanie: „Prostopadłość narysowana do podstawy trójkąta dzieli duży trójkąt na dwa małe. Znajdź…” itd. Na przykład możemy rozważyć trójkąt prostokątny, w którym znajdują się dwie nogi (a i b) i przeciwprostokątna c.

W takim trójkącie:

• Noga a jest prostopadła do nogi b, ponieważ kąt między nimi wynosi 90.
• Noga b jest prostopadła do nogi a, ponieważ kąt między nimi wynosi 90.

Poza geometrią, dane słowo można wykorzystać w różnych sytuacjach życiowych. Na przykład, jeśli jedna droga przecina się z drugą tak, że kąt wynosi 90, możemy powiedzieć, że są one do siebie prostopadłe.

Z powyższych przykładów można wywnioskować główna zasada: Jeśli dwie płaszczyzny przecinają się pod kątem 90 stopni, są do siebie prostopadłe.

Linię prostą (odcinek linii prostej) oznacza się dwiema dużymi literami alfabetu łacińskiego lub jedną małą literą. Punkt jest oznaczony jedynie dużą literą łacińską.

Linie nie mogą się przecinać, przecinać ani pokrywać. Linie przecinające się mają tylko jeden punkt wspólny, linie nieprzecinające się nie mają żadnego punktu wspólnego, a linie zbiegające się mają wszystkie punkty wspólne.

Definicja. Dwie linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi. Prostopadłość prostych (lub ich odcinków) jest oznaczona znakiem prostopadłości „⊥”.

Na przykład:

Twój AB I płyta CD(Rys. 1) przecinają się w punkcie O i ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BZT= 90°, zatem AB ⊥ płyta CD.

Jeśli AB ⊥ płyta CD(Rys. 2) i przecinają się w punkcie W, następnie ∠ ABC = ∠ABD= 90°

Właściwości prostych prostopadłych

1. Przez punkt A(Rys. 3) można narysować tylko jedną prostopadłą linię prostą AB do linii prostej PŁYTA CD; pozostałe linie przechodzące przez ten punkt A i przeprawa płyta CD, nazywane są nachylonymi liniami prostymi (ryc. 3, linie proste AE I AF).

2. Z punktu A możesz obniżyć prostopadłą do linii prostej płyta CD; długość prostopadła (długość odcinka AB), narysowane z punktu A bezpośrednio płyta CD, to najkrótsza odległość od A zanim płyta CD(ryc. 3).

Prosto skrzyżowane

Proste przecinające się

Względne położenie linii

Rzutowanie linii prostych

Poziomy bezpośrednie

Skomplikowane rysunki liniowe

Filtry współrzędne

Rzut ortogonalny punktu na płaszczyznę

Konstruowanie obiektów źródłowych

Pierwszym etapem rozwiązania problemu jest skonstruowanie obiektów wyjściowych jako prymitywów programu AutoCAD według wymiarów wziętych z rysunku. Obiektami mogą być punkty, odcinki linii, powierzchnie.

Oryginalny rysunek podawany jest z reguły w formie bezosiowej. Należy na tym rysunku zaznaczyć osie kartezjańskiego układu współrzędnych (układu odniesienia), względem których można mierzyć współrzędne punktów obiektu. Kierunek osi należy ustawić zgodnie z przyjętym w programie AutoCAD. Punkt początkowy na rysunku można wybrać dowolnie, ponieważ nie wpływa to na różnice we współrzędnych punktów, to znaczy nie zmienia względnego położenia i kształtu obiektów określonych na rysunku.

Na ryc. Rysunek 14 przedstawia rysunek trójkąta ABC, zawierający jego rzuty poziome i czołowe. Na polu rysunkowym zaznaczane są osie współrzędnych. Współrzędne punktów można mierzyć linijką z dokładnością do 1 mm. Zatem współrzędne punktu A wynoszą (x = 10, y = 50, z = 22).

Skonstruujmy punkt A (patrz rys. 14) jako obiekt AutoCAD.

q Przejdź do okna widoku z góry lub okna aksonometrii; w tych oknach układ współrzędnych odpowiada układowi pokazanemu na rysunku.

Q punkt \ 10, 50, 22.

Q Wynik: we wszystkich rzutniach pojawił się obraz punktu w postaci znacznika – krzyża.

Znacznik wyznaczający punkt jest zdefiniowany w prototypie. Możesz zmienić typ i rozmiar znacznika:

q Format\Styl punktu.

Skonstruujmy odcinek prosty AC:

Q linia \ 10, 50, 22 \ 50,30,50.

Wynik: segment jest zbudowany. Jest on wyświetlany we wszystkich rzutniach, dzięki czemu uzyskuje się trzy rzuty ortogonalne oraz rzut aksonometryczny (izometria).

Aby skonstruować rzut ortogonalny punktu na płaszczyznę, gdy kąt rzutowania wynosi a=90 0, (ryc. 15), wystarczy zainstalować na tej płaszczyźnie układ współrzędnych (LUW), określić współrzędne rzutowanego punktu w tym układzie współrzędnych i ustawić współrzędną z równą zero. Na przykład, jeśli LUW jest zainstalowany na płaszczyźnie D i punkt A ma w tym LUW współrzędne (50,60,70), to rzut ortogonalny punktu A na płaszczyznę D to punkt A D (50,60,0).

Rzuty ortogonalne konstruowane są przy użyciu tzw. filtrów współrzędnych - narzędzie umożliwiające pobranie niezbędnych współrzędnych z określonego punktu. Jeśli więc zastosujesz filtr .xy, wówczas zostaną pobrane tylko współrzędne punktu X I y i brakującą współrzędną z system będzie wymagał dodatkowego określenia; Aby skonstruować rzut ortogonalny, współrzędna Z musi być ustawiona na zero. Filtry można wywołać, naciskając kombinację klawiszy Shift+Psch\Point Filters.

Skonstruujmy punkt A D, będący rzutem ortogonalnym punktu A na płaszczyznę D (patrz rys. 15):

q ustawić znacznik punktu;

q ustaw LUW na płaszczyznę rzutu D;

Q punkt\ Shift+PSh \ Filtry \ .xy \ włącz przyciąganie obiektów Shift+PSh \ Węzeł ( Węzeł);

q skieruj celownik na rzutowany punkt A;

q na żądanie „Z wymagane” wpisz zero – punkt A D został zbudowany.

Rzut segmentu będzie również segmentem, do skonstruowania którego należy wziąć punkty rzutowanego segmentu, stosując filtr współrzędnych.xy i tryb lokalizacji Punkt końcowy ( Ostateczny). Niech będzie segment; musisz skonstruować jego rzut ortogonalny na daną płaszczyznę:

q ustaw LUW na płaszczyznę rzutowania.

Q linia\ wybierz filtr (Shift+Psch \ Filters \ .xy);

q włącz przyciąganie obiektów (Shift+PSh\ Ostateczny) \ wskaż koniec rzutowanego odcinka \ na żądanie „z wymagane” wpisz zero;

q powtórz te same czynności dla drugiego punktu końcowego odcinka \ ПШ – tworzony jest rzut odcinka.

2.3.2. Projekcja „automatyczna”.

Projekcję można „powierzyć” systemowi za pomocą programu Project.lsp , który należy najpierw pobrać.

q Załaduj plik projektu.lsp (Narzędzia\Załaduj aplikację...)

Wynik: załadowany program tworzy trzy nowe polecenia: PROJEKCJA, PR1, PR2.

q Wpisz polecenie PROJEKT i zapoznaj się z informacjami dotyczącymi obsługi programu.

Komenda PR1 wykonuje rzut ortogonalny obiektów na płaszczyznę LUW. Obiektami mogą być punkty, segmenty linii, łuki kołowe i polilinie. Komenda PR2 wykonuje projekcję ukośną, szczegóły poniżej. Aby wykonać rzut prostokątny:

q ustaw LUW na płaszczyznę rzutu;

q wpisać polecenie PR1 i podać obiekty, które mają być rzutowane \ ПШ.

Wynik: uzyskano rzuty ortogonalne wybranych obiektów na płaszczyznę LUW.

Ponieważ linię prostą wyznaczają dwa punkty, do jej zdefiniowania na rysunku wystarczą rzuty dwóch należących do niej punktów (ryc. 16, a, b).

W metodzie obrazu bezosiowego odległość między rzutami przyjmuje się dowolnie, należy jednak zwrócić uwagę na różnicę współrzędnych punktów wyznaczających linię prostą (ryc. 16, c).

Linia prosta może zajmować różne pozycje w przestrzeni względem płaszczyzn rzutowania. Nazywa się linię prostą, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do żadnej z płaszczyzn rzutowania prosty ogólne stanowisko (ryc. 16). Pozostałe linie zaliczamy do linii o określonym położeniu, wśród których znajdują się linie poziome i linie wystające. Linie poziomu to linie proste równoległe do jednej z płaszczyzn projekcji, linie wystające to linie proste prostopadłe do płaszczyzn projekcji.

Nazywa się linię poziomą równoległą do poziomej płaszczyzny projekcji poziomy(ryc. 17), linia prosta równoległa do przedniej płaszczyzny występów – czołowy(Rys. 18) i nazywa się linię prostą równoległą do płaszczyzny profilu występów profil prosty(ryc. 19).

Linię poziomą oznaczono literą h. Jej rzut czołowy h 2 jest zawsze prostopadły do ​​pionowych linii komunikacyjnych, natomiast rzut poziomy h 1 odzwierciedla położenie linii w przestrzeni. Odcinek /AB/ i kąty nachylenia β, γ do płaszczyzn rzutowych P 2, P 3 są rzutowane na płaszczyznę P 1 bez zniekształceń.

Przód oznaczony literą f. Z przodu rzut poziomy f 1 jest zawsze prostopadły do ​​linii komunikacyjnych, a rzut przedni f 2 odpowiada położeniu najprostszej linii w przestrzeni. Kąty nachylenia α i γ odpowiednio do płaszczyzn P 1 i P 3 oraz odcinek /AB/ przodu są rzutowane na P 2 bez zniekształceń.

Linię profilu oznaczono literą p. Jej rzuty czołowe p 2 i poziome p 1 pokrywają się z jedną pionową linią komunikacyjną, a rzut profilowy p 3 obrazuje położenie linii w przestrzeni. Bez zniekształceń odcinek /AB/ i kąty nachylenia α, β linii profilu do płaszczyzn P 1 i P 2 są rzutowane odpowiednio na P 3.

W zależności od prostopadłości do konkretnej płaszczyzny projekcji linie proste nazywane są rzutami poziomymi, czołowymi lub profilowymi.

Linia wystająca poziomo– proste, prostopadłe do P 1 (rys. 20). Rzut poziomy tej linii (A 1 = B 1) degeneruje się w punkt, a rzut czołowy (A 2 B 2) pokrywa się z linią komunikacyjną. Jest oczywiste, że poziomo wystająca linia jest jednocześnie równoległa do P 2 i P 3, zatem /A 2 B 2 / = /A 3 B 3 / = /AB/.

Linia wystająca do przodu– prosta prostopadła do P 2 (rys. 21). Rzut czołowy tej linii (A 2 = B 2) degeneruje się w punkt, a rzut poziomy (A 1 B 1) pokrywa się z linią połączenia. Wystająca do przodu linia jest równoległa do P 1 i P 3, zatem /A 1 B 1 / = /A 3 B 3 / = /AB/.

Linia wystająca profilu– prosta prostopadła do P 3 (rys. 22). Rzut profilu takiej prostej (A 3 = B 3) jest punktem, a rzuty poziome i czołowe są prostopadłe do linii komunikacyjnych. Linia wystająca profilu jest jednocześnie równoległa do P 1 i P 2, zatem /A 1 B 1 / = /A 2 B 2 / = /AB/.

Punkty należące do linii wystającej nazywane są konkurującymi w stosunku do płaszczyzny rzutowania, do której linia jest prostopadła. Punkty A i B na rys. 20 nazywane są konkurencją poziomą, na ryc. 21 i 22 rywalizują odpowiednio frontalnie i profilowo. Punkty konkurencyjne służą do określenia widoczności rzutów kształtów geometrycznych.

2.4.3. Przynależność do punktu na linii prostej

Punkt może należeć do linii lub znajdować się poza nią. Jeżeli punkt należy do linii, to wszystkie rzuty tego punktu muszą należeć do tych samych rzutów linii (ryc. 23).

Na przykład punkt C należy do linii l, ponieważ C 1 i C 2 należą odpowiednio l 1 I l 2.

Punkt nie należy do linii, jeśli przynajmniej jeden z jego rzutów nie należy do tego samego rzutu linii. Na przykład punkty A, B, D nie należą do linii l, a punkt A znajduje się nad linią, a punkt B za linią.

Wyznaczanie długości odcinka prostego metodą trójkąta prostokątnego

Ponieważ prosta w położeniu ogólnym nie jest równoległa do żadnej z płaszczyzn rzutowania, należący do niej odcinek jest rzutowany na te płaszczyzny ze zniekształceniem.

Rozważ prawy trójkąt ABB 0 (ryc. 24, a). Przeciwprostokątna AB trójkąta jest samym odcinkiem w przestrzeni, noga B 0 B jest równa rzutowi poziomemu odcinka A 1 B 1, a noga AB 0 jest różnicą wysokości końców odcinka Z A - Z B do płaszczyzny projekcji P 1. Kąt α jest kątem nachylenia odcinka do P 1. Trójkąt równy temu można zbudować na złożonym rysunku (ryc. 24, b). Wykorzystując rzut poziomy odcinka A 1 B 1 jako nogę, budujemy drugą nogę równą różnicy wysokości Z A – Z B, która jest wyznaczona z rzutu czołowego odcinka A 2 B 2. Przeciwprostokątna B 1 B 0 jest równa wartości naturalnej odcinka /AB/, kąt α jest kątem nachylenia odcinka do P 1. Długość odcinka można również wyznaczyć jako długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego jedna odnoga jest rzutem czołowym A 2 B 2, a druga jest różnicą współrzędnych Y B - Y A, którą wyznacza się z rzut poziomy segmentu (ryc. 24, c). Kąt β w tym przypadku będzie równy kątowi nachylenia segmentu do przedniej płaszczyzny występów P 2.

Zatem, jeśli konieczne jest określenie prawdziwej wartości odcinka prostej i kąta jego nachylenia do płaszczyzny P1, trójkąt prostokątny konstruuje się na podstawie rzutu poziomego odcinka. Jeżeli wymagana jest rzeczywista wielkość i kąt nachylenia do P 2, stosuje się rzut czołowy.

Dwie linie w przestrzeni mogą być równoległe, przecinać się lub przecinać.

Prosto równoległe

Jeśli prosto A, B są równoległe, wówczas ich występy również są równoległe (ryc. 25, a). Odwrotna sytuacja jest również prawdą, ale tylko w przypadku linii ogólnych.

Zatem, aby ocenić równoległość dwóch prostych w ogólnym położeniu, wystarczy mieć dowolne dwa ich rzuty. W przypadku linii poziomych nie zawsze da się określić ich równoległość na podstawie dwóch rzutów. Na przykład na ryc. 25, b w ogóle nie określono względnego położenia linii profilu. Aby jednoznacznie określić takie linie przy użyciu tych samych rzutów, konieczne jest określenie rzutów punkty A, B, C, D należące do nich (ryc. 25, c). Jednakże, aby ocenić równoległość linii prostych Z I D na ryc. 25, bardzo trudne. Inna sprawa, czy istnieją rzuty linii profili na płaszczyznę, do której są one równoległe (ryc. 25, d). Jak widać z rys. 25, d rzuty A 3 B 3 i C 3 B 3 nie są równoległe, dlatego linie w przestrzeni nie są równoległe.

Zatem, aby ocenić równoległość linii poziomu, konieczne jest posiadanie ich rzutów na płaszczyznę, do której są równoległe.

Jeśli linie przecinają się w przestrzeni, wówczas ich rzuty również się przecinają, a punkty przecięcia rzutów K 1, K 2 należą do tej samej linii połączenia (ryc. 26, a).

Rzuty linii skośnych M, N mogą się przecinać (ryc. 26, b), ale punkty przecięcia występów nie należą do tej samej linii komunikacyjnej. Punkt przecięcia rzutów poziomych przecinających się linii M I N jest rzutem poziomym dwóch konkurujących poziomo punktów 1 i 2. Punkt przecięcia rzutów czołowych tych linii jest rzutem czołowym konkurujących ze sobą punktów 3, 4.

Wykorzystując poziomo konkurujące ze sobą punkty, określa się położenie przecinających się linii względem poziomej płaszczyzny projekcji. Projekcja czołowa 1 2 punkty 1 należące do M, jest większa od 2 2 – punkt 2 należący do N(kierunek patrzenia jest pokazany strzałką). Dlatego w tym miejscu linia prosta M nad linią N.

Położenie przecinających się prostych względem czołowej płaszczyzny rzutów wyznaczane jest z czołowo rywalizujących punktów. Rzut poziomy 4 1 pkt 4 należący do M, znajduje się niżej niż 3 1 – punkt 3 należący do N(kierunek patrzenia jest pokazany strzałką). Dlatego prosto M znajduje się przed linią N.

Dowolny kąt pomiędzy liniami prostymi jest odwzorowywany na płaszczyznę projekcji bez zniekształceń, jeśli linie proste są równoległe do tej płaszczyzny, tj. są na poziomie prostym.

Kąt prosty o rzucie ortogonalnym ma szczególne właściwości. Kąt prosty jest rzutowany bez zniekształceń, jeśli tylko jeden z jego boków jest równoległy do ​​płaszczyzny projekcji.

Aby udowodnić to stwierdzenie, rozważ rys. 27. Biorąc pod uwagę kąt prosty ABC, którego boki AB i BC są równoległe do płaszczyzny P 1. Zatem zgodnie z właściwościami rzutowania równoległego kąt A 1 B 1 C 1 jest rzutem kąta ABC, również kąta prostego. BC ┴ AB i BB 1 odpowiednio pod względem stanu i konstrukcji, stąd BC ┴ Σ - płaszczyzna narysowana przez AB i A 1 B 1 i ┴ P 1. Jak wiadomo ze szkolnych zajęć z geometrii, jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest prostopadła do dowolnej prostej należącej do tej płaszczyzny. W konsekwencji BC ┴ ВD i MN, i odpowiednio В 1 С 1 ┴ B 1 D 1 i M 1 N 1.

W złożonym rysunku możliwe są następujące przypadki przypisania: prosty kąt: ogólna linia prosta A i poziomy h (ryc. 28, a), linia prosta w pozycji ogólnej V i przedni f (ryc. 28, b), linia prosta w pozycji ogólnej Z i profil linii prostej p (ryc. 28, c).

Ogólnie rzecz biorąc, gdy boki kąta prostego są ogólnie liniami prostymi, kąt prosty jest rzutowany ze zniekształceniem na kąt ostry lub rozwarty.

W artykule omówiono problematykę prostych prostopadłych na płaszczyźnie i przestrzeni trójwymiarowej. Na podanych przykładach szczegółowo przeanalizujemy definicję prostych prostopadłych i ich oznaczenia. Rozważmy warunki zastosowania warunku koniecznego i wystarczającego dla prostopadłości dwóch linii prostych i rozważmy szczegółowo na przykładzie.

Kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni może być prosty. Mówią wtedy, że podane proste są prostopadłe. Gdy kąt między przecinającymi się liniami jest prosty, wówczas linie są również prostopadłe. Wynika z tego, że proste prostopadłe na płaszczyźnie przecinają się, a proste prostopadłe w przestrzeni mogą się przecinać i przecinać.

Oznacza to, że pojęcia „linie aib są prostopadłe” oraz „linie b i a są prostopadłe” są uważane za równe. Stąd wzięła się koncepcja linii wzajemnie prostopadłych. Podsumowując powyższe, spójrzmy na definicję.

Definicja 1

Dwie proste nazywamy prostopadłymi, jeśli kąt na ich przecięciu wynosi 90 stopni.

Prostopadłość jest oznaczana przez „⊥”, a zapis przyjmuje postać a ⊥ b, co oznacza, że ​​linia a jest prostopadła do linii b.

Na przykład boki kwadratu o wspólnym wierzchołku mogą być liniami prostopadłymi na płaszczyźnie. W przestrzeni trójwymiarowej linie O x , O z , O y są prostopadłe parami: O x i O z , O x i O y , O y i O z .

Prostopadłość prostych - warunki prostopadłości

Znajomość właściwości prostopadłości jest konieczna, ponieważ większość problemów sprowadza się do sprawdzenia jej pod kątem późniejszego rozwiązania. Zdarzają się przypadki, gdy prostopadłość jest omawiana w warunkach zadania lub gdy konieczne jest skorzystanie z dowodu. Aby udowodnić prostopadłość wystarczy, że kąt pomiędzy prostymi jest odpowiedni.

Aby wyznaczyć ich prostopadłość za pomocą znanych równań prostokątnego układu współrzędnych, należy zastosować warunek konieczny i wystarczający na prostopadłość prostych. Spójrzmy na sformułowanie.

Twierdzenie 1

Aby proste aib były prostopadłe konieczne i wystarczające jest aby wektor kierunkowy prostej był prostopadły do ​​wektora kierunkowego danej prostej b.

Sam dowód opiera się na wyznaczeniu wektora kierunku prostej oraz wyznaczeniu prostopadłości prostych.

Dowód 1

Niech zostanie wprowadzony prostokątny kartezjański układ współrzędnych O x y z podanymi równaniami prostej na płaszczyźnie definiującymi proste a i b. Wektory kierunkowe linii prostych a i b oznaczamy jako a → i b → . Z równania prostych a i b warunkiem koniecznym i wystarczającym jest prostopadłość wektorów a → i b →. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny wektorów a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) jest równy zero, a zapis ma postać a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0 . Otrzymujemy, że warunkiem koniecznym i wystarczającym prostopadłości prostych a i b, znajdujących się w prostokątnym układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, gdzie a → = (a x, a y) i b → = b x, b y są wektorami kierunkowymi prostych a i b.

Warunek ma zastosowanie, gdy konieczne jest znalezienie współrzędnych wektorów kierunkowych lub w obecności równań kanonicznych lub parametrycznych prostych na płaszczyźnie danych prostych a i b.

Przykład 1

Trzy punkty A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) podane są w prostokątnym układzie współrzędnych O x y. Określ, czy linie A B i A C są prostopadłe, czy nie.

Rozwiązanie

Linie proste A B i A C mają wektory kierunkowe odpowiednio A B → i A C →. Najpierw obliczmy A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Z własności iloczynu skalarnego wektorów równych zero otrzymujemy, że wektory A B → i A C → są prostopadłe.

ZA B → , ZA do → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0

Jest oczywiste, że spełniony jest warunek konieczny i wystarczający, co oznacza, że ​​A B i AC są prostopadłe.

Odpowiedź: linie proste są prostopadłe.

Przykład 2

Ustal, czy podane proste x - 1 2 = y - 7 3 i x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ są prostopadłe, czy nie.

Rozwiązanie

a → = (2, 3) jest wektorem kierunku danej linii x - 1 2 = y - 7 3,

b → = (1, - 2) jest wektorem kierunku linii x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ.

Przejdźmy do obliczenia iloczynu skalarnego wektorów a → i b →. Wyrażenie zostanie zapisane:

za → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Wynik iloczynu nie jest równy zero, możemy stwierdzić, że wektory nie są prostopadłe, co oznacza, że ​​proste również nie są prostopadłe.

Odpowiedź: linie nie są prostopadłe.

Stwierdzono warunek konieczny i wystarczający prostopadłości prostych a i b przestrzeń trójwymiarowa, zapisane jako a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , gdzie a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) są wektorami kierunku linie a i b.

Przykład 3

Sprawdź prostopadłość prostych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, określoną równaniami x 2 = y - 1 = z + 1 0 i x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ

Rozwiązanie

Za mianowniki równań kanonicznych linii uważa się współrzędne wektora kierunku linii. Współrzędne wektora kierunku z równania parametrycznego są współczynnikami. Wynika z tego, że a → = (2, - 1, 0) i b → = (1, 2, 4) są wektorami kierunkowymi danych prostych. Aby określić ich prostopadłość, znajdźmy iloczyn skalarny wektorów.

Wyrażenie będzie miało postać a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Wektory są prostopadłe, ponieważ iloczyn wynosi zero. Spełniony jest warunek konieczny i wystarczający, co oznacza, że ​​linie są również prostopadłe.

Odpowiedź: linie proste są prostopadłe.

Sprawdzenie prostopadłości można przeprowadzić w oparciu o inne niezbędne i wystarczające warunki prostopadłości.

Twierdzenie 2

Linie a i b na płaszczyźnie uważa się za prostopadłe, gdy wektor normalny linii a jest prostopadły do ​​wektora b, jest to warunek konieczny i wystarczający.

Dowód 2

Warunek ten ma zastosowanie, gdy równania prostych umożliwiają szybkie znalezienie współrzędnych wektorów normalnych danych prostych. Oznacza to, że jeśli istnieje ogólne równanie prostej w postaci A x + B y + C = 0, równanie prostej w odcinkach w postaci x a + y b = 1, równanie prostej ze współczynnikiem kątowym postaci y = k x + b można znaleźć współrzędne wektorów.

Przykład 4

Sprawdź, czy linie 3 x - y + 2 = 0 i x 3 2 + y 1 2 = 1 są prostopadłe.

Rozwiązanie

Na podstawie ich równań należy znaleźć współrzędne wektorów normalnych linii. Otrzymujemy, że n α → = (3, - 1) jest wektor normalny dla prostej 3 x - y + 2 = 0.

Uprośćmy równanie x 3 2 + y 1 2 = 1 do postaci 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Teraz wyraźnie widać współrzędne wektora normalnego, które zapisujemy w tej postaci n b → = 2 3 , 2 .

Wektory n a → = (3, - 1) i n b → = 2 3, 2 będą prostopadłe, ponieważ ich iloczyn skalarny ostatecznie da wartość równą 0. Otrzymujemy n za → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .

Warunek konieczny i wystarczający został spełniony.

Odpowiedź: linie proste są prostopadłe.

Gdy zdefiniujemy linię a na płaszczyźnie za pomocą równania o nachyleniu y = k 1 x + b 1 oraz linię b - y = k 2 x + b 2, wynika z tego, że wektory normalne będą miały współrzędne (k 1 , - 1) i (k 2 , - 1) . Sam warunek prostopadłości sprowadza się do k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.

Przykład 5

Sprawdź, czy proste y = - 3 7 x i y = 7 3 x - 1 2 są prostopadłe.

Rozwiązanie

Linia prosta y = - 3 7 x ma nachylenie równe - 3 7, a linia prosta y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.

Iloczyn współczynników kątowych daje wartość - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, czyli linie są prostopadłe.

Odpowiedź: podane proste są prostopadłe.

Jest jeszcze jeden warunek używany do określenia prostopadłości prostych na płaszczyźnie.

Twierdzenie 3

Aby proste a i b były prostopadłe do płaszczyzny, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, aby wektor kierunkowy jednej z linii był współliniowy z wektorem normalnym drugiej prostej.

Dowód 3

Warunek ma zastosowanie, gdy możliwe jest znalezienie wektora kierunku jednej prostej i współrzędnych wektora normalnego drugiej. Innymi słowy, jedną prostą wyznacza równanie kanoniczne lub parametryczne, a drugą ogólne równanie prostej, równanie na odcinkach lub równanie prostej ze współczynnikiem kątowym.

Przykład 6

Ustal, czy podane proste x - y - 1 = 0 i x 0 = y - 4 2 są prostopadłe.

Rozwiązanie

Stwierdzamy, że wektor normalny linii prostej x - y - 1 = 0 ma współrzędne n a → = (1, - 1), a b → = (0, 2) jest wektorem kierunku linii prostej x 0 = y - 4 2.

Pokazuje to, że wektory n a → = (1, - 1) i b → = (0, 2) nie są współliniowe, ponieważ nie jest spełniony warunek kolinearności. Nie ma takiej liczby t, która spełniałaby równość n a → = t · b →. Stąd wniosek, że proste nie są prostopadłe.

Odpowiedź: linie nie są prostopadłe.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

WZAJEMNIE PROSTOPADŁE

wzajemnie prostopadłe

Lopatina. Słownik języka rosyjskiego Lopatin. 2012

Zobacz także interpretacje, synonimy, znaczenia tego słowa i znaczenie WZAJEMNIE PROSTOPADŁEGO w języku rosyjskim w słownikach, encyklopediach i podręcznikach:

• WZAJEMNIE PROSTOPADŁE pełny słownik ortografii Język rosyjski:
  wzajemnie...
• WZAJEMNIE PROSTOPADŁE w Słowniku ortografii:
  wzajemnie...
• PROSTOPADŁY w Słowniku Encyklopedycznym:
  
• PROSTOPADŁY w Słowniku Encyklopedycznym:
  , -th, -oe; -ren, -rna. Będąc prostopadłym. Prostopadłe linie. Umieścić prostopadle (przysł.) do czegoś. II rzeczownik prostopadłość, -i, ...
• WZAJEMNIE
  WZAJEMNIE LICZBY PIERWSZE, liczby całkowite, nie mający wspólnych dzielników innych niż 1; np. 15 i...
• WZAJEMNIE w Wielkim Rosyjskim Słowniku Encyklopedycznym:
  KORESPONDENCJA JEDNEGO DO JEDNEGO to zgodność elementów dwóch zbiorów, w której każdy element pierwszego zbioru odpowiada jednej definicji. element drugiego...
• PROSTOPADŁY w paradygmacie pełnego akcentu według Zaliznyaka:
  prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły, prostopadły,…
• PROSTOPADŁY w tezaurusie rosyjskiego słownictwa biznesowego:
  
• PROSTOPADŁY w Nowym Słowniku wyrazów obcych:
  być prostopadłym; pionowe, tworzące z daną linią kąty proste lub...
• PROSTOPADŁY w Słowniku wyrażeń obcych:
  być prostopadłym; pionowe, tworzące z daną linią kąty proste lub...
• PROSTOPADŁY w tezaurusie języka rosyjskiego:
  Syn: poprzeczny, przecinający się, przecinający się, ortogonalny Mrówka: ...
• PROSTOPADŁY
  Syn: poprzeczny, przecinający się, przecinający się, ortogonalny Mrówka: ...
• WZAJEMNIE w słowniku rosyjskich synonimów:
  wzajemnie, dwustronnie, dwustronnie, zapożyczając się, ...
• PROSTOPADŁY
  przym. 1) Znaczenie korelacyjne. z rzeczownikiem: prostopadłym z nim związanym. 2) a) Charakterystyka prostopadłości, charakterystyczna dla niej. b) Znajduje się...
• WZAJEMNIE w Nowym Słowniku Wyjaśniającym Języka Rosyjskiego autorstwa Efremowej:
  przysł. Koreluje według wartości. z przym.: ...
• PROSTOPADŁY w Słowniku języka rosyjskiego Łopatina:
  
• PROSTOPADŁY w Słowniku ortografii:
  prostopadły; kr. F. -dzieci...
• PROSTOPADŁY w Słowniku języka rosyjskiego Ożegowa:
  jest prostopadły Linie prostopadłe. Umieść prostopadle (przysł.) do...
• PROSTOPADŁY w Słowniku wyjaśniającym języka rosyjskiego Uszakowa:
  prostopadły, prostopadły; prostopadły, prostopadły, prostopadły, do czego (mat.). Przym. do prostopadłego; będąc prostopadłym. Linia prostopadła. Jeden tor jest prostopadły do ​​drugiego. Jeden …
• PROSTOPADŁY
  prostopadły przym. 1) Znaczenie korelacyjne. z rzeczownikiem: prostopadłym z nim związanym. 2) a) Charakterystyka prostopadłości, charakterystyczna dla niej. B) ...
• WZAJEMNIE w Słowniku wyjaśniającym Efraima:
  wzajemnie przysł. Koreluje według wartości. z przym.: ...
• PROSTOPADŁY
  przym. 1. stosunek z rzeczownikiem prostopadła z nią związana 2. Charakterystyka prostopadłości, charakterystyczna dla niej. Ott. Umieszczone pod kątem prostym...
• WZAJEMNIE w Nowym Słowniku języka rosyjskiego autorstwa Efremowej:
  
• PROSTOPADŁY
  przym. 1. stosunek z rzeczownikiem prostopadła z nią związana 2. Charakterystyka prostopadłości, charakterystyczna dla niej. Ott. Położony bezpośrednio…
• WZAJEMNIE w Bolszoj Modern słownik objaśniający Język rosyjski:
  przysł. okoliczności jakościowe Występujące względem siebie; ...
• WZAJEMNIE UZUPEŁNIAJĄCE KOLORY
  dwa kolory nazywane są wzajemnie uzupełniającymi się, jeżeli ich równoczesny wpływ na oko wywołuje wrażenie biały; innymi słowy, optyczne mieszanie takich dwóch...
• WZAJEMNIE UZUPEŁNIAJĄCE KOLORY w Encyklopedii Brockhausa i Efrona:
  ? dwa kolory nazywamy wzajemnie uzupełniającymi się, jeśli ich jednoczesne działanie na oko wywołuje wrażenie bieli; innymi słowy, optyczne mieszanie takich...
• BASSET WESTFALSKI w Encyklopedii psów:
  _Psy myśliwskie_ Pochodzenie Pies powstał w wyniku skrzyżowania psów gończych niemieckich i bassetów. Opis Wysokość od 30 do 35 cm Waga od...
• ILOCZYN WEKTOROWY WEKTORA w Wielkim Słowniku Encyklopedycznym:
  a według wektora b wektor p= lub a b, o długości równej powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach a ...
• TEORIA LICZB
  teoria, nauka o liczbach całkowitych. Pojęcie liczby całkowitej, a także operacje arytmetyczne na liczbach są znane od czasów starożytnych i ...
• TOPOLOGIA w dużym Encyklopedia radziecka, TSB:
  (od greckiego topos – miejsce i – logika) – część geometrii poświęcona badaniu zjawiska ciągłości (wyrażona na przykład w pojęciu…
• RUMPEL w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  (od holenderskiego roerpen, od roer - wiosło, kierownica i pióro - kołek), dźwignia zamontowana w górnej części osi sterującej; serwuje...
• TRANSFORMACJA w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  jedno z podstawowych pojęć matematyki, które pojawia się podczas badania korespondencji między klasami obiektów geometrycznych, klasami funkcji itp. Na przykład z geometrycznym...
• POLARYZACJA ŚWIATŁA w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  światło, jedna z podstawowych właściwości promieniowania optycznego (światła), polegająca na nierówności różnych kierunków w płaszczyźnie prostopadłej do wiązki światła (kierunek ...
• WYŚWIETLACZ w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  (matematyka) zbioru A w zbiorze B, zgodność, dzięki której każdy element x zbioru A odpowiada pewnemu elementowi y...
• GOTYK w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  (od włoskiego gotico, dosłownie gotyk, od nazwy niemieckiego plemienia gotyk), styl gotycki, styl artystyczny, który się pojawił ostatni etap V…
• GEOMETRIA w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  (grecka geometria, od ge - Ziemia i metreo - miara), gałąź matematyki badająca relacje i formy przestrzenne, a także inne ...
• ZASADA GAUssa w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB:
  zasada, zasada najmniejszego ograniczenia, jedna z wariacyjnych zasad mechaniki, zgodnie z którą dla układu mechanicznego z idealnymi połączeniami (patrz ...
• WIELKA BRYTANIA (PAŃSTWO) w Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej TSB.
• ELEKTRYCZNOŚĆ, ZJAWISKO w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona:
  E. nazywa się tym zawartym w ciele, który nadaje temu ciału specjalne właściwości, powoduje w nim zdolność mechanicznego działania na pewne ...
• KOLOR SKÓRY
• FLINDERS MATEUSZ w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona:
  (Matthew Flinders) – angielski. podróżnik (1774-1814). Towarzyszył lekarzowi Bassowi w jego podróży na południowy wschód w 1795 roku. wybrzeże Australii; V…
• POWAGA w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona:
  Prawo uniwersalnego T. Newtona można sformułować w następujący sposób: każdy atom oddziałuje z każdym innym atomem, a siła oddziaływania ...
• RURY METALOWE w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona.
• PRZEZROCZYSTOŚĆ w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona:
  Substancję lub medium nazywa się „przezroczystym” w zwykłym znaczeniu tego słowa, jeśli przedmioty można zobaczyć przez tę substancję lub medium; w tym …
• OŚ NEUTRALNA w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona:
  Kiedy belka jest zginana, jej włókna pomiędzy dwoma przekrojami poprzecznymi ulegają częściowemu wydłużeniu, a częściowo skróceniu. W przypadku prostego zginania, zgodnie z przyjętą teorią...
• UKŁAD LIŚCI w Słowniku Encyklopedycznym Brockhausa i Euphrona:
  (filotaksja). - U większości roślin liście są na tyle prawidłowo umiejscowione na łodygach i gałęziach, że można ustalić ogólne zasady dotyczące ich umiejscowienia...