Korzeń jest równy wyrażeniu. Pierwiastek kwadratowy. Szczegółowa teoria z przykładami. Rdzeń algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej

W tym artykule przedstawimy koncepcja korzeń... Będziemy postępować po kolei: zaczniemy od pierwiastka kwadratowego, od niego przejdziemy do opisu pierwiastka sześciennego, po czym uogólnimy pojęcie pierwiastka definiując n-ty pierwiastek. Jednocześnie wprowadzimy definicje, oznaczenia, podamy przykłady korzeni oraz podamy niezbędne wyjaśnienia i komentarze.

Pierwiastek kwadratowy, arytmetyczny pierwiastek kwadratowy

Aby zrozumieć definicję pierwiastka z liczby, aw szczególności pierwiastka kwadratowego, musisz mieć. W tym momencie często natkniemy się na drugą potęgę liczby – kwadrat liczby.

Zacznijmy definicja pierwiastka kwadratowego.

Definicja

Pierwiastek kwadratowy z a to liczba, której kwadrat to a.

Aby przynieść przykłady pierwiastków kwadratowych, bierzemy kilka liczb, na przykład 5, −0,3, 0,3, 0 i poddajemy je kwadratowi, otrzymujemy odpowiednio liczby 25, 0,09, 0,09 i 0 (5 2 = 5 5 = 25, (-0,3) 2 = (- 0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 · 0,3 = 0,09 i 0 2 = 0 · 0 = 0). Następnie, zgodnie z powyższą definicją, 5 to pierwiastek kwadratowy z 25, -0,3 i 0,3 to pierwiastki kwadratowe z 0,09, a 0 to pierwiastek kwadratowy z zera.

Należy zauważyć, że nie dla każdej liczby istnieje a, której kwadrat jest równy a. Mianowicie, dla dowolnej liczby ujemnej a nie istnieje ani jedna liczba rzeczywista b, której kwadrat byłby równy a. Rzeczywiście, równość a = b 2 jest niemożliwa dla dowolnego ujemnego a, ponieważ b 2 jest liczbą nieujemną dla dowolnego b. W ten sposób, na zbiorze liczb rzeczywistych nie ma pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej... Innymi słowy, na zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany i nie ma sensu.

Prowadzi to do logicznego pytania: „Czy istnieje pierwiastek kwadratowy z dowolnego nieujemnego a”? Odpowiedź brzmi tak. Uzasadnienie tego faktu można uznać za konstruktywną metodę stosowaną do obliczania wartości pierwiastka kwadratowego.

Powstaje wtedy następujące logiczne pytanie: „Jaka jest liczba wszystkich pierwiastków kwadratowych z danej liczby nieujemnej a – jeden, dwa, trzy, a nawet więcej?” Oto odpowiedź: jeśli a jest zerem, to jedyny pierwiastek kwadratowy z zera wynosi zero; jeśli a jest liczbą dodatnią, to liczba pierwiastków kwadratowych z liczby a jest równa dwa, a pierwiastki są. Uzasadnijmy to.

Zacznijmy od przypadku a = 0. Najpierw pokażmy, że zero jest rzeczywiście pierwiastkiem kwadratowym z zera. Wynika to z oczywistej równości 0 2 = 0 · 0 = 0 i definicji pierwiastka kwadratowego.

Teraz udowodnijmy, że 0 jest jedynym pierwiastkiem kwadratowym z zera. Użyjmy metody przez sprzeczność. Załóżmy, że istnieje jakaś niezerowa liczba b, która jest pierwiastkiem kwadratowym z zera. Wtedy warunek b 2 = 0 musi być spełniony, co jest niemożliwe, ponieważ dla każdego niezerowego b wartość wyrażenia b 2 jest dodatnia. Doszliśmy do sprzeczności. To dowodzi, że 0 jest jedynym pierwiastkiem kwadratowym z zera.

Przechodzimy do przypadków, gdy a jest liczbą dodatnią. Powyżej powiedzieliśmy, że zawsze istnieje pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby nieujemnej, niech pierwiastek kwadratowy z a będzie liczbą b. Załóżmy, że istnieje liczba c, która jest również pierwiastkiem kwadratowym z a. Następnie, z definicji pierwiastka kwadratowego, równości b 2 = a i c 2 = trzymają, z czego wynika, że b 2 - c 2 = a - a = 0, ale ponieważ b 2 - c 2 = (b - c) b + c), następnie (b - c) (b + c) = 0. Wynikająca równość z powodu własności akcji z liczbami rzeczywistymi jest możliwe tylko wtedy, gdy b - c = 0 lub b + c = 0. Tak więc liczby b i c są równe lub przeciwne.

Jeśli przyjmiemy, że istnieje liczba d, która jest kolejnym pierwiastkiem kwadratowym z liczby a, to rozumując podobnie do już podanych, dowodzimy, że d jest równe liczbie b lub liczbie c. Tak więc liczba pierwiastków kwadratowych liczby dodatniej wynosi dwa, przy czym pierwiastki kwadratowe są liczbami przeciwstawnymi.

Dla wygody pracy z pierwiastkami kwadratowymi pierwiastek ujemny jest „oddzielony” od pierwiastka dodatniego. W tym celu arytmetyczna definicja pierwiastka kwadratowego.

Definicja

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a Jest liczbą nieujemną, której kwadrat to a.

Notacja jest przyjmowana jako arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a. Znak nazywa się arytmetycznym znakiem pierwiastka kwadratowego. Nazywany jest również znakiem radykalnym. Dlatego po części można usłyszeć zarówno „korzeń”, jak i „radykalny”, czyli ten sam przedmiot.

Liczba pod znakiem arytmetycznego pierwiastka kwadratowego nazywa się numer główny, a wyrażenie pod znakiem korzenia to radykalna ekspresja, natomiast termin „liczba radykalna” jest często zastępowany przez „wyrażenie radykalne”. Na przykład w rekordzie liczba 151 jest liczbą radykalną, aw rekordzie wyrażenie a jest wyrażeniem radykalnym.

Kiedy czyta się słowo „arytmetyka” jest często pomijane, na przykład zapis jest odczytywany jako „pierwiastek kwadratowy z siedmiu przecinek dwadzieścia dziewięć setnych”. Słowo „arytmetyka” wymawia się tylko wtedy, gdy chcą podkreślić, że mówimy o dodatnim pierwiastku kwadratowym z liczby.

W świetle wprowadzonej notacji z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że dla dowolnej liczby nieujemnej a.

Pierwiastki kwadratowe liczby dodatniej a są zapisywane jako i przy użyciu znaku arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Na przykład pierwiastki kwadratowe 13 to i. Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z zera to zero, to znaczy. W przypadku liczb ujemnych a nie będziemy mieć sensu w zapisie, dopóki nie zaczniemy się uczyć Liczby zespolone... Na przykład wyrażenia i są bez znaczenia.

Na podstawie definicji pierwiastka kwadratowego udowadnia się właściwości pierwiastków, które są często wykorzystywane w praktyce.

Podsumowując ten punkt, zauważmy, że pierwiastki kwadratowe liczby a są rozwiązaniami postaci x 2 = a względem zmiennej x.

Pierwiastek sześcienny liczby

Określanie pierwiastka sześciennego liczby a podaje się podobnie do definicji pierwiastka kwadratowego. Tylko że opiera się na koncepcji sześcianu liczby, a nie kwadratu.

Definicja

Pierwiastek sześcienny liczby a to liczba, której sześcian jest równy a.

Dajmy przykłady pierwiastków sześciennych... Aby to zrobić, weź kilka liczb, na przykład 7, 0, −2/3, i ułóż je w kostkę: 7 3 = 7 7 7 = 343, 0 3 = 0 0 0 = 0, ... Następnie, opierając się na definicji pierwiastka sześciennego, możemy argumentować, że liczba 7 jest pierwiastkiem sześciennym z 343, 0 jest pierwiastkiem sześciennym z zera, a -2/3 jest pierwiastkiem sześciennym z -8/27.

Można wykazać, że pierwiastek sześcienny z liczby a, w przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego, istnieje zawsze i to nie tylko dla nieujemnej a, ale także dla dowolnej liczby rzeczywistej a. Aby to zrobić, możesz użyć tej samej metody, o której wspomnieliśmy podczas badania pierwiastka kwadratowego.

Co więcej, istnieje tylko jeden pierwiastek sześcienny danej liczby a. Udowodnijmy ostatnie stwierdzenie. W tym celu osobno rozważymy trzy przypadki: a jest liczbą dodatnią, a = 0 i a jest liczbą ujemną.

Łatwo pokazać, że dla dodatniego a pierwiastek sześcienny a nie może być ujemny ani zerowy. Rzeczywiście, niech b będzie pierwiastkiem sześciennym z a, to z definicji możemy zapisać równość b 3 = a. Jasne jest, że ta równość nie może być prawdziwa dla ujemnego b i b = 0, ponieważ w tych przypadkach b 3 = b · b · b będzie odpowiednio liczbą ujemną lub zerem. Zatem pierwiastek sześcienny liczby dodatniej a jest liczbą dodatnią.

Przypuśćmy teraz, że oprócz liczby b istnieje jeszcze jeden pierwiastek sześcienny liczby a, oznaczamy go przez c. Wtedy c3 = a. Dlatego b 3 - c 3 = a - a = 0, ale b 3 − c 3 = (b − c) (b 2 + b c + c 2)(jest to skrócona formuła mnożenia różnica kostek), skąd (b − c) (b 2 + b c + c 2) = 0. Uzyskana równość jest możliwa tylko wtedy, gdy b − c = 0 lub b 2 + b · c + c 2 = 0. Z pierwszej równości mamy b = c, a druga równość nie ma rozwiązań, ponieważ jej lewa strona jest liczbą dodatnią dla dowolnych liczb dodatnich b i c jako sumy trzech dodatnich wyrazów b 2, b c i c 2. Dowodzi to wyjątkowości pierwiastka sześciennego liczby dodatniej a.

Dla a = 0 tylko liczba zero jest pierwiastkiem sześciennym liczby a. Rzeczywiście, jeśli założymy, że istnieje liczba b, która jest niezerowym pierwiastkiem sześciennym z zera, to równość b 3 = 0 musi być zachowana, co jest możliwe tylko wtedy, gdy b = 0.

W przypadku ujemnego a można argumentować podobnie jak w przypadku dodatniego a. Najpierw pokazujemy, że pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej nie może być równy ani liczbie dodatniej, ani zerowi. Po drugie, zakładamy, że istnieje drugi pierwiastek sześcienny liczby ujemnej i pokazujemy, że koniecznie będzie on pokrywał się z pierwszą.

Zatem zawsze istnieje pierwiastek sześcienny z dowolnej liczby rzeczywistej a i jedynej.

Dajmy arytmetyczna definicja pierwiastka sześcianu.

Definicja

Arytmetyczny pierwiastek sześcienny liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną, której sześcian jest równy a.

Arytmetyczny pierwiastek sześcienny liczby nieujemnej a jest oznaczony jako znak jest nazywany znakiem arytmetycznego pierwiastka sześciennego, liczba 3 w tym zapisie jest nazywana wykładnik główny... Liczba pod znakiem głównym to numer główny, wyrażenie pod znakiem głównym to wyrażenie root.

Chociaż arytmetyczny pierwiastek sześcienny jest zdefiniowany tylko dla liczb nieujemnych a, wygodnie jest również używać notacji, w której liczby ujemne znajdują się pod znakiem arytmetycznego pierwiastka sześciennego. Zrozumiemy je następująco: gdzie a jest liczbą dodatnią. Na przykład, .

Porozmawiamy o właściwościach pierwiastków sześciennych w ogólnym artykule na temat właściwości pierwiastków.

Obliczanie wartości pierwiastka sześciennego nazywa się ekstrakcją pierwiastka sześciennego, działanie to zostało omówione w artykule Wyodrębnianie pierwiastka sześciennego: metody, przykłady, rozwiązania.

Na zakończenie tego akapitu mówimy, że pierwiastek sześcienny liczby a jest rozwiązaniem postaci x 3 = a.

N-ty pierwiastek, n-ty pierwiastek arytmetyczny

Aby uogólnić pojęcie pierwiastka liczby, wprowadzamy określenie pierwiastka n-tego stopnia dla n.

Definicja

N-ty pierwiastek a Jest liczbą, której n-tą potęgą jest a.

Z tej definicji jasno wynika, że pierwiastek pierwszego stopnia liczby a jest samą liczbą a, ponieważ badając stopień z wykładnikiem naturalnym, przyjęliśmy a 1 = a.

Powyżej rozważyliśmy szczególne przypadki n-tego pierwiastka dla n = 2 i n = 3 - pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy jest pierwiastkiem drugiego stopnia, a pierwiastek sześcienny jest pierwiastkiem trzeciego stopnia. Aby zbadać pierwiastki n-tego stopnia dla n = 4, 5, 6, ... wygodnie jest podzielić je na dwie grupy: pierwsza grupa - pierwiastki parzystych stopni (czyli dla n = 4, 6, 8 , ...), druga grupa - pierwiastki nieparzyste stopni (czyli dla n = 5, 7, 9, ...). Wynika to z faktu, że pierwiastki parzystych stopni są analogiczne do pierwiastka kwadratowego, a pierwiastki nieparzystych stopni są analogiczne do pierwiastka sześciennego. Zajmijmy się nimi po kolei.

Zacznijmy od pierwiastków, których potęgami są liczby parzyste 4, 6, 8, ... Jak powiedzieliśmy, są one analogiczne do pierwiastka kwadratowego z liczby a. Oznacza to, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby a istnieje tylko dla nieujemnego a. Co więcej, jeśli a = 0, to pierwiastek a jest unikalny i równy zero, a jeśli a> 0, to są dwa pierwiastki parzystego stopnia od liczby a i są to liczby przeciwne.

Uzasadnijmy ostatnie stwierdzenie. Niech b będzie pierwiastkiem parzystego stopnia (oznaczamy go jako 2 m, gdzie m jest pewną liczbą naturalną) od liczby a. Załóżmy, że istnieje liczba c - jeszcze jeden pierwiastek stopnia 2 m liczby a. Następnie b 2 m - c 2 m = a - a = 0. Ale znamy postać b 2 m −c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2), następnie (b - c) (b + c) (b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2) = 0... Ta równość implikuje, że b - c = 0 lub b + c = 0, lub b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2 = 0... Pierwsze dwie równości oznaczają, że liczby b i c są równe lub b i c są przeciwne. A ostatnia równość obowiązuje tylko dla b = c = 0, ponieważ po jej lewej stronie znajduje się wyrażenie nieujemne dla dowolnego b i c jako sumy liczb nieujemnych.

Jeśli chodzi o pierwiastki n-tego stopnia dla nieparzystego n, są one podobne do pierwiastka sześciennego. Oznacza to, że pierwiastek dowolnego nieparzystego stopnia z liczby a istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej a, a dla danej liczby a jest unikalny.

Jednoznaczność pierwiastka nieparzystego stopnia 2 m + 1 a jest udowadniana przez analogię z dowodem jednoznaczności pierwiastka sześciennego a. Tylko tutaj zamiast równości a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + c 2) równość postaci b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = (b − c) (b 2 m + b 2 m − 1 c + b 2 m − 2 c 2 +… + c 2 m)... Wyrażenie w ostatnim nawiasie można przepisać jako b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m − 2 + c 2 m − 2 + b c (b 2 m − 4 + c 2 m − 4 + b c (… + (b 2 + c 2 + b c))))... Na przykład dla m = 2 mamy b 5 −c 5 = (b − c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4) = (b − c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c))... Gdy a i b są zarówno dodatnie, jak i ujemne, ich iloczyn jest liczbą dodatnią, wtedy wyrażenie b 2 + c 2 + b · c w najwyższych nawiasach zagnieżdżonych jest dodatnie jako suma liczb dodatnich. Teraz, przechodząc kolejno do wyrażeń w nawiasach poprzednich stopni zagnieżdżenia, upewniamy się, że są one również dodatnie jako suma liczb dodatnich. W rezultacie otrzymujemy, że równość b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = (b − c) (b 2 m + b 2 m − 1 c + b 2 m − 2 c 2 +… + c 2 m) = 0 jest możliwe tylko wtedy, gdy b - c = 0, to znaczy, gdy liczba b jest równa liczbie c.

Czas zająć się zapisem pierwiastków n-tego stopnia. W tym celu jest podane definicja n-tego pierwiastka arytmetycznego.

Definicja

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia liczby nieujemnej a jest liczbą nieujemną, której n -ta potęga jest równa a.

N-ty pierwiastek arytmetyczny liczby nieujemnej a jest oznaczony jako. Liczba a nazywana jest liczbą pierwiastkową, a liczba n - wskaźnikiem pierwiastkowym. Rozważmy na przykład rekord, tutaj radykalna liczba to 125,36, a wykładnik pierwiastka to 5.

Zauważ, że dla n = 2 mamy do czynienia z pierwiastkiem kwadratowym z liczby, w tym przypadku zwyczajowo nie zapisuje się pierwiastka wykładnika, czyli rekordów i oznacza tę samą liczbę.

Pomimo tego, że definicja pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia oraz jego notacja zostały wprowadzone dla nieujemnych liczb pierwiastkowych, dla wygody, dla nieparzystych wykładników pierwiastkowych i ujemnych liczb pierwiastkowych, będziemy używać notacji forma, którą zrozumiemy jako. Na przykład, oraz .

Nie będziemy przywiązywać żadnego znaczenia do pierwiastków parzystych o ujemnych liczbach rodnikowych (dopóki nie zaczniemy studiować liczb zespolonych). Na przykład wyrażenia i nie mają sensu.

Na podstawie definicji podanej powyżej uzasadniono właściwości pierwiastków n-tego stopnia, które mają szerokie zastosowanie praktyczne.

Podsumowując, należy stwierdzić, że pierwiastki n-tego stopnia są pierwiastkami równań postaci x n = a.

Praktyczne wyniki

Pierwszy praktycznie ważny wynik: .

Wynik ten zasadniczo odzwierciedla definicję korzenia parzystego. Znak ⇔ oznacza równoważność. Oznacza to, że dany zapis należy rozumieć następująco: jeśli, to i jeśli, to. A teraz to samo, ale w słowach: jeśli b jest pierwiastkiem parzystego stopnia 2 k liczby a, to b jest liczbą nieujemną spełniającą równość b 2 k = a i odwrotnie, jeśli b jest liczbą nieujemną spełniającą równość b 2 k = a, czyli b jest pierwiastkiem parzystym 2 k z a.

Z pierwszej równości systemu jasno wynika, że liczba a jest nieujemna, ponieważ jest równa liczbie nieujemnej b podniesionej do potęgi parzystej 2 · k.

Tak więc szkoła bierze pod uwagę pierwiastki parzystych stopni tylko z liczb nieujemnych, rozumie je jako , a pierwiastki parzystych potęg liczb ujemnych nie mają żadnego znaczenia.

Drugi praktycznie ważny wynik: .

Zasadniczo łączy definicję pierwiastka arytmetycznego potęgi nieparzystej i definicję pierwiastka nieparzystego liczby ujemnej. Wyjaśnijmy to.

Z definicji podanych w poprzednich akapitach jasno wynika, że nadają one znaczenie pierwiastkom nieparzystych stopni z dowolnych liczb rzeczywistych, nie tylko nieujemnych, ale także ujemnych. Dla liczb nieujemnych b przyjmuje się, że ... Ostatni system implikuje warunek a≥0. Dla liczb ujemnych −a (gdzie a jest liczbą dodatnią), weź ... Jasne jest, że w tej definicji jest to liczba ujemna, ponieważ jest równa, ale jest liczba dodatnia. Jasne jest również, że podniesienie pierwiastka do potęgi 2 · k + 1 daje pierwiastek –a. Rzeczywiście, biorąc pod uwagę tę definicję i właściwości stopni, mamy

Z tego wnioskujemy, że pierwiastek nieparzystego stopnia 2 k + 1 liczby ujemnej −a jest liczbą ujemną b, której stopień 2 k + 1 jest równy −a, w postaci dosłownej ... Łączenie wyników dla a≥0 i dla<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

W ten sposób szkoła bierze pod uwagę pierwiastki nieparzyste stopni z dowolnych liczb rzeczywistych i rozumie je w następujący sposób: .

Podsumowując, ponownie spisujemy dwa interesujące nas wyniki: oraz .

Gratulacje: dzisiaj będziemy badać korzenie - jeden z najbardziej nośnych tematów 8. klasy :)

Wiele osób myli się z korzeniami nie dlatego, że są one złożone (co jest tak trudne - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są określane przez taką dżunglę, że tylko autorzy same podręczniki mogą rozgryźć tę bazgrołę. A nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky :)

Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę powinieneś pamiętać. I dopiero wtedy wyjaśnię: po co to wszystko i jak to zastosować w praktyce.

Ale najpierw pamiętaj o jednym ważnym punkcie, o którym z jakiegoś powodu wielu kompilatorów podręczników „zapomina”:

Korzenie mogą być parzystego stopnia (nasze ulubione $ \ sqrt (a) $, a także wszelkiego rodzaju $ \ sqrt (a) $, a nawet $ \ sqrt (a) $) i nieparzystych (wszystkie rodzaje $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ itd.). A definicja pierwiastka nieparzystego stopnia różni się nieco od parzystego.

Tu w tym pieprzonym „nieco inaczej” kryje się chyba 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami. Dlatego zajmijmy się terminologią raz na zawsze:

Definicja. Nawet korzeń n od $ a $ jest dowolne nieujemny liczba $ b $ taka, że $ ((b) ^ (n)) = a $. A pierwiastek nieparzysty tej samej liczby $ a $ jest ogólnie dowolną liczbą $ b $, dla której zachodzi ta sama równość: $ ((b) ^ (n)) = a $.

W każdym razie korzeń jest wskazany w następujący sposób:

\ (a) \]

Liczba $ n $ w takim rekordzie nazywana jest wykładnikiem pierwiastka, a liczba $ a $ jest nazywana wyrażeniem radykalnym. W szczególności dla $ n = 2 $ otrzymujemy nasz „ulubiony” pierwiastek kwadratowy (swoją drogą jest to pierwiastek parzysty), a dla $ n = 3 $ - sześcienny (stopień nieparzysty), który również często występuje w problemach i równania.

Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastków kwadratowych:

\ [\ początek (wyrównaj) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ koniec (wyrównaj) \]

Przy okazji, $ \ sqrt (0) = 0 $ i $ \ sqrt (1) = 1 $. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $ ((0) ^ (2)) = 0 $ i $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Korzenie sześcienne są również powszechne - nie bój się ich:

\ [\ rozpocznij (wyrównaj) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ koniec (wyrównaj) \]

No i kilka „egzotycznych przykładów”:

\ [\ rozpocznij (wyrównaj) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ koniec (wyrównaj) \]

Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj ponownie definicję. To jest bardzo ważne!

W międzyczasie rozważymy jedną nieprzyjemną cechę pierwiastków, z powodu której musieliśmy wprowadzić osobną definicję dla wskaźników parzystych i nieparzystych.

Dlaczego w ogóle potrzebujemy korzeni?

Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy to wymyślili?” Rzeczywiście: po co nam w ogóle te wszystkie korzenie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do podstawówki. Pamiętaj: w tamtych odległych czasach, kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w stylu „pięć na pięć – dwadzieścia pięć”, to wszystko. Ale przecież liczby można mnożyć nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:

\ [\ rozpocznij (wyrównaj) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (wyrównaj) \]

Nie o to jednak chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc musieli zapisać mnożenie dziesięciu piątek w następujący sposób:

Więc wymyślili stopnie. Dlaczego nie indeksować liczby czynników zamiast długiego ciągu znaków? Lubię to:

To bardzo wygodne! Wszystkie obliczenia są znacznie zredukowane i nie trzeba marnować garści kartek pergaminu w zeszytach, aby zapisać jakieś 5183. Taki rekord nazwano stopniem liczby, znaleźli w nim kilka właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.

Po ogromnym alkoholu, który zorganizowano właśnie na temat „odkrycia” stopni, jakiś szczególnie uparty matematyk nagle zapytał: „A jeśli znamy stopień liczby, ale nie znamy samej liczby?” Teraz, naprawdę, jeśli wiemy, że pewna liczba $b $, na przykład w piątej potędze, daje 243, to jak możemy zgadnąć, jaka jest liczba $ b $?

Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” stopni nie ma takich „początkowych” liczb. Sędzia dla siebie:

\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ koniec (wyrównaj) \]

Co jeśli $ ((b) ^ (3)) = 50 $? Okazuje się, że trzeba znaleźć pewną liczbę, która po trzykrotnym pomnożeniu przez siebie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa niż 3, ponieważ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To znaczy. ta liczba wynosi od trzech do czterech, ale czemu jest równa - figi zrozumiesz.

W tym celu matematycy wymyślili pierwiastki $ n $ -tego stopnia. Dlatego wprowadzono symbol radykalny $ \ sqrt (*) $. Wyznaczyć samą liczbę $b $, która w określonym stopniu da nam znaną wcześniej wartość

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Strzałka w prawo ((b) ^ (n)) = a \]

Nie spieram się: te korzenie często łatwo policzyć – kilka takich przykładów widzieliśmy powyżej. Jednak w większości przypadków, jeśli zgadniesz dowolną liczbę, a następnie spróbujesz wydobyć z niej dowolny pierwiastek, czeka cię okrutna wpadka.

Co tam jest! Nawet najprostsze i najbardziej znane $ \ sqrt (2) $ nie mogą być reprezentowane w naszej zwykłej formie - jako liczba całkowita lub ułamek. A jeśli wpiszesz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:

\ [\ sqrt (2) = 1,414213562 ... \]

Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie są zgodne z logiką. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę w górę, aby szybko porównać z innymi liczbami. Na przykład:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ około 1,4 \ lt 1,5 \]

Lub oto inny przykład:

\ [\ sqrt (3) = 1,73205 ... \ około 1,7 \ gt 1,5 \]

Ale wszystkie te zaokrąglenia, po pierwsze, są raczej szorstkie; po drugie, trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, w przeciwnym razie można wyłapać sporo nieoczywistych błędów (swoją drogą, umiejętność porównywania i zaokrąglania jest obowiązkowo sprawdzana na egzaminie z profilu).

Dlatego w poważnej matematyce nie można obejść się bez pierwiastków - są oni tymi samymi równymi przedstawicielami zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $ \ mathbb (R) $, a także ułamków i liczb całkowitych, które od dawna są nam znane.

Niemożność przedstawienia pierwiastka jako ułamka postaci $ \ frac (p) (q) $ oznacza, że ten pierwiastek nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywane są irracjonalnymi i nie można ich dokładnie przedstawić inaczej niż za pomocą radykalnego lub innych specjalnie zaprojektowanych konstrukcji (logarytmy, stopnie, granice itp.). Ale o tym innym razem.

Rozważ kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ około 2 236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ ok -1,2599 ... \\ \ end (wyrównaj) \]

Oczywiście po pojawieniu się pierwiastka prawie niemożliwe jest odgadnięcie, jakie liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulator, ale nawet najdoskonalszy kalkulator daty podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego o wiele bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi w postaci $ \ sqrt (5) $ i $ \ sqrt (-2) $.

Dlatego zostały wynalezione. Aby wygodnie zapisywać odpowiedzi.

Dlaczego potrzebne są dwie definicje?

Uważny czytelnik zapewne już zauważył, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą od liczb dodatnich. Cóż, w ostateczności od zera. Ale pierwiastki sześcienne są spokojnie wydobywane z absolutnie dowolnej liczby - czy to dodatniej, czy ujemnej.

Dlaczego to się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $ y = ((x) ^ (2)) $:

Wykres funkcji kwadratowej daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny

Spróbujmy obliczyć $ \ sqrt (4) $ używając tego wykresu. W tym celu na wykresie rysowana jest pozioma linia $ y = 4 $ (zaznaczona na czerwono), która przecina się z parabolą w dwóch punktach: $ ((x) _ (1)) = 2 $ i $ ((x ) _ (2)) = -2 $. To całkiem logiczne, ponieważ

Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, dlatego jest to pierwiastek:

Ale co zrobić z drugim punktem? Czy ta czwórka ma jednocześnie dwa korzenie? W końcu, jeśli podniesiemy liczbę −2 do kwadratu, również otrzymamy 4. Dlaczego nie napisać $ \ sqrt (4) = - 2 $? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie płyty, jakby chcieli cię pożreć?:)

Kłopot polega na tym, że jeśli nie zostaną nałożone żadne dodatkowe warunki, to czwórka będzie miała dwa pierwiastki kwadratowe - dodatni i ujemny. Każda liczba dodatnia będzie też miała dwa. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi tak, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.

Podobny problem występuje dla wszystkich pierwiastków z parzystym wykładnikiem:

Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z parzystym wykładnikiem $ n $;
Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $ n $ w ogóle nie jest wyodrębniany.

Dlatego w definicji pierwiastka potęgi parzystej $ n $ jest specjalnie zastrzeżona, że odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbywamy się niejednoznaczności.

Ale dla nieparzystych $ n $ nie ma takiego problemu. Aby to sprawdzić, spójrzmy na wykres funkcji $ y = ((x) ^ (3)) $:

Parabola sześcienna przyjmuje dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny jest wyodrębniany z dowolnej liczby

Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:

Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą w nieskończoność w obu kierunkach - zarówno w górę, jak iw dół. Dlatego na dowolnej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z konieczności przetnie się z naszym wykresem. W konsekwencji pierwiastek sześcienny można zawsze wydobyć z absolutnie dowolnej liczby;
Ponadto takie przecięcie zawsze będzie jedynym, więc nie ma potrzeby zastanawiania się, którą liczbę uznać za „poprawny” pierwiastek, a którą liczbę punktować. Dlatego definicja pierwiastków dla stopnia nieparzystego jest prostsza niż dla stopnia parzystego (nie ma wymogu nieujemności).

Szkoda, że te proste rzeczy nie są wyjaśnione w większości podręczników. Zamiast tego mózg zaczyna do nas płynąć z różnego rodzaju pierwiastkami arytmetycznymi i ich właściwościami.

Tak, nie spieram się: czym jest pierwiastek arytmetyczny - też trzeba wiedzieć. I omówię to szczegółowo w osobnym samouczku. Dzisiaj też o tym porozmawiamy, ponieważ bez tego wszystkie myśli o pierwiastkach $ n $ -tej wielokrotności byłyby niekompletne.

Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. W przeciwnym razie, ze względu na obfitość terminów, w twojej głowie zacznie się taki bałagan, że w końcu nic nie zrozumiesz.

Wszystko, co musisz zrobić, to zrozumieć różnicę między wskaźnikami parzystymi i nieparzystymi. Więc jeszcze raz zbierzmy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:

Pierwiastek parzysty istnieje tylko od liczby nieujemnej i sam jest zawsze liczbą nieujemną. W przypadku liczb ujemnych taki pierwiastek jest niezdefiniowany.

Ale pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje od dowolnej liczby i sam może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest to wartość dodatnia, a dla ujemnych, jak wskazuje czapka, ujemna.

Czy to jest trudne? Nie, nie trudne. Jasne? Tak, ogólnie rzecz biorąc, to oczywiste! Więc teraz przećwiczymy obliczenia.

Podstawowe właściwości i ograniczenia

Korzenie mają wiele dziwnych właściwości i ograniczeń - na ten temat będzie osobna lekcja. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszą „sztuczkę”, która dotyczy tylko pierwiastków z parzystym wykładnikiem. Zapiszmy tę właściwość w postaci formuły:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ left | x \ prawo | \]

Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do potęgi parzystej, a następnie wyciągniemy z tego pierwiastek tej samej potęgi, otrzymamy nie pierwotną liczbę, ale jej moduł. Jest to twierdzenie proste, które można łatwo udowodnić (wystarczy rozpatrzyć osobno nieujemne $ x $, a następnie osobno - ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, podają to w każdym podręczniku szkolnym. Ale gdy tylko dochodzi do rozwiązywania równań irracjonalnych (tj. równań zawierających znak pierwiastkowy), uczniowie polubownie zapominają o tym wzorze.

Aby szczegółowo zrozumieć pytanie, zapomnijmy na chwilę o wszystkich formułach i spróbujmy policzyć dwie liczby od razu:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]

To bardzo proste przykłady. Większość ludzi rozwiąże pierwszy przykład, ale przy drugim wielu się przyjmie. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ kolejność działań:

Po pierwsze, liczba zostaje podniesiona do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymasz nową liczbę, którą znajdziesz nawet w tabliczce mnożenia;
A teraz z tej nowej liczby konieczne jest wyodrębnienie czwartego pierwiastka. Tych. nie następuje „redukcja” pierwiastków i stopni – są to działania sekwencyjne.

Pracujemy z pierwszym wyrażeniem: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 3 = 81 \]

Następnie wyodrębnij czwarty pierwiastek z liczby 81:

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do czwartej potęgi, dla której musimy ją pomnożyć przez samą 4 razy:

\ [((\ lewo (-3 \ prawo)) ^ (4)) = \ lewo (-3 \ prawo) \ cdot \ lewo (-3 \ prawo) \ cdot \ lewo (-3 \ prawo) \ cdot \ lewy (-3 \ prawy) = 81 \]

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, ponieważ łączna liczba minusów w pracy to 4 sztuki i wszystkie zostaną wzajemnie zniszczone (w końcu minus po minusie daje plus). Następnie ponownie wyodrębniamy korzeń:

W zasadzie ten wiersz nie mógł zostać napisany, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź będzie taka sama. Tych. równy korzeń tej samej równej mocy „wypala” minusy iw tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:

\ [\ begin (wyrównaj) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ prawo |= 3; \\ & \ sqrt (((\ lewo (-3 \ prawo)) ^ (4))) = \ lewo | -3 \ prawo | = 3. \\ \ koniec (wyrównaj) \]

Te obliczenia są zgodne z definicją pierwiastka parzystego: wynik jest zawsze nieujemny, a pod radykalnym znakiem zawsze znajduje się liczba nieujemna. W przeciwnym razie korzeń jest niezdefiniowany.

Uwaga dotycząca procedury

Notacja $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ oznacza, że najpierw podnosimy do kwadratu liczbę $ a $, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Dlatego możemy być pewni, że liczba nieujemna zawsze znajduje się pod znakiem pierwiastka, ponieważ $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ w każdym przypadku;
Ale zapis $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, wręcz przeciwnie, oznacza, że najpierw wyciągamy pierwiastek z pewnej liczby $ a $, a dopiero potem wynik podnosimy do kwadratu. Dlatego liczba $ a $ w żadnym wypadku nie może być ujemna - jest to obowiązkowy wymóg w definicji.

Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” oryginalne wyrażenie. Bo jeśli pod pierwiastkiem jest liczba ujemna, a jej wykładnik jest parzysty, mamy sporo problemów.

Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko wskaźników parzystych.

Usunięcie minusa ze znaku korzenia

Naturalnie korzenie z nieparzystymi wskaźnikami mają również swój własny licznik, który w zasadzie nie istnieje dla parzystych. Mianowicie:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

Krótko mówiąc, możesz wyjąć minus spod znaku korzeni nieparzystego stopnia. Jest to bardzo przydatna właściwość, która pozwala „wyrzucić” wszystkie minusy:

\ [\ rozpocznij (wyrównaj) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ koniec (wyrównaj) \]

Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie trzeba się martwić: nagle pod korzeń wkradło się negatywne wyrażenie, a stopień u nasady okazuje się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza korzenie, po czym można je pomnażać, dzielić i generalnie robić wiele podejrzanych rzeczy, które w przypadku „klasycznych” korzeni na pewno nas poprowadzą do pomyłki.

I tu wchodzi w grę inna definicja - ta, od której w większości szkół zaczyna się badanie irracjonalnych wyrażeń. I bez którego nasze rozumowanie byłoby niepełne. Zapraszam!

Pierwiastek arytmetyczny

Załóżmy na chwilę, że pod znakiem pierwiastka mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub co najwyżej zero. Zapomnijmy o wskaźnikach parzystych/nieparzystych, zapomnijmy o wszystkich podanych powyżej definicjach – będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?

I wtedy dostajemy pierwiastek arytmetyczny – częściowo pokrywa się on z naszymi „standardowymi” definicjami, ale wciąż się od nich różni.

Definicja. Pierwiastek arytmetyczny $ n $-tego stopnia liczby nieujemnej $ a $ jest liczbą nieujemną $ b $ taką, że $ ((b) ^ (n)) = a $.

Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: radykalne wyrażenie jest teraz zawsze nieujemne, a sam korzeń również jest nieujemny.

Aby lepiej zrozumieć, jak pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na znane już wykresy kwadratowe i sześcienne paraboli:

Obszar wyszukiwania pierwiastków arytmetycznych — liczby nieujemne

Jak widać, od teraz interesują nas tylko te części wykresów, które znajdują się w pierwszym kwartale współrzędnych - gdzie współrzędne $ x $ i $ y $ są dodatnie (lub przynajmniej zero). Nie musisz już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo wykorzenić liczbę ujemną, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już brane pod uwagę w zasadzie.

Możesz zapytać: „Cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możesz sobie poradzić ze standardową definicją podaną powyżej?”

Cóż, podam tylko jedną właściwość, dzięki której nowa definicja staje się odpowiednia. Na przykład reguła potęgowania to:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Uwaga: możemy podnieść radykalne wyrażenie do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastka przez tę samą potęgę - i wynik będzie taki sam! Oto kilka przykładów:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (wyrównaj) \]

Więc o co chodzi? Dlaczego nie mogliśmy zrobić tego wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $ \ sqrt (-2) $ - ta liczba jest całkiem normalna w naszym klasycznym sensie, ale absolutnie nie do przyjęcia z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego. Spróbujmy to zmienić:

$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ lewo (-2 \ prawo)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (wyrównaj) $

Jak widać, w pierwszym przypadku usunęliśmy minus spod radykału (mamy pełne prawo, ponieważ wskaźnik jest nieparzysty), aw drugim zastosowaliśmy powyższy wzór. Tych. z punktu widzenia matematyki wszystko odbywa się zgodnie z zasadami.

WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Tyle, że wzór potęgowania, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zerowych, zaczyna być herezją, jeśli chodzi o liczby ujemne.

Aby pozbyć się takiej dwuznaczności, wymyślili pierwiastki arytmetyczne. Poświęcona jest im osobna duża lekcja, w której szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc teraz nie będziemy się nad nimi rozwodzić - lekcja już okazała się zbyt długa.

Rdzeń algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej

Długo zastanawiałem się, czy umieścić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się stąd wyjechać. Ten materiał jest przeznaczony dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie - nie na średnim poziomie "szkolnym", ale na poziomie zbliżonym do poziomu olimpijskiego.

A więc: oprócz „klasycznej” definicji $ n $ -tego pierwiastka liczby i związanego z tym podziału na wskaźniki parzyste i nieparzyste, istnieje bardziej „dorosła” definicja, która w ogóle nie zależy od parzystości i innych subtelności . Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.

Definicja. Pierwiastek algebraiczny $ n $-tego stopnia dowolnego $ a $ jest zbiorem wszystkich liczb $ b $ takich, że $ ((b) ^ (n)) = a $. Nie ma ugruntowanego oznaczenia dla takich korzeni, więc po prostu umieszczamy myślnik na górze:

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]

Podstawowa różnica w stosunku do standardowej definicji podanej na początku lekcji polega na tym, że pierwiastek algebraiczny nie jest konkretną liczbą, ale zbiorem. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, istnieją tylko trzy rodzaje tego zestawu:

Pusty zestaw. Występuje, gdy wymagane jest znalezienie pierwiastka algebraicznego o parzystym stopniu z liczby ujemnej;
Zestaw składający się z jednego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki nieparzystych stopni, jak również pierwiastki parzystych stopni od zera;
Ostatecznie zestaw może zawierać dwie liczby - te same $ ((x) _ (1)) $ i $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. W związku z tym takie wyrównanie jest możliwe tylko przy wydobywaniu parzystego pierwiastka z liczby dodatniej.

Ten ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.

Przykład. Oceń wyrażenia:

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Rozwiązanie. Pierwsze wyrażenie jest proste:

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ lewo \ (2; -2 \ prawo \) \]

Zestaw składa się z dwóch liczb. Bo każdy z nich w kwadracie daje czwórkę.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ lewo \ (-3 \ prawo \) \]

Tutaj widzimy zestaw składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastka jest dziwny.

Wreszcie ostatnie wyrażenie:

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Mamy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartego (czyli parzystego!) stopnia da nam liczbę ujemną -16.

Uwaga końcowa. Uwaga: nie przypadkiem wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Bo są też liczby zespolone - tam całkiem da się policzyć $ \ sqrt (-16) $ i wiele innych dziwnych rzeczy.

Jednak na kursie współczesnej matematyki szkolnej prawie nigdy nie można znaleźć liczb zespolonych. Zostały usunięte z większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uważają ten temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.

To wszystko. W następnej lekcji przyjrzymy się wszystkim kluczowym właściwościom pierwiastków i wreszcie nauczymy się, jak uprościć wyrażenia irracjonalne :)

Mąż. korzenie, szekek, korzeń · zmniejszą się. korzeń pogardliwy, korzeń powiększający, podziemna część każdej rośliny. Na drzewach znajdują się korzenie tylne i boczne, a wraz z nimi korzenie i małe płaty. wchłanianie wilgoci. Korzeń jest: bulwiasty, ... ... Słownik wyjaśniający Dahla

KORZEŃ, tel., pl. Rni, Rnei, mąż. 1. Podziemna część rośliny, która służy do wzmocnienia jej w glebie i pochłaniania z niej wody i składników odżywczych. Główne, boczne, przypadkowe do.Korzenie powietrzne (w lianach i niektórych innych roślinach, wysoko nad ziemią ... Słownik wyjaśniający Ożegowa

- (radix), jeden z głównych organów wegetatywnych roślin liściastych, służący do mocowania do podłoża, wchłaniania z niego wody i karmienia. Substancje. Filogenetycznie K. powstał później niż łodyga i prawdopodobnie wywodził się z korzenia ... ... Biologiczny słownik encyklopedyczny

Zobacz początek, przyczynę, pochodzenie wykorzenienia, zakorzenienia ... Słownik rosyjskich synonimów i wyrażeń o podobnym znaczeniu. pod. wyd. N. Abramova, M.: Słowniki rosyjskie, 1999. początek korzenia, powód, pochodzenie; rodnik; kręgosłup, rdzeń, ... ... Słownik synonimów

źródło- ROOT, rnya, m. 1. Przyjaciel, kolego. 2. Męski narząd rozrodczy Mały samiec wyrasta na korzeń Mocny korzeń, stary, lojalny przyjaciel. 1.możliwość skażenie pomocnikiem... Słownik rosyjskiego argo

W matematyce..1) pierwiastkiem potęgi n liczby a jest dowolna liczba x (oznaczona przez, a nazywana jest wyrażeniem pierwiastkowym), której n-ta potęga jest równa a (). Czynność znalezienia pierwiastka nazywa się ekstrakcją pierwiastka2)] Pierwiastek równania to liczba, która po ... ...

Korzeń pierwotny pozostaje w wielu drzewach iglastych dożywotnio i rozwija się w postaci potężnego korzenia palowego, z którego wychodzą korzenie boczne. Rzadziej, jak u niektórych sosen, korzeń pierwotny jest słabo rozwinięty i zastępowany przez korzenie boczne. Z wyjątkiem długich ... ... Encyklopedia biologiczna

- (matematyczne), 1) Pierwiastek potęgi n od liczby a Liczba, której n-ta potęga jest równa danej liczbie a (oznaczonej przez; a nazywamy wyrażeniem radykalnym). Czynność znalezienia korzenia nazywa się pobraniem korzenia. 2) Rozwiązanie wartości równania ... ... Współczesna encyklopedia

W biologii jeden z głównych organów roślin, który służy do wzmacniania w glebie, wchłaniania wody, minerałów, syntezy związków organicznych, a także uwalniania niektórych produktów przemiany materii. Korzeń może być miejscem przechowywania zapasowych ... ... Wielki słownik encyklopedyczny

W językoznawstwie niepochodny (prosty) rdzeń słowa, który nie zawiera żadnych afiksów. Rdzeń jest rdzeniem leksykalnym słowa, to znaczy niesie jego podstawowe znaczenie materialne ... Wielki słownik encyklopedyczny

Książki

The Root of All Evil, Williams R. Donald Bailey nie jest trudnym nastolatkiem, ale po prostu nieszczęśliwym. Popełniwszy nieodwracalny czyn, stracił zaufanie przyjaciół, miłość matki i własny spokój. Co mu zostało? Uciekaj z ...
Źródło problemu, Henry R. Brandt. Autor tej książki przedstawia bardzo prostą biblijną prawdę o wyzwoleniu z wszelkiego rodzaju zaburzeń psychicznych: uznanie grzechu za pierwotną przyczynę wszystkich problemów i pokutę za popełnione grzechy. W…

Spojrzałem ponownie na znak... I chodźmy!

Zacznijmy od prostego:

Tylko minuta. to, co oznacza, że możemy napisać tak:

Rozumiem? Oto następny dla Ciebie:

Pierwiastki z otrzymanych liczb nie są dokładnie wyodrębnione? To nie ma znaczenia - oto kilka przykładów:

Ale co, jeśli czynniki nie są dwa, ale więcej? Ten sam! Formuła mnożenia pierwiastków działa z dowolną liczbą czynników:

Teraz całkowicie samodzielnie:

Odpowiedzi: Bardzo dobrze! Zgadzam się, wszystko jest bardzo proste, najważniejsze jest poznanie tabliczki mnożenia!

Podział korzeni

Obliczyliśmy mnożenie pierwiastków, teraz przejdziemy do własności dzielenia.

Przypomnę, że ogólna formuła wygląda tak:

To znaczy że pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Cóż, wymyślmy to na przykładach:

To cała nauka. Oto przykład:

Nie wszystko jest tak płynne jak w pierwszym przykładzie, ale jak widać nie ma w tym nic skomplikowanego.

Ale co, jeśli pojawi się takie wyrażenie:

Wystarczy zastosować formułę w przeciwnym kierunku:

A oto przykład:

Możesz również natknąć się na to wyrażenie:

Wszystko jest takie samo, tylko tutaj musisz pamiętać, jak tłumaczyć ułamki (jeśli nie pamiętasz, zajrzyj do tematu i wróć!). Zapamiętane? Teraz decydujemy!

Jestem pewien, że poradziłeś sobie ze wszystkim, wszystkim, teraz spróbujmy zakorzenić się we władzy.

Potęgowanie

Co się stanie, jeśli pierwiastek kwadratowy zostanie podniesiony do kwadratu? To proste, zapamiętajmy znaczenie pierwiastka kwadratowego z liczby - jest to liczba, której pierwiastek kwadratowy jest równy.

Więc jeśli podniesiemy liczbę, której pierwiastek kwadratowy jest równy kwadratowi, to co otrzymamy?

Ależ oczywiście, !

Spójrzmy na przykłady:

To proste, prawda? A jeśli korzeń jest w innym stopniu? Nic złego!

Trzymaj się tej samej logiki i zapamiętaj właściwości i możliwe działania ze stopniami.

Przeczytaj teorię na temat „”, a wszystko stanie się dla ciebie bardzo jasne.

Na przykład oto wyrażenie:

W tym przykładzie stopień jest parzysty, ale co jeśli jest nieparzysty? Ponownie zastosuj właściwości mocy i uwzględnij wszystko:

Dzięki temu wszystko wydaje się jasne, ale jak wydobyć pierwiastek liczby do potęgi? Na przykład jest to:

Całkiem proste, prawda? A jeśli stopień jest większy niż dwa? Kierujemy się tą samą logiką, używając właściwości stopni:

Czy wszystko jasne? Następnie samodzielnie rozwiąż przykłady:

A oto odpowiedzi:

Wprowadzenie pod znakiem korzenia

Czego nie nauczyliśmy się robić z korzeniami! Pozostaje tylko ćwiczyć wpisywanie liczby pod znakiem prymy!

To jest łatwe!

Powiedzmy, że zapisaliśmy numer

Co możemy z tym zrobić? Cóż, oczywiście ukryj trzy pod pierwiastkiem, pamiętając, że trójka jest pierwiastkiem kwadratowym z!

Dlaczego tego potrzebujemy? Tak, aby poszerzyć nasze możliwości przy rozwiązywaniu przykładów:

Jak ci się podoba ta właściwość korzeni? Czy to znacznie ułatwia życie? Dla mnie to prawda! Tylko musimy pamiętać, że pod pierwiastkiem możemy wprowadzić tylko liczby dodatnie.

Rozwiąż ten przykład sam -
Czy udało Ci się? Zobaczmy, co powinieneś dostać:

Bardzo dobrze! Udało Ci się wstawić numer pod znakiem korzenia! Przejdźmy do równie ważnego - zobaczmy, jak porównać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy!

Porównanie korzeni

Dlaczego powinniśmy nauczyć się porównywać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy?

Bardzo prosta. Często w dużych i długich wyrażeniach znalezionych na egzaminie dostajemy irracjonalną odpowiedź (pamiętasz, co to jest? Ty i ja już dziś o tym rozmawialiśmy!)

Otrzymane odpowiedzi musimy umieścić na linii współrzędnych, na przykład, aby określić, który przedział jest odpowiedni do rozwiązania równania. I tu pojawia się szkopuł: na egzaminie nie ma kalkulatora, a bez niego jak sobie wyobrazić, która liczba jest większa, a która mniejsza? To jest to!

Na przykład określ, która wartość jest większa: lub?

Nie możesz od razu powiedzieć. No cóż, skorzystajmy z analizowanej właściwości wpisania liczby pod znakiem pierwiastka?

Wtedy idź przed siebie:

I oczywiście im większa liczba pod znakiem korzenia, tym większy jest sam korzeń!

Tych. Jeśli następnie,.

Z tego mocno wnioskujemy. I nikt nas nie przekona inaczej!

Wydobywanie korzeni z dużych ilości

Wcześniej wprowadziliśmy czynnik pod znakiem korzenia, ale jak go usunąć? Wystarczy to rozłożyć na czynniki i wydobyć to, co jest wydobyte!

Można było obrać inną ścieżkę i rozłożyć się na inne czynniki:

Nieźle, co? Każde z tych podejść jest poprawne, zdecyduj, które najbardziej Ci odpowiada.

Faktoring jest bardzo przydatny przy rozwiązywaniu niestandardowych zadań, takich jak:

Nie boimy się, ale działamy! Rozłóżmy każdy czynnik pod pierwiastkiem na osobne czynniki:

Teraz spróbuj sam (bez kalkulatora! Nie będzie na egzaminie):

Czy to jest koniec? Nie zatrzymuj się w połowie drogi!

To wszystko, nie tak straszne, prawda?

Stało się? Dobra robota, zgadza się!

Teraz spróbuj rozwiązać ten przykład:

A przykład jest trudnym orzechem do zgryzienia, więc po prostu nie możesz wymyślić, jak do tego podejść. Ale oczywiście możemy to wytrzymać.

Cóż, zacznijmy faktoring? Zauważ od razu, że możesz podzielić liczbę przez (pamiętaj o kryteriach podzielności):

Teraz spróbuj sam (znowu bez kalkulatora!):

Czy to zadziałało? Dobra robota, zgadza się!

Podsumujmy

Pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) liczby nieujemnej jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy.
.
Jeśli wyciągniemy z czegoś pierwiastek kwadratowy, zawsze otrzymamy jeden nieujemny wynik.
Właściwości pierwiastka arytmetycznego:
Porównując pierwiastki kwadratowe należy pamiętać, że im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy jest sam pierwiastek.

Jak ci się podoba pierwiastek kwadratowy? Wszystko jasne?

Próbowaliśmy wyjaśnić Ci bez wody wszystko, co musisz wiedzieć na egzaminie z pierwiastka kwadratowego.

Teraz twoja kolej. Napisz do nas, czy jest to dla Ciebie trudny temat, czy nie.

Nauczyłeś się czegoś nowego, czy wszystko było już jasne.

Napisz w komentarzach i powodzenia na egzaminach!

W tym artykule omówimy główne właściwości korzenia... Zacznijmy od własności pierwiastka arytmetycznego, podajmy ich sformułowania i podajmy dowody. Następnie zajmiemy się właściwościami n-tego pierwiastka arytmetyki.

Nawigacja po stronach.

Właściwości pierwiastka kwadratowego

W tym momencie zajmiemy się następującymi głównymi własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego:

W każdej z zapisanych równości można zamienić lewą i prawą stronę, na przykład równość można przepisać jako ... W tej „odwrotnej” postaci właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego są stosowane, gdy uproszczenie wyrażeń tak często, jak w formie „bezpośredniej”.

Dowód dwóch pierwszych właściwości opiera się na definicji pierwiastka arytmetycznego i dalej. A aby uzasadnić ostatnią właściwość arytmetycznego pierwiastka kwadratowego, trzeba będzie pamiętać.

Więc zacznijmy od dowód własności arytmetycznego pierwiastka kwadratowego iloczynu dwóch liczb nieujemnych:. W tym celu, zgodnie z definicją arytmetycznego pierwiastka kwadratowego, wystarczy pokazać, że jest to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy a · b. Zróbmy to. Wartość wyrażenia jest nieujemna jako iloczyn liczb nieujemnych. Własność stopnia iloczynu dwóch liczb pozwala na zapisanie równości , a ponieważ z definicji arytmetycznego pierwiastka kwadratowego, a następnie.

Podobnie udowodniono, że arytmetyczny pierwiastek kwadratowy iloczynu k nieujemnych czynników a 1, a 2,…, a k jest równy iloczynowi arytmetycznych pierwiastków kwadratowych tych czynników. Naprawdę, . Ta równość implikuje to.

Oto kilka przykładów: i.

Teraz pozwól nam udowodnić własność arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z ilorazu:. Własność ilorazu w stopniu naturalnym pozwala na zapisanie równości , a i jest liczba nieujemna. To jest dowód.

Na przykład i .

Czas się rozebrać własność arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z kwadratu liczby, w formie równości, jest napisane jako. Aby to udowodnić, rozważmy dwa przypadki: dla a≥0 i dla a<0 .

Oczywiście równość obowiązuje dla a≥0. Łatwo też zauważyć, że dla<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 i (−a) 2 = a 2. W ten sposób, , zgodnie z wymaganiami do udowodnienia.

Oto kilka przykładów: oraz .

Właśnie udowodniona własność pierwiastka kwadratowego pozwala uzasadnić następujący wynik, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, a m jest dowolną. Rzeczywiście, własność podniesienia potęgi do potęgi pozwala nam zastąpić potęgę a 2 m wyrażeniem (a m) 2, wtedy .

Na przykład, oraz .

Właściwości n-tego pierwiastka

Najpierw wymieńmy główne właściwości n-tych pierwiastków:

Wszystkie zapisane równości pozostają ważne, jeśli lewa i prawa strona zostaną w nich zamienione. W tej formie są również często używane, głównie przy upraszczaniu i przekształcaniu wyrażeń.

Dowód wszystkich dźwięcznych własności pierwiastka opiera się na definicji pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia, własności stopnia i definicji modułu liczby. Udowodnijmy je w kolejności priorytetów.

Zacznijmy od dowodu właściwości n-tego pierwiastka produktu ... W przypadku nieujemnych a i b wartość wyrażenia jest również nieujemna, podobnie jak iloczyn liczb nieujemnych. Własność iloczynu w stopniu naturalnym pozwala na zapisanie równości ... Zgodnie z definicją pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia, a zatem ... Dowodzi to właściwości rozważanego korzenia.

Właściwość tę udowodniono podobnie dla iloczynu k czynników: dla liczb nieujemnych a 1, a 2, ..., a n, oraz .

Oto przykłady użycia właściwości n-tego katalogu głównego produktu: oraz .

Udowodnijmy własność pierwiastka ilorazu... Dla a≥0 i b>0 warunek jest spełniony, a .

Pokażmy przykłady: oraz .

Iść dalej. Udowodnijmy własność n-tego pierwiastka liczby do n-tej potęgi... Oznacza to, że udowodnimy, że dla każdego prawdziwego i naturalnego m. Dla a≥0 mamy i, co dowodzi równości oraz równość oczywiście. Dla<0 имеем и (ostatni fragment jest ważny ze względu na własność stopnia z parzystym wykładnikiem), co dowodzi równości, oraz jest prawdziwe ze względu na to, że mówiąc o korzeniu nieparzystego stopnia, przyjęliśmy dla dowolnej liczby nieujemnej c.

Oto przykłady użycia przetworzonej właściwości root: i .

Przechodzimy do dowodu własności korzenia od korzenia. Zamienimy miejscami prawą i lewą stronę, czyli udowodnimy ważność równości, co będzie oznaczało ważność pierwotnej równości. W przypadku liczby nieujemnej a, pierwiastek pierwiastka formy jest liczbą nieujemną. Pamiętając o własności podniesienia stopnia do potęgi i posługując się definicją pierwiastka, możemy zapisać łańcuch równości formy ... Dowodzi to właściwości korzenia od rozważanego korzenia.

W podobny sposób dowodzi się własności korzenia od korzenia od korzenia itp. Naprawdę, .

Na przykład, oraz .

Udowodnijmy, co następuje. Właściwość skracania wykładnika głównego... W tym celu na mocy definicji pierwiastka wystarczy wykazać, że istnieje liczba nieujemna, która podniesiona do potęgi n · m jest równa am. Zróbmy to. Jasne jest, że jeśli liczba a jest nieujemna, to n-ty pierwiastek liczby a jest liczbą nieujemną. W którym , który uzupełnia dowód.

Podajmy przykład użycia przetworzonej właściwości root:.

Wykażmy następującą własność - własność pierwiastka stopnia formy ... Oczywiście, dla a≥0 stopień jest liczbą nieujemną. Co więcej, jego n-ty stopień jest rzeczywiście równy am. Świadczy to o właściwości rozważanego stopnia.

Na przykład, .

Przejdźmy dalej. Udowodnijmy, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b dla którego warunku a , czyli a≥b. A to jest sprzeczne z warunkiem a

Jako przykład podajemy poprawną nierówność .

Na koniec pozostaje udowodnić ostatnią właściwość n-tego pierwiastka. Udowodnijmy najpierw pierwszą część tej własności, czyli udowodnimy, że dla m> n i 0 ... Następnie, ze względu na właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym, nierówność , to znaczy n ≤am. A wynikowa nierówność dla m> n i 0
Podobnie, przez sprzeczność, udowodniono, że dla m> n i a> 1 warunek jest spełniony.

Podajmy przykłady zastosowania udowodnionej własności pierwiastka w liczbach konkretnych. Na przykład nierówności i są prawdziwe.

Bibliografia.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik do klasy 8 instytucje edukacyjne.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początek analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 placówek oświatowych.

Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (przewodnik dla kandydatów do szkół technicznych).