Teoria efektu fotoelektrycznego. Równanie Einsteina na efekt fotoelektryczny. Równanie Einsteina na efekt fotoelektryczny. Przykłady rozwiązywania problemów

Trudności klasycznego wyjaśnienia efektu fotoelektrycznego

Jak można wyjaśnić efekt fotoelektryczny z punktu widzenia klasycznej elektrodynamiki i falowych koncepcji światła?

Wiadomo, że aby usunąć elektron z substancji, należy przekazać jej pewną energię A , zwaną funkcją pracy elektronu. W przypadku wolnego elektronu w metalu jest to praca polegająca na pokonaniu pola jonów dodatnich sieci krystalicznej, która utrzymuje elektron na granicy metalu. W przypadku elektronu znajdującego się w atomie funkcją pracy jest praca wykonana w celu rozerwania wiązania między elektronem a jądrem.

W zmiennym polu elektrycznym fali świetlnej elektron zaczyna oscylować.

A jeśli energia drgań przekroczy funkcję pracy, wówczas elektron zostanie wyrwany z substancji.

Jednak w ramach takich koncepcji nie da się zrozumieć drugiego i trzeciego prawa efektu fotoelektrycznego. Dlaczego energia kinetyczna wyrzucanych elektronów nie zależy od intensywności promieniowania? Przecież im większe natężenie, tym większe natężenie pola elektrycznego w fali elektromagnetycznej, tym większa siła działająca na elektron, tym większa energia jego oscylacji i tym większa energia kinetyczna, jaką elektron wyleci z katody. Ale eksperyment pokazuje co innego.

Skąd bierze się czerwona ramka efektu fotoelektrycznego? co jest nie tak z niskimi częstotliwościami? Wydawałoby się, że wraz ze wzrostem natężenia światła wzrasta również siła działająca na elektrony; dlatego nawet przy niskiej częstotliwości światła elektron prędzej czy później zostanie wyrwany z substancji, gdy natężenie osiągnie wystarczające wielkie znaczenie. Jednakże czerwona granica nakłada ścisły zakaz emisji elektronów przy niskich częstotliwościach padającego promieniowania.

Dodatkowo, gdy katoda zostanie oświetlona promieniowaniem o dowolnie słabym natężeniu (o częstotliwości powyżej granicy czerwonej), efekt fotoelektryczny rozpoczyna się natychmiast w momencie włączenia oświetlenia. Tymczasem elektrony potrzebują trochę czasu, aby „rozluźnić” wiązania utrzymujące je w substancji, a ten czas „rozluźnienia” powinien być dłuższy, im słabsze pada światło. Analogia jest następująca: im słabiej naciskasz huśtawkę, tym dłużej zajmie jej osiągnięcie określonej amplitudy. Znowu wygląda to logicznie, ale doświadczenie jest jedynym kryterium prawdy w fizyce! zaprzecza tym argumentom.

I tak na przełomie XIX i XX stuleci w fizyce powstał impas: elektrodynamika, która przewidziała istnienie fale elektromagnetyczne i doskonale pracujący w zakresie fal radiowych, odmówił wyjaśnienia zjawiska efektu fotoelektrycznego.

Wyjście z tego impasu znalazł Albert Einstein w 1905 roku. Znalazł proste równanie opisujące efekt fotoelektryczny. Wszystkie trzy prawa efektu fotoelektrycznego okazały się konsekwencjami równania Einsteina.

Główną zasługą Einsteina było odrzucenie przez niego prób interpretacji efektu fotoelektrycznego z punktu widzenia elektrodynamiki klasycznej. Einstein zastosował śmiałą hipotezę dotyczącą kwantów, zaproponowaną pięć lat wcześniej przez Maxa Plancka.

Równanie Einsteina na efekt fotoelektryczny

Hipoteza Plancka mówiła o dyskretnym charakterze emisji i absorpcji fal elektromagnetycznych, czyli o przerywanym charakterze oddziaływania światła z materią. Jednocześnie Planck uważał, że rozchodzenie się światła jest procesem ciągłym, zachodzącym w pełnej zgodności z prawami elektrodynamiki klasycznej.

Einstein poszedł jeszcze dalej: zasugerował, że światło w zasadzie ma strukturę nieciągłą: nie tylko emisja i absorpcja, ale także propagacja światła zachodzi w odrębnych porcjach kwantów o energii mi = godz ν .

Planck uważał swoją hipotezę jedynie za chwyt matematyczny i nie odważył się obalić elektrodynamiki w odniesieniu do mikrokosmosu. Kwanta stała się rzeczywistością fizyczną dzięki Einsteinowi.

Kwanty promieniowania elektromagnetycznego (w szczególności kwanty światła) stały się później znane jako fotony. Zatem światło składa się ze specjalnych cząstek fotonów poruszających się z dużą prędkością w próżni C . Każdy foton światła monochromatycznego mający określoną częstotliwość niesie energię H ν .

Fotony mogą wymieniać energię i pęd z cząstkami materii; w tym przypadku mówimy o zderzeniu fotonu z cząstką. W szczególności fotony zderzają się z elektronami metalu katody.

Absorpcja światła to absorpcja fotonów, czyli niesprężyste zderzenie fotonów z cząstkami (atomami, elektronami). Pochłonięty w zderzeniu z elektronem foton przekazuje mu swoją energię. W rezultacie elektron otrzymuje energię kinetyczną natychmiast, a nie stopniowo, i to wyjaśnia pozbawiony bezwładności efekt fotoelektryczny.

Równanie Einsteina na efekt fotoelektryczny to nic innego jak prawo zachowania energii. Gdzie ucieka energia fotonów? H ν podczas niesprężystego zderzenia z elektronem? Wydawane jest na wykonywanie funkcji pracy A aby wydobyć elektron z substancji i przekazać elektronowi energię kinetyczną mv 2 /2: godz ν = A + mv 2 /2 (4)

Termin mv 2 /2 okazuje się być maksymalną energią kinetyczną fotoelektronów. Dlaczego maksymalnie? To pytanie wymaga małego wyjaśnienia.

Elektrony w metalu mogą być wolne lub związane. Wolne elektrony „chodzą” po metalu, podczas gdy związane elektrony „siedzą” wewnątrz swoich atomów. Ponadto elektron może znajdować się zarówno w pobliżu powierzchni metalu, jak i w jego głębokości.

Wiadomo, że maksymalną energię kinetyczną fotoelektronu uzyska się w przypadku zderzenia fotonu z wolnym elektronem w powierzchniowej warstwie metalu, wówczas do wybicia elektronu wystarczy sama praca pracy.

We wszystkich innych przypadkach trzeba będzie wydać dodatkową energię na wyrwanie związanego elektronu z atomu lub „przeciągnięcie” głębokiego elektronu na powierzchnię. Te dodatkowe koszty doprowadzą do tego, że energia kinetyczna emitowanego elektronu będzie mniejsza.

Równanie (4), niezwykłe w swojej prostocie i fizycznej przejrzystości, zawiera całą teorię efektu fotoelektrycznego:

1. liczba wyrzuconych elektronów jest proporcjonalna do liczby pochłoniętych fotonów. Wraz ze wzrostem natężenia światła wzrasta liczba fotonów padających na katodę w ciągu sekundy. Dlatego liczba zaabsorbowanych fotonów, a co za tym idzie, liczba elektronów wybijanych na sekundę, wzrasta proporcjonalnie.

2. Wyraźmy energię kinetyczną ze wzoru (4): mv 2 /2 = godz ν - A

Rzeczywiście, energia kinetyczna wyrzucanych elektronów rośnie liniowo wraz z częstotliwością i nie zależy od natężenia światła.

Zależność energii kinetycznej od częstotliwości ma postać równania prostej przechodzącej przez punkt ( A/godz ; 0). To w pełni wyjaśnia przebieg wykresu na ryc. 3.

3. Aby rozpoczął się efekt fotoelektryczny, energia fotonu musi być wystarczająca przynajmniej do wykonania pracy: H ν >A . Najniższa częstotliwość ν 0, określone przez równość

H ν o = A;

Będzie to czerwona ramka efektu fotoelektrycznego. Jak widać, czerwona ramka efektu fotoelektrycznego ν 0 = A/godz jest określona tylko przez funkcję pracy, tj. zależy tylko od substancji napromieniowanej powierzchni katody.

Jeśli ν < ν 0, wówczas nie będzie efektu fotoelektrycznego, niezależnie od tego, ile fotonów spadnie na katodę w ciągu sekundy. Dlatego natężenie światła nie ma znaczenia; najważniejsze jest to, czy pojedynczy foton ma wystarczającą energię, aby wybić elektron.

Równanie Einsteina (4) pozwala eksperymentalnie znaleźć stałą Plancka. W tym celu należy najpierw określić częstotliwość promieniowania i funkcję pracy materiału katody, a także zmierzyć energię kinetyczną fotoelektronów.

W trakcie takich eksperymentów uzyskano wartość H , dokładnie pokrywające się z (2). Ta zbieżność wyników dwóch niezależnych eksperymentów opartych na widmach promieniowania cieplnego i równaniu Einsteina na efekt fotoelektryczny sprawiła, że odkryto zupełnie nowe „reguły gry”, według których zachodzi oddziaływanie światła i materii. W tym obszarze fizyka klasyczna, reprezentowana przez mechanikę Newtona i elektrodynamikę Maxwella, ustępuje miejsca fizyce kwantowej i teorii mikroświata, której budowa trwa do dziś.

Możemy teraz przejść do wyprowadzenia równań pola grawitacyjnego. Równania te wynikają z zasady najmniejszego działania, gdzie są działaniami odpowiednio pola grawitacyjnego i materii 2). Pole grawitacyjne podlega teraz zmianom, czyli wartościom

Obliczmy różnicę. Mamy:

Podstawiając tutaj, zgodnie z (86.4),

Do obliczeń zauważamy, że chociaż wielkości nie stanowią tensora, to ich zmiany tworzą tensor. Rzeczywiście, podczas równoległego przeniesienia (patrz (85.5)) następuje zmiana wektora z pewnego punktu P do P nieskończenie blisko niego, dlatego istnieje różnica między dwoma wektorami otrzymanymi odpowiednio w wyniku dwóch równoległych przeniesień (przy niezmienionym i zmiennym T) z punktu P do tego samego punktu P. Różnica między dwoma wektorami w tym samym punkcie jest wektorem, a zatem jest tensorem.

Skorzystajmy z lokalnego układu współrzędnych geodezyjnych. W tym momencie wszystko jest . Używając wyrażenia (92.7) mamy (pamiętając, że pierwsze pochodne są teraz równe zeru):

Ponieważ istnieje wektor, wynikową zależność możemy zapisać w dowolnym układzie współrzędnych w postaci

(zastępując i używając (86,9)). Dlatego druga całka po prawej stronie w (95.1) jest równa

i zgodnie z twierdzeniem Gaussa można przekształcić w całkę po hiperpowierzchni obejmującej całą objętość.

Ponieważ zmienność pola wynosi zero na granicach całkowania, termin ten znika. Więc jest taka odmiana

Zauważ, że jeśli zaczęliśmy od wyrażenia

dla działania pola otrzymalibyśmy, co łatwo sprawdzić,

Porównując to z (95.2), znajdujemy następującą zależność:

Dla zmian w działaniu materii możemy napisać zgodnie z (94.5)

gdzie jest tensorem energii i pędu materii (w tym pola elektromagnetycznego). Oddziaływanie grawitacyjne odgrywa rolę tylko w przypadku ciał o wystarczająco dużej masie (ze względu na małą stałą grawitacji). Dlatego też badając pole grawitacyjne mamy zwykle do czynienia z ciałami makroskopowymi. W związku z tym zwykle musimy napisać wyrażenie (94,9).

Zatem z zasady najmniejszego działania znajdujemy:

gdzie z powodu arbitralności

lub w mieszanych składnikach

Są to poszukiwane równania pola grawitacyjnego – podstawowe równania ogólnej teorii względności. Nazywa się je równaniami Einsteina.

Upraszczając (95,6) za pomocą wskaźników i oraz k, znajdujemy:

Dlatego równania pola można również zapisać w postaci

Równania Einsteina są nieliniowe. Dlatego zasada superpozycji nie obowiązuje dla pól grawitacyjnych. Zasada ta obowiązuje tylko w przybliżeniu dla słabych pól, które pozwalają na linearyzację równań Einsteina (zalicza się do nich w szczególności pola grawitacyjne w klasycznej, Newtonowskiej granicy, patrz § 99).

W pustej przestrzeni równania pola grawitacyjnego sprowadzają się do równań

Przypomnijmy, że nie oznacza to, że pusta czasoprzestrzeń jest płaska – wymagałoby to spełnienia silniejszych warunków

Tensor energii i pędu pola elektromagnetycznego ma tę właściwość, że (patrz (33.2)). Z (95.7) wynika, że w obecności jedynie pola elektromagnetycznego bez żadnych mas skalarna krzywizna czasoprzestrzeni wynosi zero.

Jak wiemy, rozbieżność tensora pędu i energii wynosi zero:

Dlatego rozbieżność lewej strony równania (95.6) również musi być równa zeru. Jest to rzeczywiście prawdą ze względu na tożsamość (92.10).

Zatem równania (95.10) są zasadniczo zawarte w równaniach pola (95.6). Natomiast równania (95.10), wyrażające prawa zachowania energii i pędu, zawierają równania ruchu układu fizycznego, do którego należy rozpatrywany tensor energii i pędu (tj. równania ruchu cząstek materialnych lub druga para równań Maxwella).

Zatem równania pola grawitacyjnego zawierają także równania samej materii, która to pole tworzy. Dlatego rozmieszczenia i ruchu materii tworzącej pole grawitacyjne nie można określić w sposób arbitralny. Wręcz przeciwnie, należy je wyznaczać (rozwiązując równania pola w danych warunkach początkowych) jednocześnie z samym polem wytworzonym przez tę materię.

Zwróćmy uwagę na zasadniczą różnicę pomiędzy tą sytuacją a tym, co mieliśmy w przypadku pola elektromagnetycznego. Równania tego ciała (równania Maxwella) zawierają jedynie równanie zachowania ładunku całkowitego (równanie ciągłości), ale nie zawierają równań ruchu samych ładunków. Zatem rozkład i przepływ ładunków można określić dowolnie, pod warunkiem, że ładunek całkowity jest stały. Określając ten rozkład ładunków, wytwarzane przez nie pole elektromagnetyczne jest następnie określane za pomocą równań Maxwella.

Należy jednak wyjaśnić, że aby w pełni określić rozkład i ruch materii w przypadku pola grawitacyjnego, należy do równań Einsteina (oczywiście nie zawartych w nich) dodać równanie stanu materia, czyli równanie łączące ciśnienie i gęstość. Równanie to należy podać wraz z równaniami pola.

Cztery współrzędne można poddać dowolnej transformacji. Za pomocą tej transformacji można dowolnie wybrać cztery z dziesięciu składowych tensora. Dlatego tylko sześć z tych wielkości to niezależne nieznane funkcje. Ponadto cztery składowe tensora energii i pędu materii o 4 prędkościach są powiązane ze sobą zależnością , tak że tylko trzy z nich są niezależne. Zatem zgodnie z oczekiwaniami mamy dziesięć równań pola (95,5) dla dziesięciu nieznanych wielkości: sześć ze składników, trzy ze składników i gęstość materii (lub jej ciśnienie). Dla pola grawitacyjnego w pustce pozostaje tylko sześć nieznanych wielkości (składowa), a liczba niezależnych równań pola odpowiednio maleje: dziesięć równań jest powiązanych czterema tożsamościami (92.10).

Zwróćmy uwagę na pewne cechy struktury równań Einsteina. Reprezentują one układ równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu. Jednakże równania nie uwzględniają pochodnych drugiego czasu wszystkich 10 składników. Rzeczywiście z (92.1) wynika, że drugie pochodne po czasie zawarte są tylko w składowych tensora krzywizny, gdzie występują w postaci wyrazu (oznaczamy różniczkowanie ze względu na ); drugie pochodne składowych tensora metrycznego są całkowicie nieobecne. Jest zatem jasne, że tensor otrzymany w uproszczeniu z tensora krzywizny, a wraz z nim równania (95.5), zawierają także drugie pochodne po czasie tylko sześciu składowych przestrzennych

Łatwo też zauważyć, że pochodne te występują tylko w -równaniach (95.6), czyli w równaniach

(95,11)

Równania i , czyli równania

zawierają pochodne po czasie tylko pierwszego rzędu. Można to zweryfikować, sprawdzając, czy podczas tworzenia przez zwijanie wartości elementy formularza faktycznie wypadają. Jeszcze łatwiej jest to zobaczyć na podstawie tożsamości (92.10), pisząc to w formularzu

Największe pochodne względem czasu, zawarte po prawej stronie tej równości, to pochodne drugie (występujące w samych wielkościach). Ponieważ (95.13) jest tożsamością, zatem jego lewa strona musi zawierać pochodne po czasie nie wyższego niż drugiego rzędu. Ale jedno rozróżnienie. z czasem pojawia się już w nim wyraźnie; dlatego same wyrażenia mogą zawierać pochodne po czasie nie wyższe niż pierwszego rzędu.

Co więcej, lewe strony równań (95.12) również nie zawierają pierwszych pochodnych (a jedynie pochodne). Rzeczywiście, te pochodne zawierają tylko , a te wielkości z kolei wchodzą tylko w składowe tensora krzywizny postaci , które, jak już wiemy, wypadają, gdy lewe strony równań (95.12) są uformowany.

Jeśli interesuje Cię rozwiązywanie równań Einsteina w danych warunkach początkowych (w czasie), to pojawia się pytanie, ile wielkości można dowolnie nadać początkowe rozkłady przestrzenne.

Warunki początkowe równań drugiego rzędu muszą obejmować początkowe rozkłady zarówno samych wielkości różniczkowalnych, jak i ich pierwszych pochodnych względem czasu. Ponieważ jednak w tym przypadku równania zawierają drugie pochodne tylko sześciu, to nie można ich wszystkich dowolnie określić w warunkach początkowych. Można w ten sposób ustawić (wraz z prędkością i gęstością materii) początkowe wartości funkcji i , po czym z 4 równań (95.12) zostaną określone dopuszczalne wartości początkowe; w równaniach (95.11) wartości początkowe nadal pozostaną dowolne

Obliczmy różnicę. Mamy:

Podstawiając tutaj, zgodnie z (86.4),

Skorzystajmy z lokalnego układu współrzędnych geodezyjnych. W tym momencie wszystko jest . Używając wyrażenia (92.7) mamy (pamiętając, że pierwsze pochodne są teraz równe zeru):

Ponieważ istnieje wektor, wynikową zależność możemy zapisać w dowolnym układzie współrzędnych w postaci

(zastępując i używając (86,9)). Dlatego druga całka po prawej stronie w (95.1) jest równa

i zgodnie z twierdzeniem Gaussa można przekształcić w całkę po hiperpowierzchni obejmującej całą objętość.

Ponieważ zmienność pola wynosi zero na granicach całkowania, termin ten znika. Więc jest taka odmiana

Zauważ, że jeśli zaczęliśmy od wyrażenia

dla działania pola otrzymalibyśmy, co łatwo sprawdzić,

Porównując to z (95.2), znajdujemy następującą zależność:

Dla zmian w działaniu materii możemy napisać zgodnie z (94.5)

Zatem z zasady najmniejszego działania znajdujemy:

gdzie z powodu arbitralności

lub w mieszanych składnikach

Są to poszukiwane równania pola grawitacyjnego – podstawowe równania ogólnej teorii względności. Nazywa się je równaniami Einsteina.

Upraszczając (95,6) za pomocą wskaźników i oraz k, znajdujemy:

Dlatego równania pola można również zapisać w postaci

W pustej przestrzeni równania pola grawitacyjnego sprowadzają się do równań

Przypomnijmy, że nie oznacza to, że pusta czasoprzestrzeń jest płaska – wymagałoby to spełnienia silniejszych warunków

Jak wiemy, rozbieżność tensora pędu i energii wynosi zero:

Dlatego rozbieżność lewej strony równania (95.6) również musi być równa zeru. Jest to rzeczywiście prawdą ze względu na tożsamość (92.10).

Łatwo też zauważyć, że pochodne te występują tylko w -równaniach (95.6), czyli w równaniach

(95,11)

Równania i , czyli równania

Jeśli atomy zostaną napromieniowane światłem, światło zostanie przez nie pochłonięte. Naturalnym jest założenie, że w pewnych warunkach absorpcja będzie tak duża, że zewnętrzne (walencyjne) zostaną oderwane od atomów. Zjawisko to można zaobserwować w rzeczywistości. Klasyczna elektrodynamika, zwykła falowa teoria światła, nie jest w stanie zapewnić zadowalającego wyjaśnienia efektu fotoelektrycznego. Einstein wysuwa założenie, że samo światło ma naturę korpuskularną i że sensowne jest patrzenie na światło nie jako na strumień fal, ale jako na strumień cząstek. Światło jest nie tylko emitowane, ale także propagowane i pochłaniane w postaci kwantów! Einstein nazwał te kwanty, czyli cząstki, fotonami energii świetlnej.

Fotony padające na powierzchnię metalu wnikają na bardzo małą odległość w głąb metalu i są całkowicie pochłaniane przez jego poszczególne elektrony przewodzące. Natychmiast zwiększają swoją energię do wartości wystarczającej do pokonania bariery potencjału przy powierzchni metalu i wylatują.

Równanie Einsteina na efekt fotoelektryczny

Czerwona granica efektu fotoelektrycznego jest różna dla różnych metali

Przykłady rozwiązywania problemów

PRZYKŁAD 1

Ćwiczenia

Aby wyznaczyć stałą Plancka, zbudowano obwód (rys. 1). Gdy styk ślizgowy potencjometru znajduje się w skrajnie lewym położeniu, czuły amperomierz rejestruje słaby fotoprąd po oświetleniu przez fotokomórkę. Przesuwając styk ślizgowy w prawo, napięcie blokujące jest stopniowo zwiększane, aż do ustania fotoprądu w obwodzie. Przy oświetleniu fotokomórki światłem fioletowym o częstotliwości THz napięcie blokujące wynosi 2 V, a przy oświetleniu światłem czerwonym = 390 THz napięcie blokujące wynosi 0,5 V. Jaką wartość stałej Plancka uzyskano?

Rozwiązanie

Równanie Einsteina służy jako podstawa do rozwiązania problemu:

W przypadku osiągnięcia napięcia, przy którym fotoprąd zatrzymuje się, ujemna praca pola zewnętrznego na elektrony jest równa elektronowi, czyli:

Wtedy równanie Einsteina będzie miało postać:

Zapiszmy to równanie dla dwóch stanów opisanych w warunkach zadania:

Odejmując pierwsze równanie od drugiego, otrzymujemy:

Uzupełnijmy dane problemu tabelaryczną wartością ładunku elektronu kl

Przekonwertujmy dane na SI:

750 THz = Hz,

390 THz = Hz

Zróbmy obliczenia

Odpowiedź

Stała Plancka jest równa J s.

PRZYKŁAD 2

Ćwiczenia

W fotokomórce próżniowej napromieniowanej światłem o częstotliwości , fotoelektron wchodzi w opóźniające pole elektryczne. Do elektrod fotokomórki przykładane jest napięcie U, odległość między elektrodami wynosi H, elektron wylatuje pod kątem do płaszczyzny katody. Jak zmienia się pęd i współrzędne elektronu w porównaniu do początkowych w momencie jego powrotu na katodę? A jest funkcją pracy.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać problem, używamy równania Einsteina dla efektu fotoelektrycznego:

Następnie musisz wyobrazić sobie ruch elektronu. Załóżmy, że w obszarze ruchu elektronów pole elektryczne jest jednorodne. Założenie to można przyjąć, jeśli założymy, że anoda znajduje się stosunkowo daleko od szczytu trajektorii elektronu. Znajdźmy zmianę elektronu po powrocie do katody. Skonstruujmy rys. 2.

Zmiana pędu jest podstawą trójkąta z kątem wierzchołkowym. Następnie ,

Już w pierwszym poście mojego LJ-a obiecałem, że będę zamieszczał wszelakie bzdury i inne bzdury z formułami. Jeśli chodzi o bzdury, plan uważam za zrealizowany w 100%, ale teraz zaczynam (już zaczynałem w temacie o detektorach fal grawitacyjnych) do drugiej części planu - wrzucę bzdury ze wzorami aby gospodynie domowe, a nawet JETF pluły.

Pamiętam, że poproszono mnie o wyjaśnienie czegoś na temat równań Einsteina. Konkretnie co i gdzie. W ramach komentarzy oczywiście wyjaśniłem to do minimum, ale jest mało prawdopodobne, aby przyniosło to jakąkolwiek prawdziwą jasność. Dlatego zdecydowałem się napisać bardziej szczegółowy komunikat w tej sprawie. Napiszę trochę o tensorach, żeby było jasne o czym będę dalej mówił.

Ale najpierw kilka porozumień. W moim poście wykorzystano zasadę sumowania Einsteina (jest to sumowanie po powtarzających się indeksach) - wyjaśnię to teraz, a potem będzie to sugerowane samo przez się.
Niech więc będzie rekord

Zgodnie z regułą Einsteina, gdy znany jest wymiar przestrzeni (lub gdy jest nieznany, należy wyraźnie wskazać, do którego elementu następuje sumowanie), znak sumy pomija się, a zakłada się sumowanie po powtarzających się indeksach (indeks " I„t A i o godz B. I jest napisane tak

Dlatego wszędzie tam, gdzie odtąd będą spotykane powtarzające się indeksy, zakładane jest sumowanie (i to nie tylko pojedyncze, ale może podwójne).

Załóżmy, że mamy dwa układy współrzędnych

Kontrawariantny tensor rangi 2

te. stare współrzędne są odróżniane od nowych. Oznacza to sumowanie po powtarzających się indeksach.
Tensor kowariantny rangi 2 jest wielkością, która podlega transformacji podczas przekształcania współrzędnych zgodnie z regułami

Szczególnymi typami tensorów są dobrze znane wektory (tensor pierwszego stopnia) i skalary (tensor 0-go rzędu).

W inercjalnym układzie odniesienia w kartezjańskim układzie współrzędnych, jak wiadomo, przedział ds zdefiniowana jako

W nieinercyjnym FR kwadrat przedziału - jakaś kwadratowa forma formy

tutaj znowu sumowanie po powtarzających się indeksach.
(można to sprawdzić na konkretnych przykładach - spróbuj na przykład przekonwertować ISO na rotację).
Oczywiście, Co
a) według wymiaru okazuje się, że wielkość stojąca przed iloczynem różnic współrzędnych jest skalarem.
b) różnice współrzędnych można przestawiać, co oznacza, że wartość g nie zależy od kolejności wskaźników.
Zatem g ik- symetryczny 4-tensor. Nazywa się to tensorem metrycznym.

W zwykłym inercjalnym układzie współrzędnych, jak łatwo zrozumieć z zapisu przedziału, macierz tensora metrycznego ma postać

Nazywa się zbiór głównych wartości (1, -1, -1, -1). podpis macierze (czasami zapisywane po prostu (+, -, -, -)). Wyznacznik w tym przypadku jest ujemny. To znowu jest oczywiste.
Wszystko, co powiedziano o nieinercyjnych układach odniesienia, można w 100% przenieść na dowolny krzywoliniowy układ współrzędnych, w oderwaniu od fizyki w ogóle.

Niestety nie mogę za wiele napisać tensor krzywizny

Riklm bo do tego trzeba napisać cały traktat - jak to się wywodzi, skąd pochodzi i tak dalej. Będę musiał napisać o symbolach Christoffela, jest bardzo długi. Może innym razem, jeśli ktoś będzie zainteresowany.

Tensora Ricciego otrzymany przez splot tensora krzywizny

jest symetryczny.

Myślę, że wszyscy znają zasadę najmniejszego działania Hamiltona. W tym przypadku jest to zapisane jako

tutaj lambda można uznać za „gęstość” funkcji Lagrange'a. Z tego otrzymujemy następnie tensor energii i pędu

Tutaj - tensor energii i pędu.

Równania Einsteina uzyskuje się z zasady najmniejszego działania. Ich wniosek nie jest taki trudny, jeśli wiesz wszystko, co powiedziałem powyżej. Ale oczywiście w tym przypadku nie napiszę tego. Równania Einsteina mają postać

Równania te są nieliniowe, w związku z czym dla ich rozwiązań nie obowiązuje zasada superpozycji.

Wyprowadzenie prawa Newtona z równań Einsteina. Przechodząc do przypadku nierelatywistycznego, należy założyć małość wszystkich prędkości, a co za tym idzie, małość pola grawitacyjnego. Wtedy wszystkim tensorom pozostanie tylko zero składników

W tym przypadku równania Einsteina dają

(tutaj m to masa na jednostkę objętości, czyli gęstość, w przeciwieństwie do dalszej prezentacji)
Jest to dobrze znane równanie Poissona określające potencjał grawitacyjny, z którego oblicza się potencjał pola jednej cząstki M i odpowiednio siła działająca w tym polu na inną cząstkę M można uzyskać wyrażenia

To słynne prawo grawitacji Newtona.

Fale grawitacyjne. To jest o słaby fale grawitacyjne, które można wykryć jedynie za pomocą interferometrów. Myślę, że każdy wie, że aby szukać słabych zaburzeń, należy przedstawić pożądaną funkcję w postaci części stacjonarnej i zaburzenia. W tym przypadku tensor krzywizny można przedstawić jako niezakłócony tensor metryki Galileusza, a tensor H opisujący słabe zaburzenie metryki

Pod pewnymi dodatkowymi warunkami tensor Ricciego przyjmuje postać

(na wszelki wypadek wyjaśniłem, co to jest operator D'Alemberta, chociaż myślę, że jest to wszystkim dobrze znane).
Mieszając to wszystko trochę, możesz uzyskać

Zwykłe równanie falowe. Oznacza to, że fale grawitacyjne poruszają się z prędkością światła.

To już koniec bajki. Myślę, że jest to bardziej szczegółowa odpowiedź, której udzieliłem wówczas w komentarzach, ale nie jestem pewien, czy stała się znacznie jaśniejsza. Ale chciałbym mieć nadzieję. Do zobaczenia ponownie na antenie, panowie!