A należy do b. Tłumy. Operacje na zbiorach. Zobacz, co „Element zestawu” znajduje się w innych słownikach

Wiele A i zawierający go zestaw A oznaczone następująco ( A jest elementem zestawu A; Lub A należy A, Lub A zawiera A). Jeśli A A, potem piszą ( A nieuwzględnione w A, A nie zawiera AA, B, C

Ustaw operacje.

Zestaw uniwersalny

Zestaw uniwersalny

diagramy Venna. Ustalanie tożsamości algebrowych i ich dowód.

Diagram Venna to schematyczne przedstawienie wszystkich możliwych przecięć kilku zbiorów, pokazujące matematyczne, teoretyczne lub logiczne zależności między zbiorami.

Tożsamości i ich dowody.

Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące zależności:

1. Przemienność:

2. Łączność

3. Rozdzielność związku względem przecięcia

3'. Rozdzielność przecięcia względem sumy

4. Prawa działania ze zbiorami pustymi i uniwersalnymi

5. Prawo idempotencji

6. Prawo De Morgana

7. Prawo absorpcji

,

8. Prawo klejenia

,

9. Prawo Poreckiego

,

10. Prawo podwójnego uzupełnienia

Udowodnij następującą tożsamość .

Udowodnijmy tę tożsamość analitycznie (wykorzystując równoważności algebry zbiorów)

Pojęcie języka formalnego

Język formalny - język charakteryzujący się precyzyjnymi regułami konstruowania wyrażeń i ich rozumienia. Jest zbudowany według jasnych zasad, zapewniając spójne, dokładne i zwięzłe przedstawienie właściwości i zależności badanego obszaru tematycznego (modelowanych obiektów).

Język formalny jest podstawą tworzenia oprogramowania.

FL tworzy się za pomocą początkowego zestawu liter a1, a2, ...., a100, za pomocą liter tworzy się chwałę. Słowo w języku formalnym to uporządkowany zbiór liter (Jaszczurka – 30 liter)

W przypadku działania * słów obowiązuje prawo skojarzeń.

Teoria półgrup i półpierścieni jest podstawą teorii ekspresji fizycznej

Tautologie

Tautologia to zdanie identycznie prawdziwe, które jest zawsze prawdziwe.

Najprostszą tautologią jest wyrażenie ( A lub nie A), reprezentujący prawo wyłączonego środka, gdzie zamiast A na przykład dowolne wyrażenie, które może być fałszywe lub prawdziwe, można zastąpić świecić czy nie, dwa razy dwa równa się lub nie równa pięć. Prawa logiki matematycznej wyrażone za pomocą operatora równoważności są również tautologiami: itp.

Pojęcie formy ekspresyjnej lub orzeczenia jednej zmiennej. Przykłady predykatów.

orzeczenie – instrukcja zależna od jakiejś zmieniającej się zmiennej.

Predykat jednomiejscowy – mapowanie, w którym każdej wartości zmiennej przypisana jest pojedyncza wartość 0 lub 1. przykłady:

Spójnik dwa predykaty A(x) i B(x) nazywane są nowym predykatem , który przyjmuje wartość „prawda” dla tych i tylko tych wartości x T, dla których każdy z predykatów przyjmuje wartość „prawda”, a we wszystkich pozostałych przypadkach przyjmuje wartość „fałsz”. Zbiór prawdy T predykatu A(x) B(x), x X jest przecięciem zbiorów prawdy predykatów A(x) – T1 i B(x) – T2, tj. T= T1 ∩T2. Na przykład: A(x): „x jest liczbą parzystą”, B(x): „x jest wielokrotnością 3”. A(x) B(x) – „x jest liczbą parzystą, a x jest wielokrotnością 3.” Te. orzeczenie „x jest podzielne przez 6”.

Odmowa predykat A(x) to nowy predykat, który przyjmuje wartość „true” dla wszystkich wartości x T, dla których predykat A(x) przyjmuje wartość „false” i przyjmuje wartość „false” jeśli A(x ) przyjmuje wartość „true” „ Zbiór prawdy predykatu x X jest uzupełnieniem T” do zbioru T w zbiorze X.

Weźmy stwierdzenia: „Sokrates jest człowiekiem”, „Platon jest człowiekiem”. Obydwa te stwierdzenia wyrażają jakość „bycia człowiekiem”. Zatem możemy rozważyć orzeczenie „być człowiekiem” i powiedzieć, że odnosi się ono do Sokratesa i Platona.

25 dziedzina definicji i dziedzina prawdziwości orzeczenia

Zbiór M, na którym zdefiniowany jest predykat P(x), nazywany jest dziedziną definicji predykatu.

Zbiór wszystkich elementów x Î M, dla których predykat przyjmuje wartość „true”, nazywany jest zbiorem prawdy predykatu P(x), czyli zbiorem prawdy predykatu P(x) jest zbiór 1p = ( x|. x Î M, P(x) = 1).

P(x): „x 2 + 1> 0, xО R”; dziedziną definicji predykatu M = R i dziedziną prawdy jest również R, ponieważ nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. Zatem dla danego predykatu M = I p. Takie predykaty nazywane są identycznie prawdziwymi.

B(x): „x 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Kwantyfikatory. Podwójne predykaty. Definicje równania, tożsamości i nierówności.

Kwantyfikator- ogólna nazwa operacji logicznych ograniczających dziedzinę prawdziwości predykatu i tworzących zdanie. Najczęściej wymieniane:

· Kwantyfikator uniwersalny(oznaczenie: brzmi: „dla każdego…”, „dla każdego…” lub „każdy…”, „każdy…”, „dla każdego…”).

· Kwantyfikator istnienia(oznaczenie: , brzmi: „istnieje…” lub „zostanie znaleziony…”).

Oznaczmy predykat „ X podzielna przez 5.” Używając kwantyfikatora ogólnego, możemy formalnie zapisać następujące stwierdzenia (oczywiście fałszywe):

1. każda liczba naturalna jest wielokrotnością 5;

2. każda liczba naturalna jest wielokrotnością 5;

3. wszystkie liczby naturalne są wielokrotnościami 5;

następująco:

.

Poniższe (już prawdziwe) stwierdzenia wykorzystują kwantyfikator egzystencjalny:

1. istnieją liczby naturalne będące wielokrotnością 5;

2. znaleźć liczbę naturalną będącą wielokrotnością 5;

3. co najmniej jedna liczba naturalna jest podzielna przez 5.

Ich formalny zapis:

.

· Stwierdzenie oznacza, że ​​zakres wartości zmiennej mieści się w zakresie prawdziwości predykatu.

(„Dla wszystkich wartości (x) stwierdzenie jest prawdziwe.”)

· Stwierdzenie oznacza, że ​​dziedzina prawdziwości orzeczenia jest niepusta.

(„Istnieje (x), dla którego stwierdzenie jest prawdziwe”).

Operacje na kwantyfikatorach

Reguła negacji kwantyfikatorów- służy do konstruowania negacji zdań zawierających kwantyfikatory i ma postać:

Podwójny predykat – mapowanie, w którym każdej parze zmiennych przypisuje się pojedynczą wartość 0 lub 1.

Predykat jest predykatem dwumiejscowym, obszar tematyczny które mogą służyć jako dowolny zbiór liczb rzeczywistych. Zdanie jest prawdziwe, a zdanie fałszywe. Jeśli zastąpisz liczbę zamiast jednej ze zmiennych, otrzymasz predykat jednomiejscowy.

Przecięcie wykresu

Niech G1(V1,E1) i G’2(V2’,E2’) będą dowolnymi wykresami. Przecięcie G1∩G’2 grafów G1 i G’2 jest grafem o zbiorze wierzchołków V1∩V’2 o zestawie krawędzi E = E1∩E’2

Właściwości

· Przecięcie zbiorów jest operacją binarną na dowolnej liczbie logicznej 2 X;

przemienne:

Ustaw operację przecięcia przechodni (łączność):

· Zestaw uniwersalny X jest neutralnym elementem operacji przecięcia zbiorów:

· Zatem wartość logiczna wraz z operacją przecięcia zbiorów jest grupą abelową;

· Działanie przecięcia zbiorów jest idempotentne:

· Jeśli jest zbiorem pustym, to

Szkielety i szkielety grafów.

Wykres szkieletu jest podgrafem tego, co jest drzewem.

Koostow – dodanie szkieletu do wykresu.

Pojęcie zestawu. Operacje na zbiorach. Zestaw uniwersalny.

Wiele(N-naturalny, Z-integer, Q-racjonalny, R-real) – pojęcie niedefiniowalne, to zbiór obiektów traktowanych jako jedna całość. Pojęcie zbioru przyjmuje się jako podstawowe, tj. nieredukowalne do innych pojęć. Obiekty tworzące dany zbiór nazywane są jego elementami. Prosty zbiór nie składa się z jednego elementu. Podstawowe zależności pomiędzy elementami A i zawierający go zestaw A oznaczone następująco ( A jest elementem zestawu A; Lub A należy A, Lub A zawiera A). Jeśli A nie jest elementem zestawu A, potem piszą ( A nieuwzględnione w A, A nie zawiera A). Zbiór można określić podając wszystkie jego elementy i w tym przypadku stosuje się nawiasy klamrowe. Więc ( A, B, C) oznacza zbiór trzech elementów. Podobny zapis stosuje się w przypadku zbiorów nieskończonych, gdzie niepisane elementy są zastępowane wielokropkiem. Tak, dużo liczby naturalne jest oznaczony (1, 2, 3, ...), a zbiór liczb parzystych to (2, 4, 6, ...), a elipsa w pierwszym przypadku oznacza wszystkie liczby naturalne, a w drugim - tylko parzyste.

„zbiór pusty” to zbiór nie zawierający ani jednego elementu, jest on oznaczony przez

Metody przypisania: tabelaryczne, listujące elementy, graficzne, rekurencyjne, formułowe.

Ustaw operacje.

Przecięciem zbiorów jest zbiór składający się z elementów należących do obu zbiorów.

Dla przecięcia zbiorów prawdziwe są:

X∩Y=Y∩X - prawo przemienności

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - prawo asocjacji

Suma zbiorów to zbiór składający się z elementów należących do co najmniej jednego ze zbiorów.

W przypadku zestawów łączonych prawdziwe są następujące stwierdzenia:

XUY = YUX - prawo przemienności

· (XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - prawo skojarzeniowe,

Zestaw uniwersalny

Zestaw uniwersalny- zestaw zawierający wszystkie możliwe obiekty. Uniwersalny zestaw jest wyjątkowy.

Zbiór uniwersalny to zbiór zawierający wszystkie elementy, z których może składać się inny zbiór, tj. całkowicie zawierają wszystkie elementy zbioru uniwersalnego. .

Jeśli z jakiegoś powodu w grę wchodzą tylko podzbiory pewnego ustalonego zbioru, wówczas ten największy zbiór będzie uważany za uniwersalny.

Zbiór uniwersalny ma interesującą właściwość, która nie ma analogii w zwykłej algebrze, a mianowicie, że dla dowolnego zbioru X zachodzi relacja XU(unia)I = I.

Zbiór uniwersalny jest zwykle oznaczany graficznie jako zbiór punktów w prostokącie, a zbiory indywidualne jako oddzielne obszary w obrębie tego prostokąta. Reprezentacja zbiorów jako obszarów w prostokącie reprezentującym zbiór uniwersalny nazywa się diagramem Eulera-Venna.

Dość często w naukach matematycznych pojawia się wiele trudności i pytań, a wiele odpowiedzi nie zawsze jest jasnych. Temat liczności zbiorów nie był wyjątkiem. Zasadniczo jest to nic innego jak liczbowe wyrażenie liczby obiektów. W sensie ogólnym zbiór jest aksjomatem; nie ma definicji. Opiera się na dowolnych obiektach, a raczej ich zbiorze, który może być pusty, skończony lub nieskończony. Ponadto zawiera liczby całkowite lub naturalne, macierze, ciągi, odcinki i proste.

O istniejących zmiennych

Zbiór zerowy lub pusty, który nie ma wartości własnej, jest uważany za element liczności, ponieważ jest podzbiorem. Zbiór wszystkich podzbiorów niepustego zbioru S jest zbiorem zbiorów. Zatem zbiór liczności danego zestawu jest uważany za wiele, możliwy do pomyślenia, ale zjednoczony. Zbiór ten nazywany jest zbiorem mocy S i jest oznaczony przez P(S). Jeśli S zawiera N elementów, to P(S) zawiera 2^n podzbiorów, ponieważ podzbiór P(S) jest albo ∅, albo podzbiorem zawierającym r elementów S, r = 1, 2, 3, ... Złożony z cały nieskończony zbiór M nazywany jest wielkością potęgową i jest symbolicznie oznaczany przez P(M).

Tę dziedzinę wiedzy rozwinął George Cantor (1845-1918). Dziś jest używany w prawie wszystkich gałęziach matematyki i służy jako jego podstawowa część. W teorii mnogości elementy są reprezentowane w formie listy i określone przez typy (zbiór pusty, zbiór singletonowy, skończony i nieskończony, równy i równoważny, uniwersalny), sumę, przecięcie, różnicę i uzupełnienie liczb. W życie codzienne ludzie często mówią o zbiorze przedmiotów, takich jak stos kluczy, stado ptaków, talia kart itp. W matematyce w piątej klasie i później istnieją liczby naturalne, całkowite, pierwsze i złożone.

Można rozważyć następujące zestawy:

• liczby naturalne;
• litery alfabetu;
• współczynniki pierwotne;
• trójkąty z różne znaczenia strony

Można zauważyć, że te określone przykłady reprezentują dobrze zdefiniowane zbiory obiektów. Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów:

• pięciu najsłynniejszych naukowców świata;
• siedem pięknych dziewcząt w społeczeństwie;
• trzech najlepszych chirurgów.

Te przykłady liczności nie są jasno określonymi zbiorami obiektów, ponieważ kryteria „najsłynniejszego”, „najpiękniejszego”, „najlepszego” różnią się w zależności od osoby.

Zestawy

Wartość ta reprezentuje jasno określoną liczbę różnych obiektów. Zakładając, że:

• zbiór słów jest synonimem, agregatem, klasą i zawiera elementy;
• obiekty, członkowie są równymi terminami;
• zwykle wyznacza się zestawy wielkimi literami ;
• elementy zestawu są oznaczone małymi literami a, b, c.

Jeśli „a” jest elementem zbioru A, to mówimy, że „a” należy do A. Wyrażenie „należy” oznaczamy greckim symbolem „∈” (epsilon). Okazuje się zatem, że a ∈ A. Jeśli „b” jest elementem nienależącym do A, jest on reprezentowany jako b ∉ A. Niektóre ważne zbiory używane w matematyce klasy 5. są reprezentowane za pomocą trzech następujących metod:

• aplikacje;
• rejestry lub tabele;
• zasada tworzenia konstrukcji.

Po bliższym zbadaniu formularz wniosku wygląda następująco. W tym przypadku podany jest przejrzysty opis elementów zestawu. Wszystkie są ujęte w nawiasy klamrowe. Na przykład:

• zbiór liczb nieparzystych mniejszy niż 7 zapisuje się jako (mniejszy niż 7);
• zbiór liczb większych niż 30 i mniejszych niż 55;
• liczba uczniów w klasie, którzy ważą więcej niż nauczyciel.

W formie rejestracyjnej (tabelarycznej) elementy zestawu są wymienione w parze nawiasów () i oddzielone przecinkami. Na przykład:

1. Niech N oznacza zbiór pierwszych pięciu liczb naturalnych. Dlatego N = → formularz rejestracyjny
2. Zestaw wszystkich samogłosek Alfabet angielski. Stąd V = (a, e, i, o, u, y) → forma rejestru
3. Zbiór wszystkich liczb nieparzystych jest mniejszy niż 9. Zatem X = (1, 3, 5, 7) → forma księgowa
4. Zbiór wszystkich liter w słowie „Matematyka”. Zatem Z = (M, A, T, H, E, I, C, S) → Formularz rejestracyjny
5. W to zbiór ostatnich czterech miesięcy roku. Zatem W = (wrzesień, październik, listopad, grudzień) → zarejestruj się.

Warto zaznaczyć, że kolejność wymienionych pozycji nie ma znaczenia, ale nie należy ich powtarzać. Ustaloną formę konstrukcji, w danym przypadku regułę, wzór lub operator, zapisuje się w parze nawiasów, tak aby zbiór był poprawnie zdefiniowany. W formularzu konstruktora zestawów wszystkie elementy muszą mieć tę samą właściwość, aby stać się członkiem danej wartości.

W tej formie reprezentacji zbioru element zbioru jest opisywany za pomocą symbolu „x” lub dowolnej innej zmiennej, po której następuje dwukropek (:” lub „|” jest używane w zapisie). Na przykład, niech P będzie zbiorem liczb policzalnych większych niż 12. P w formie konstruktora zbiorów jest zapisywane jako - (liczba przeliczalna i większa niż 12). Będzie to czytane w określony sposób. Oznacza to, że „P jest zbiorem elementów x takich, że x jest liczbą przeliczalną i większą niż 12”.

Rozwiązany przykład z użyciem trzech metod reprezentacji zbiorów: liczba liczb całkowitych z przedziału od -2 do 3. Poniżej znajdują się przykłady różne typy zestawy:

1. Zbiór pusty lub zerowy, który nie zawiera żadnego elementu i jest oznaczony symbolem ∅ i czytany jako phi. W formie listy zapisywane jest ∅ (). Skończony zbiór jest pusty, ponieważ liczba elementów wynosi 0. Na przykład zbiór wartości całkowitych jest mniejszy niż 0.
2. Jasne, że nie powinny istnieć<0. Следовательно, это пустое множество.
3. Zbiór zawierający tylko jedną zmienną nazywa się zbiorem singletonowym. Nie jest to ani proste, ani złożone.

Skończony zestaw

Zbiór zawierający pewną liczbę elementów nazywamy zbiorem skończonym lub nieskończonym. Pusty odnosi się do pierwszego. Na przykład zestaw wszystkich kolorów tęczy.

Liczba nieskończona jest zbiorem. Nie można wyszczególnić znajdujących się w nim elementów. Oznacza to, że zbiór zawierający podobne zmienne nazywany jest zbiorem nieskończonym. Przykłady:

• potęga zbioru wszystkich punktów na płaszczyźnie;
• zbiór wszystkich liczb pierwszych.

Warto jednak zrozumieć, że wszystkich potęg zbioru nie można wyrazić w formie listy. Na przykład liczby rzeczywiste, ponieważ ich elementy nie odpowiadają żadnemu konkretnemu wzorowi.

Liczbą kardynalną zbioru jest liczba odrębnych elementów w danej wielkości A. Oznacza się ją przez n(A).

Na przykład:

1. A (x: x ∈ N, x<5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
2. B = zbiór liter w słowie ALGEBRA.

Zestawy równoważne do porównania zestawów

Dwie liczebności zbioru A i B są takie, jeśli ich liczba kardynalna jest taka sama. Symbolem wskazującym równoważny zestaw jest „↔”. Na przykład: A ↔ B.

Zbiory równe: dwie liczebności zbioru A i B, jeśli zawierają te same elementy. Każdy współczynnik A jest zmienną B, a każdy B jest określoną wartością A. Zatem A = B. Różne typy sum zbiorów w liczebności i ich definicje wyjaśniono za pomocą podanych przykładów.

Istota skończoności i nieskończoności

Jakie są różnice między licznością zbioru skończonego a zbioru nieskończonego?

Pierwsza wartość ma następującą nazwę, jeśli jest pusta lub ma skończoną liczbę elementów. W skończonym zbiorze zmienną można określić, jeśli ma ograniczoną liczbę. Na przykład, używając liczby naturalnej 1, 2, 3. Proces wyliczania kończy się na pewnym N. Liczbę odrębnych elementów zliczonych w skończonym zbiorze S oznacza się przez n (S). Nazywa się go również porządkiem lub kardynałem. Oznaczone symbolicznie zgodnie ze standardową zasadą. Jeśli zatem zbiór S jest alfabetem rosyjskim, to zawiera 33 elementy. Należy również pamiętać, że element nie występuje więcej niż raz w zestawie.

Nieskończona liczba w mnogości

Zbiór nazywamy nieskończonym, jeśli nie można wyliczyć jego elementów. Jeśli ma nieograniczoną (to znaczy niepoliczalną) liczbę naturalną 1, 2, 3, 4 dla dowolnego n. Zbiór, który nie jest skończony, nazywamy nieskończonym. Możemy teraz omówić przykłady omawianych wartości liczbowych. Opcje wartości końcowej:

1. Niech Q = (liczby naturalne mniejsze niż 25). Wtedy Q jest zbiorem skończonym i n(P) = 24.
2. Niech R = (liczby całkowite od 5 do 45). Wtedy R jest zbiorem skończonym i n(R) = 38.
3. Niech S = (liczby, których moduł wynosi 9). Wtedy S = (-9, 9) jest zbiorem skończonym, a n(S) = 2.
4. Zestaw wszystkich ludzi.
5. Liczba wszystkich ptaków.

Przykłady nieskończonego zbioru:

• liczba istniejących punktów na płaszczyźnie;
• liczba wszystkich punktów odcinka;
• zbiór dodatnich liczb całkowitych podzielnych przez 3 jest nieskończony;
• wszystkie liczby całkowite i naturalne.

Zatem z powyższego rozumowania jasno wynika, jak rozróżnić zbiory skończone i nieskończone.

Kontinuum zestawu mocy

Jeśli porównasz zestaw z innymi istniejącymi wartościami, do zestawu zostanie dołączony dodatek. Jeśli ξ jest powszechnikiem, a A jest podzbiorem ξ, to uzupełnieniem A jest liczba wszystkich elementów ξ, które nie są elementami A. Symbolicznie, uzupełnienie A względem ξ oznacza się jako A”. przykład 2, 4, 5, 6 to jedyne elementy ξ, które nie należą do A. Zatem A"= (2, 4, 5, 6)

Zbiór z kontinuum liczności ma następujące cechy:

• uzupełnieniem wielkości uniwersalnej jest rozważana wartość pusta;
• ta zmienna zerowa jest uniwersalna;
• ilość i jej uzupełnienie są rozłączne.

Na przykład:

1. Niech liczba liczb naturalnych będzie zbiorem uniwersalnym, a A liczbą parzystą. Następnie A ”(x: x to nieparzysty zbiór o tych samych cyfrach).
2. Niech ξ = zbiór liter alfabetu. A = zestaw spółgłosek. Następnie A "= liczba samogłosek.
3. Dopełnieniem zbioru uniwersalnego jest ilość pusta. Można oznaczyć przez ξ. Następnie ξ "= Zbiór tych elementów, które nie są zawarte w ξ. Zbiór pusty jest zapisywany i oznaczany przez φ. Dlatego ξ = φ. Zatem uzupełnienie zbioru uniwersalnego jest puste.

W matematyce „kontinuum” jest czasami używane w odniesieniu do linii rzeczywistej. A bardziej ogólnie, aby opisać takie obiekty:

• kontinuum (w teorii mnogości) - prosta rzeczywista lub odpowiadająca jej liczba kardynalna;
• liniowy - dowolny uporządkowany zbiór mający pewne właściwości linii rzeczywistej;
• kontinuum (w topologii) to niepusta zwarta, spójna przestrzeń metryczna (czasami Hausdorffa);
• przypuszczenie, że żadne zbiory nieskończone nie są większe od liczb całkowitych, ale mniejsze od liczb rzeczywistych;
• liczność kontinuum to liczba kardynalna reprezentująca rozmiar zbioru liczb rzeczywistych.

Zasadniczo kontinuum (wymiar), teorie lub modele wyjaśniające stopniowe przejścia z jednego stanu do drugiego bez żadnych gwałtownych zmian.

Problemy zjednoczenia i przecięcia

Wiadomo, że przecięciem dwóch lub więcej zbiorów jest wielkość zawierająca wszystkie elementy wspólne w tych wartościach. Rozwiązuje się zadania tekstowe dotyczące zbiorów, aby uzyskać podstawowe informacje na temat korzystania z właściwości sumy i przecięcia zbiorów. Rozwiązane podstawowe zadania tekstowe na zbiorach wyglądają następująco:

1. Niech A i B będą dwoma skończonymi zbiorami. Są takie, że n (A) = 20, n (B) = 28 i n (A ∪ B) = 36, znaleziono n (A ∩ B).

Relacje w zbiorach za pomocą diagramu Venna:

1. Sumę dwóch zbiorów można przedstawić za pomocą zacienionego obszaru reprezentującego A ∪ B. A ∪ B, gdy A i B są zbiorami rozłącznymi.
2. Przecięcie dwóch zbiorów można przedstawić za pomocą diagramu Venna. Z zacienionym obszarem reprezentującym A ∩ B.
3. Różnicę między tymi dwoma zbiorami można przedstawić za pomocą diagramów Venna. Z zacienionym obszarem reprezentującym A – B.
4. Zależność między trzema zbiorami za pomocą diagramu Venna. Jeśli ξ reprezentuje wielkość uniwersalną, to A, B, C są trzema podzbiorami. Tutaj wszystkie trzy zestawy nakładają się na siebie.

Uogólnienie informacji o zbiorze

Liczność zbioru definiuje się jako całkowitą liczbę poszczególnych elementów w zbiorze. Ostatnia określona wartość jest opisana jako liczba wszystkich podzbiorów. Przy badaniu takich zagadnień wymagane są metody, metody i rozwiązania. Zatem dla potęgi zbioru przykłady mogą być następujące:

Niech A = (0,1,2,3)| | = 4, gdzie | | reprezentuje liczność zbioru A.

Teraz możesz znaleźć swój zestaw mocy. To również jest całkiem proste. Jak już powiedziano, zbiór potęgowy ustalany jest ze wszystkich podzbiorów danej wielkości. Musisz więc w zasadzie zdefiniować wszystkie zmienne, elementy i inne wartości A, które (), (0), (1), (2), (3), (0,1), (0,2), (0,3 ), (1,2), (1,3), ( 2,3), (0,1,2), (0,1,3), (1,2,3), (0 ,2,3 ), (0,1,2,3).

Teraz obliczana jest potęga P = ((), (0), (1), (2), (3), (0,1), (0,2), (0,3), (1,2), ( 1,3), ( 2,3), (0,1,2), (0,1,3), (1,2,3), (0,2,3), (0,1,2, 3)), który ma 16 elementów. Zatem liczność zbioru A = 16. Jest to oczywiście żmudna i uciążliwa metoda rozwiązania tego problemu. Istnieje jednak prosty wzór, dzięki któremu można bezpośrednio poznać liczbę elementów w zbiorze liczności danej wielkości. | P | = 2 ^ N, gdzie N jest liczbą elementów pewnego A. Wzór ten można uzyskać za pomocą prostej kombinatoryki. Zatem pytanie brzmi 2^11, ponieważ liczba elementów w zbiorze A wynosi 11.

Zatem zbiór to dowolna wielkość wyrażona liczbowo, którą może być dowolny możliwy obiekt. Na przykład samochody, ludzie, liczby. W sensie matematycznym pojęcie to jest szersze i bardziej uogólnione. Jeśli na początkowych etapach zostaną uporządkowane liczby i opcje ich rozwiązania, to na środkowym i wyższym etapie warunki i zadania są bardziej skomplikowane. Zasadniczo o sile związku zbiorowego decyduje przynależność obiektu do dowolnej grupy. Oznacza to, że jeden element należy do klasy, ale ma jedną lub więcej zmiennych.

Co to jest zbiór w matematyce? Zestaw matematyczny- jest to kilka pojedynczych elementów rozpatrywanych jako jedna całość. Jeśli oznaczymy taki element literą a, a sam zestaw literą A, to zapis będzie wyglądał następująco:

Zapis ten wymawia się w następujący sposób: a należy do A, lub A zawiera a, lub a jest elementem A.

Do wyszczególnienia elementów zbioru używa się nawiasów klamrowych - (). Czyli np. zbiór, w którym a ∈ A, b ∈ A i c ∈ A będziemy zapisywać w postaci:

Rodzaje zestawów.

Puste zestawy.

Pusty zestaw- Jest to zbiór, który w ogóle nie zawiera żadnych elementów. Jest to oznaczone cyfrą 0 lub specjalnym symbolem ∅.

Przykładem pustego zbioru jest dowolna koncepcja nielogiczna, zaprzeczając sobie - „wiele ptaków żyjących na dnie oceanu” lub „wiele drzew na Księżycu”. Ponieważ oba zbiory są bez znaczenia i nie odpowiadają rzeczywistości, to dlatego są puste. Załóżmy, że liczba drzew na Księżycu wynosi 0, więc „zbiór drzew na Księżycu” będzie pusty (nie będzie zawierał ani jednego elementu).

Równe zestawy.

Równe zestawy to dwa lub więcej zbiorów składających się z równych zbiorów elementów. Podajmy przykład. Załóżmy, że wszyscy członkowie Twojej rodziny są w kuchni. Zatem Zestaw „Członkowie rodziny w kuchni” będzie równy zbiorowi „Członkowie rodziny w mieszkaniu”.

Jeżeli dwa zbiory - A i B - składają się z tego samego zbioru elementów, to będą one równe, czyli A = B. Elementy zbiorów można wymieniać w dowolnej kolejności, nie wpływa to w żaden sposób na wynik. Zbiór (a, b, c) można równie łatwo zapisać jak (a, c, b) lub (c, b, a) lub (b, c, a).

Podzbiory i superzbiory.

Jeśli zbiory A i B składają się z identycznych elementów (a, b, c), to A będzie uważane za podzbiór B, a B za nadzbiór A. Zapisujemy to w następujący sposób:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Zdarza się, że zbiór B zawiera każdy z elementów zbioru A, ale jednocześnie zawiera także inne elementy, które nie należą do zbioru A. W tym przypadku zbiór B staje się własny superzbiór A, podczas gdy zbiór A staje się własny podzbiór W.

Innymi słowy, jeśli A ⊆ B, ale A ≠ B, to A ⊂ B, B ⊃ A.

Pojawią się także zadania do samodzielnego rozwiązania, na które widać odpowiedzi.

Co to są zestawy, gdzie i jak się je wykorzystuje?

W matematyce pojęcie zbioru jest jednym z głównych, podstawowych, jednak nie ma jednej definicji zbioru. Jedna z najbardziej ugruntowanych definicji zbioru jest następująca: zbiór to dowolny zbiór określonych i odrębnych obiektów, które można traktować jako pojedynczą całość. Twórca teorii mnogości, niemiecki matematyk Georg Cantor (1845-1918), powiedział tak: „Zbiór to wiele rzeczy, które myślimy jako całość”.

Czy jadłeś dzisiaj lunch? Teraz wyjdzie na jaw straszny sekret. Obiad jest mnóstwo. Mianowicie wiele potraw, z których się składa. Nie ma w nim (z reguły) identycznych potraw, a w obfitości wszystkie elementy muszą być inne. A jeśli jadłeś tę samą sałatkę na lunch i śniadanie, to ta sałatka jest skrzyżowaniem zestawów „Lunch” i „Śniadanie”.

Przyjrzyj się książce leżącej na stole lub stojącej na półce. To wiele stron. Wszystkie zawarte w nim strony różnią się od siebie przynajmniej liczbami.

A ulica, na której mieszkasz? Jest to zbiór wielu różnych obiektów, ale na pewno na tej ulicy znajduje się wiele domów. Zatem zbiór domów jest podzbiorem zbioru „Ulica”.

Przyjrzeliśmy się więc nie tylko przykładom zbiorów, ale także przykładowi operacji na zbiorach - przecięciu, a także relacji włączenia podzbioru do zbioru. W tej lekcji omówimy szczegółowo wszystkie te koncepcje.

Ale na razie jeszcze jeden przykład praktycznego rozważania zbiorów.

Zbiory jako typ danych okazały się bardzo wygodne w programowaniu złożonych sytuacji życiowych, ponieważ można ich używać do dokładnego modelowania obiektów świata rzeczywistego i zwięzłego wyświetlania złożonych relacji logicznych. Zbiory są używane w języku programowania Pascal i poniżej przyjrzymy się jednemu przykładowi rozwiązania.

Przykład 0 (Pascal). W kilku sklepach na terenie miasta dostępny jest szeroki wybór produktów. Ustal: jakie produkty są dostępne we wszystkich sklepach w mieście; pełna gama produktów w mieście.

Rozwiązanie. Definiujemy podstawowy typ danych Food (produkty), może on przyjmować wartości odpowiadające nazwom produktów (np. hleb). Deklarujemy typ zestawu; definiuje on wszystkie podzbiory złożone z kombinacji wartości typu bazowego, czyli Food. I tworzymy podzbiory: sklepy „Solnyszko”, „Veterok”, „Ogonyok”, a także podzbiory pochodne: MinFood (produkty dostępne we wszystkich sklepach), MaxFood (pełna gama produktów w mieście). Następnie opisujemy działania mające na celu otrzymanie pochodnych podzbiorów. Podzbiór MinFood powstaje w wyniku przecięcia podzbiorów Solnyshko, Veterok i Ogonyok i obejmuje te i tylko te elementy tych podzbiorów, które wchodzą w skład każdego z tych podzbiorów (w języku Pascal działanie przecięcia zbiorów jest oznaczane gwiazdką: A*B*C, poniżej podano matematyczne oznaczenie przecięcia zbiorów. Podzbiór MaxFood powstaje poprzez połączenie tych samych podzbiorów i obejmuje elementy, które wchodzą we wszystkie podzbiory (w Pascalu operację łączenia zbiorów oznaczono znakiem plus: A + B + C, oznaczenie matematyczne łączenia zbiorów podano poniżej ).

Kod PASCAL

Sklepy programowe;

typ Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, cukier, maslo, ryba);

Sklep = zestaw jedzenia;

var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Sklep;

Rozpocznij Solnyszko:=;

Weterok:=;

Ogonyok:=;

Obiekty tworzące zbiór nazywane są jego elementami. Można powiedzieć, że zbiór to „worek elementów”. To bardzo ważne: w zestawie nie ma identycznych elementów.

Zbiory mogą być skończone i nieskończone. Zbiór skończony to taki zbiór, dla którego istnieje liczba naturalna będąca liczbą jego elementów. Na przykład zbiór pierwszych pięciu nieujemnych nieparzystych liczb całkowitych jest zbiorem skończonym. Zbiór, który nie jest skończony, nazywamy nieskończonym. Na przykład zbiór wszystkich liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym.

Jeśli M- dużo i A- jego element, następnie piszą: A∈M, co oznacza „ A należy do zestawu M".

Z pierwszego (zerowego) przykładu w Pascalu z produktami dostępnymi w niektórych sklepach:

hleb∈WETEROK ,

co oznacza: element „hleb” należy do wielu produktów dostępnych w sklepie „VETEROK”.

Istnieją dwa główne sposoby definiowania zbiorów: wyliczenie i opis.

Zbiór można zdefiniować wymieniając wszystkie jego elementy, na przykład:

WETEROK = {hleb, sir, masło} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Wyliczenie może zdefiniować jedynie skończony zbiór. Chociaż możesz to zrobić za pomocą opisu. Ale zbiory nieskończone można zdefiniować jedynie poprzez opis.

Do opisu zbiorów używana jest następująca metoda. Pozwalać P(X) - jakaś instrukcja opisująca właściwości zmiennej X, którego zakres jest zbiorem M. Potem przez M = {X | P(X)} oznacza zbiór składający się ze wszystkich i tylko tych elementów, dla których twierdzenie P(X) jest prawdą. To wyrażenie brzmi następująco: „Wiele M, składający się ze wszystkich takich X, Co P(X) ".

Na przykład nagrywaj

M = {X | X² - 3 X + 2 = 0}

Przykład 6. Z badania przeprowadzonego wśród 100 nabywców rynkowych, którzy kupowali owoce cytrusowe, pomarańcze kupiło 29 nabywców, cytryny – 30 nabywców, mandarynki – 9, same mandarynki – 1, pomarańcze i cytryny – 10, cytryny i mandarynki – 4, wszystkie trzy rodzaje owoce - 3 odbiorców. Ilu klientów nie kupiło żadnego z wymienionych tutaj owoców cytrusowych? Ilu klientów kupiło same cytryny?

Działanie iloczynu kartezjańskiego zbiorów

Aby zdefiniować kolejną ważną operację na zbiorach - Iloczyn kartezjański zbiorów Wprowadźmy pojęcie uporządkowanego zbioru długości N.

Długość zestawu jest liczbą N jego składnik. Oznacza się zbiór złożony z elementów wziętych dokładnie w tej kolejności . Naraz I i () ustawiony komponent to .

Teraz nastąpi ścisła definicja, która może nie być od razu jasna, ale po tej definicji pojawi się obraz, z którego stanie się jasne, jak otrzymać iloczyn kartezjański zbiorów.

Iloczyn kartezjański (bezpośredni) zbiorów nazywa się zbiorem oznaczonym przez i składający się ze wszystkich tych i tylko tych zestawów długości N, I-ty składnik, który należy .

Wiele jest zbiorem dowolnych obiektów. Obiekty tworzące zbiór nazywane są elementami tego zbioru.

Na przykład: wielu uczniów, wiele samochodów, wiele liczb .

W matematyce zbiór jest rozumiany znacznie szerzej. Nie będziemy zagłębiać się w ten temat, ponieważ dotyczy on wyższej matematyki i na początku może powodować trudności w nauce. Rozważymy tylko tę część tematu, którą już zajmowaliśmy.

Treść lekcji

Oznaczenia

Zbiór najczęściej oznacza się wielkimi literami alfabetu łacińskiego, a jego elementy małymi literami. W tym przypadku elementy są ujęte w nawiasy klamrowe.

Na przykład, jeśli nasz przyjaciel ma na imię Tomek, Jan i Leo , wówczas możemy zdefiniować zbiór znajomych, których elementami będą Tomek, Jan i Leo.

Oznaczmy wielu naszych przyjaciół wielką literą łacińską F(przyjaciele), następnie postaw znak równości i w nawiasach klamrowych wypisz naszych znajomych:

F = (Tomek, Jan, Lew)

Przykład 2. Zapiszmy zbiór dzielników liczby 6.

Oznaczmy ten zestaw dowolną wielką literą łacińską, na przykład literą D

następnie stawiamy znak równości i wymieniamy elementy tego zbioru w nawiasach klamrowych, czyli wymieniamy

D = ( 1, 2, 3, 6 }

Jeżeli jakiś element należy do danego zbioru, to przynależność ta jest oznaczana znakiem przynależności ∈. Na przykład dzielnik 2 należy do zbioru dzielników liczby 6 (zbiór D). Jest napisane tak:

2 ∈ D

Czyta się jak « 2należy do zbioru dzielników liczby 6«

Jeżeli jakiś element nie należy do danego zbioru, to brak przynależności sygnalizowany jest przekreślonym znakiem przynależności ∉ . Na przykład dzielnik 5 nie należy do zbioru D. Jest napisane tak:

5∉D

Czyta się jak « 5 nie należy zbiór dzielników liczby 6«

Ponadto zestaw można zapisać bezpośrednio wymieniając elementy, bez wielkich liter. Może to być wygodne, jeśli zestaw składa się z małej liczby elementów. Na przykład zdefiniujmy zbiór jednego elementu. Niech ten element będzie naszym przyjacielem Tom:

( Tom )

Zdefiniujmy zbiór składający się z jednej liczby 2

{ 2 }

Zdefiniujmy zbiór składający się z dwóch liczb: 2 i 5

{ 2, 5 }

Zbiór liczb naturalnych

To pierwszy zestaw, od którego zaczęliśmy pracę. Liczby naturalne to liczby 1, 2, 3 itd.

Liczby naturalne pojawiły się z powodu potrzeby liczenia innych obiektów. Na przykład policz liczbę kurczaków, krów, koni. Liczby naturalne powstają naturalnie podczas liczenia.

Na poprzednich lekcjach, kiedy używaliśmy słowa "numer", najczęściej chodziło o liczbę naturalną.

W matematyce zbiór liczb naturalnych oznacza się wielką literą N.

Na przykład zauważmy, że liczba 1 należy do zbioru liczb naturalnych. W tym celu zapisujemy liczbę 1, następnie za pomocą znaku przynależności ∈ wskazujemy, że jednostka należy do zbioru N

1 ∈ N

Brzmi jak: „jeden należy do zbioru liczb naturalnych”

Zbiór liczb całkowitych

Zbiór liczb całkowitych obejmuje wszystkie liczby dodatnie i , a także liczbę 0.

Zbiór liczb całkowitych jest oznaczony wielką literą Z .

Zauważmy na przykład, że liczba −5 należy do zbioru liczb całkowitych:

−5 ∈ Z

Zauważmy, że 10 należy do zbioru liczb całkowitych:

10 ∈ Z

Zauważmy, że 0 należy do zbioru liczb całkowitych:

W przyszłości wszystkie liczby dodatnie i ujemne będziemy nazywać jednym wyrażeniem - liczby całkowite.

Zbiór liczb wymiernych

Liczby wymierne to te same ułamki zwykłe, które badamy do dziś.

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka, gdzie A- licznik ułamka, B- mianownik.

Licznikiem i mianownikiem mogą być dowolne liczby, w tym liczby całkowite (z wyjątkiem zera, ponieważ nie można dzielić przez zero).

Na przykład wyobraź sobie, że zamiast A jest liczbą 10, ale zamiast tego B- numer 2

10 podzielone przez 2 równa się 5. Widzimy, że liczbę 5 można przedstawić w postaci ułamka, co oznacza, że ​​liczba 5 należy do zbioru liczb wymiernych.

Łatwo zauważyć, że liczba 5 odnosi się także do zbioru liczb całkowitych. Zatem zbiór liczb całkowitych zalicza się do zbioru liczb wymiernych. Oznacza to, że zbiór liczb wymiernych obejmuje nie tylko ułamki zwykłe, ale także liczby całkowite postaci −2, −1, 0, 1, 2.

Teraz wyobraźmy sobie to zamiast A liczba to 12, ale zamiast tego B- numer 5.

12 podzielone przez 5 równa się 2,4. Widzimy, że ułamek dziesiętny 2,4 można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, co oznacza, że ​​​​jest on zawarty w zbiorze liczb wymiernych. Z tego wnioskujemy, że zbiór liczb wymiernych obejmuje nie tylko ułamki zwykłe i liczby całkowite, ale także ułamki dziesiętne.

Obliczyliśmy ułamek i otrzymaliśmy odpowiedź 2,4. Ale moglibyśmy wyizolować całą część tego ułamka:

Kiedy wyodrębnisz całą część ułamka, otrzymasz liczbę mieszaną. Widzimy, że liczbę mieszaną można również przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Oznacza to, że zbiór liczb wymiernych obejmuje także liczby mieszane.

W rezultacie dochodzimy do wniosku, że zbiór liczb wymiernych zawiera:

• liczby całkowite
• ułamki zwykłe
• dziesiętne
• liczby mieszane

Zbiór liczb wymiernych jest oznaczony wielką literą Q.

Na przykład wskazujemy, że ułamek należy do zbioru liczb wymiernych. W tym celu zapisujemy sam ułamek, następnie za pomocą znaku przynależności ∈ wskazujemy, że ułamek należy do zbioru liczb wymiernych:

∈ Q

Zauważmy, że ułamek dziesiętny 4,5 należy do zbioru liczb wymiernych:

4,5 ∈ Q

Zauważmy, że liczba mieszana należy do zbioru liczb wymiernych:

∈ Q

Lekcja wprowadzająca na temat zestawów została ukończona. W przyszłości przyjrzymy się zestawom znacznie lepiej, ale na razie wystarczy to, co omówimy w tej lekcji.

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach