Jak znaleźć współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji: przykłady rozwiązań. Współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji Jak znaleźć punkty przecięcia wykresu z osiami

W praktyce i w podręcznikach najczęściej spotykanymi metodami wymienionymi poniżej są znalezienie punktu przecięcia różnych wykresów funkcji.

Pierwsza i najprostsza polega na wykorzystaniu faktu, że w tym momencie współrzędne będą równe i zrównają wykresy, a z tego, co otrzymasz, możesz znaleźć $x$. Następnie zamień znalezione $x$ na dowolne z dwóch równań i znajdź współrzędne gry.

Przykład 1

Znajdźmy punkt przecięcia dwóch prostych $y=5x + 3$ i $y=x-2$, przyrównując funkcje:

$x=-\frac(1)(2)$

Podstawmy teraz otrzymany x do dowolnego wykresu, na przykład wybierzmy ten, który jest prostszy - $y=x-2$:

$y=-\frac(1)(2) – 2 = - 2\frac12$.

Punktem przecięcia będzie $(-\frac(1)(2);- 2\frac12)$.

Druga metoda polega na tym, że układ jest kompilowany z istniejących równań, poprzez przekształcenia jedna ze współrzędnych jest jawna, to znaczy wyrażana przez drugą. Następnie wyrażenie to w danej formie zostaje zastąpione innym.

Przykład 2

Dowiedz się, w jakich punktach przecinają się wykresy paraboli $y=2x^2-2x-1$ i prostej $y=x+1$.

Rozwiązanie:

Stwórzmy system:

$\begin(przypadki) y=2x^2-2x-1 \\ y= x + 1 \\ \end(przypadki)$

Drugie równanie jest prostsze niż pierwsze, więc zamieńmy je na $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Obliczmy, ile x jest równe, w tym celu znajdziemy pierwiastki potwierdzające równość i zapiszemy otrzymane odpowiedzi:

$x_1=2; x_2 = -\frac(1)(2)$

Podstawmy nasze wyniki wzdłuż osi x jeden po drugim do drugiego równania układu:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 - \frac(1)(2) = \frac(1)(2)$.

Punktami przecięcia będą $(2;3)$ i $(-\frac(1)(2); \frac(1)(2))$.

Przejdźmy do trzeciej metody - graficznej, ale pamiętajmy, że wynik, jaki daje, nie jest do końca dokładny.

Aby zastosować tę metodę, oba wykresy funkcji są kreślone w tej samej skali na tym samym rysunku, a następnie przeprowadzane jest wizualne wyszukiwanie punktu przecięcia.

Metoda ta jest dobra tylko wtedy, gdy wystarczający jest przybliżony wynik, a także wtedy, gdy nie ma danych na temat wzorców rozpatrywanych zależności.

Rozważmy dwie funkcje liniowe $ f(x) = k_1 x+m_1 $ i $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Funkcje te nazywane są bezpośrednimi. Skonstruowanie ich jest dość łatwe, musisz wziąć dowolne dwie wartości $ x_1 $ i $ x_2 $ i znaleźć $ f(x_1) $ i $ (x_2) $. Następnie powtórz to samo z funkcją $ g(x) $. Następnie wizualnie znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji.

Powinieneś wiedzieć, że funkcje liniowe mają tylko jeden punkt przecięcia i tylko wtedy, gdy $ k_1 \neq k_2 $. W przeciwnym razie w przypadku $ k_1=k_2 $ funkcje są do siebie równoległe, ponieważ $ k $ jest współczynnikiem nachylenia. Jeśli $ k_1 \neq k_2 $ ale $ m_1=m_2 $, to punktem przecięcia będzie $ M(0;m) $. Wskazane jest zapamiętanie tej zasady, aby szybko rozwiązać problemy.

W lipcu 2020 roku NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Statek kosmiczny dostarczy na Marsa elektroniczny nośnik z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych uczestników wyprawy.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu Ci się spodobał, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawiać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Kolejny sylwester... mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie... Wszystko to skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach i tym, co wie na ten temat Wolfram Alpha. Istnieje ciekawy artykuł na ten temat, który zawiera przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj przyjrzymy się bardziej złożonym przykładom trójwymiarowych fraktali.

Fraktal można wizualnie przedstawić (opisać) jako figurę geometryczną lub bryłę (co oznacza, że ​​oba są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), którego szczegóły mają taki sam kształt jak sama pierwotna figura. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, badając szczegóły, w których powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku zwykłej figury geometrycznej (a nie fraktala) w powiększeniu zobaczymy detale, które mają prostszy kształt niż sama figura pierwotna. Na przykład przy wystarczająco dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii prostej. Nie dzieje się tak w przypadku fraktali: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który będzie się powtarzał przy każdym wzroście.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule Fractals and Art in the Name of Science: „Fraktale to kształty geometryczne, które są tak samo złożone pod względem szczegółów, jak i ogólnej formy. To znaczy, jeśli stanowią część fraktala zostanie powiększony do rozmiarów całości, pojawi się jako całość, albo dokładnie, albo może z lekkim zniekształceniem.”