Można go zapisać w formie parametrycznej za pomocą funkcji hiperbolicznych (to wyjaśnia ich nazwę).

Oznaczmy y= b·sht, wtedy x2 / a2=1+sh2t =ch2t. Gdzie x=± a·cht .

W ten sposób dochodzimy do następujących parametrycznych równań hiperboli:

У= in ·sht, –< t < . (6)

Ryż. 1.

Znak „+” we wzorze górnym (6) odpowiada prawej gałęzi hiperboli, a znak „–” lewej (patrz ryc. 1). Wierzchołki hiperboli A(– a; 0) i B(a; 0) odpowiadają wartości parametru t=0.

Dla porównania możemy podać parametryczne równania elipsy wykorzystując funkcje trygonometryczne:

X=a·koszt,

Y=в·sint , 0 t 2p . (7)

3. Oczywiście funkcja y=chx jest parzysta i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja y=shx jest nieparzysta, ponieważ :

Funkcje y=thx i y=cthx są nieparzyste jako iloraz funkcji parzystej i nieparzystej. Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do funkcji trygonometrycznych, funkcje hiperboliczne nie są okresowe.

4. Przeanalizujmy zachowanie funkcji y= cthx w sąsiedztwie punktu nieciągłości x=0:

Zatem oś Oy jest asymptotą pionową wykresu funkcji y=cthx. Zdefiniujmy asymptoty ukośne (poziome):

Zatem prosta y=1 jest prawą asymptotą poziomą wykresu funkcji y=cthx. Ze względu na nieparzystość tej funkcji, jej lewą asymptotą poziomą jest linia prosta y = –1. Łatwo pokazać, że proste te są jednocześnie asymptotami funkcji y=thx. Funkcje shx i chx nie mają asymptot.

2) (chx)"=shx (pokazane podobnie).

4)

Istnieje również pewna analogia z funkcjami trygonometrycznymi. Pełną tabelę pochodnych wszystkich funkcji hiperbolicznych podano w rozdziale IV.

Styczna, kotangencja

Definicje funkcji hiperbolicznych, ich dziedziny definicji i wartości

sh x- sinus hiperboliczny
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- cosinus hiperboliczny
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ r< +∞ .
dzięki- tangens hiperboliczny
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- kotangens hiperboliczny
, x ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .

Wykresy funkcji hiperbolicznych

Wykres sinusoidalny y = sh x

Wykres cosinusa hiperbolicznego y = ch x

Wykres tangensa hiperbolicznego y = dzięki

Wykres cotangensu hiperbolicznego y = cth x

Formuły z funkcjami hiperbolicznymi

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

sin iz = ja sh z ; cos iz = ch z
sh iz = ja grzech z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = ja tg z ; cth iz = - i ctg z
Tutaj i jest jednostką urojoną, i 2 = - 1 .

Stosując te wzory do funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy wzory odnoszące się do funkcji hiperbolicznych.

Parytet

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

Funkcjonować ch(x)- nawet. Funkcje sh(x), dzięki), cth(x)- dziwne.

Różnica kwadratów

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Wzory na sumę i różnicę argumentów

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 oł 2 x - 1 = 1 + 2 oł 2 x,
.

Wzory na iloczyny sinusa i cosinusa hiperbolicznego

,
,
,

,
,
.

Wzory na sumę i różnicę funkcji hiperbolicznych

,
,
,
,
.

Relacja sinusa i cosinusa hiperbolicznego ze styczną i cotangensem

, ,
, .

Pochodne

,

Całki sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Rozszerzenia serii

Funkcje odwrotne

Areasinus

O - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakozyna

Na 1 ≤ x< ∞ I 0 ≤ r< ∞ obowiązują następujące formuły:
,
.

Druga gałąź obszaru cosinus znajduje się pod adresem 1 ≤ x< ∞ i - ∞< y ≤ 0 :
.

Powierzchnia styczna

Na - 1 < x < 1 i - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Wstęp

W matematyce i jej zastosowaniach w nauce i technologii powszechnie stosuje się funkcje wykładnicze. Wyjaśnia to w szczególności fakt, że wiele zjawisk badanych w naukach przyrodniczych należy do tak zwanych organicznych procesów wzrostu, w których tempo zmian związanych z nimi funkcji jest proporcjonalne do wartości samych funkcji .

Jeśli oznaczymy to funkcją i argumentem, wówczas prawo różniczkowe procesu wzrostu organicznego można zapisać w postaci, gdzie jest pewien stały współczynnik proporcjonalności.

Całkowanie tego równania prowadzi do ogólnego rozwiązania w postaci funkcji wykładniczej

Jeśli ustawisz warunek początkowy na, możesz wyznaczyć dowolną stałą, a tym samym znaleźć konkretne rozwiązanie, które reprezentuje prawo całkowe rozważanego procesu.

Do procesów wzrostu organicznego zalicza się, przy pewnych założeniach upraszczających, takie zjawiska jak np. zmiany ciśnienia atmosferycznego w zależności od wysokości nad powierzchnią Ziemi, rozpad radioaktywny, ochłodzenie lub nagrzanie ciała w środowisko stała temperatura, jednocząsteczkowy Reakcja chemiczna(na przykład rozpuszczenie substancji w wodzie), w którym zachodzi prawo działania mas (szybkość reakcji jest proporcjonalna do dostępnej ilości reagenta), namnażanie się mikroorganizmów i wiele innych.

Wzrost sumy pieniędzy w wyniku naliczania odsetek składanych (odsetki od odsetek) jest także procesem wzrostu organicznego.

Te przykłady można kontynuować.

Oprócz poszczególnych funkcji wykładniczych, w matematyce i jej zastosowaniach wykorzystuje się różne kombinacje funkcji wykładniczych, wśród których szczególne znaczenie mają liniowe i ułamkowo-liniowe kombinacje funkcji oraz tzw. funkcje hiperboliczne. Funkcji tych jest sześć, wprowadzono dla nich następujące specjalne nazwy i oznaczenia:

(sinus hiperboliczny),

(cosinus hiperboliczny),

(styczna hiperboliczna),

(kotangens hiperboliczny),

(sekans hiperboliczny),

(sieczna hiperboliczna).

Powstaje pytanie, dlaczego podano właśnie takie nazwy, a tu hiperbola i nazwy funkcji znanych z trygonometrii: sinus, cosinus itp.? Okazuje się, że zależności łączące funkcje trygonometryczne ze współrzędnymi punktów na okręgu o jednostkowym promieniu są podobne do relacji łączących funkcje hiperboliczne ze współrzędnymi punktów na hiperboli równobocznej z półosią jednostkową. Uzasadnia to nazwę funkcji hiperbolicznych.

Funkcje hiperboliczne

Funkcje podane we wzorach nazywane są odpowiednio cosinusem hiperbolicznym i sinusem hiperbolicznym.

Funkcje te są zdefiniowane i ciągłe, oraz - jest funkcją parzystą, oraz - jest funkcją nieparzystą.

Rysunek 1.1 - Wykresy funkcji

Z definicji funkcji hiperbolicznych wynika, że:

Analogicznie do funkcji trygonometrycznych, tangens hiperboliczny i cotangens wyznacza się odpowiednio za pomocą wzorów

Funkcja jest określona i ciągła na zbiorze z punktem przebitym; obie funkcje są nieparzyste, ich wykresy przedstawiono na poniższych rysunkach.

Rysunek 1.2 - Wykres funkcji

Rysunek 1.3 - Wykres funkcji

Można wykazać, że funkcje i są ściśle rosnące, a funkcja ściśle malejące. Dlatego te funkcje są odwracalne. Oznaczmy funkcje odwrotne do nich odpowiednio przez.

Rozważmy funkcję odwrotną do funkcji, tj. funkcjonować. Wyraźmy to poprzez elementarne. Rozwiązując równanie względnie, otrzymujemy Od, skąd

Zastępując z i z, znajdujemy wzór na funkcję odwrotną dla sinusa hiperbolicznego.

Inne oznaczenia: sinh X, Cii X, cosh x, rozdz X, tgh X, taak X, Cz X. Zobacz rys. dla wykresów. 1.

Podstawowe współczynniki:

Geometryczne geometryczne f. jest podobna do interpretacji funkcji trygonometrycznych (ryc. 2). Parametryczny Równania hiperboli pozwalają nam interpretować odciętą i rzędną punktu hiperboli równobocznej jako hiperbolę. cosinus i sinus; hiperboliczny odcinek styczny AB. Parametr t jest równy dwukrotności pola powierzchni sektora OAM, Gdzie JESTEM-łuk hiperboli. Dla punktu (at) parametr t jest ujemny. Odwrotne funkcje hiperboliczne wyznaczane są za pomocą wzorów:

Pochodne i całki główne funkcji G.:

W całej płaszczyźnie zmiennej zespolonej z, G. f. i można je zdefiniować za pomocą wierszy:

Zatem,

Istnieją obszerne tabele dla G. f. Wartości G. f. można również uzyskać z tabel dla były I były.

Oświetlony.: Janke E., Emde F., Lesch F., Funkcje specjalne. Wzory, wykresy, tabele, wyd. 2, przeł. z języka niemieckiego, M., 1968; Tablice okrągłych i hiperbolicznych sinusów i cosinusów w radiacyjnej mierze kąta, M., 1958; Stoły były I były, M., 1955. V. I. Bityutskov.

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, jakie są „FUNKCJE HIPERBOLICZNE” w innych słownikach:

Funkcje określone wzorami: (sinus hiperboliczny), (cosinus hiperboliczny). Czasami uwzględnia się również tangens hiperboliczny: (wykresy funkcji G. patrz ryc. 1). G. f.... ...

Funkcje określone wzorami: (sinus hiperboliczny), (cosinus hiperboliczny), (styczna hiperboliczna) ... Duży słownik encyklopedyczny

Funkcje określone wzorami: shx = (ex e x)/2(sinus hiperboliczny), chх (ex + e k)/2 (cosinus hiperboliczny), thх = shx/chx (tangens hiperboliczny). Wykresy G. f. zobacz zdjęcie...

Rodzina funkcji elementarnych wyrażanych za pomocą wykładników i ściśle powiązanych z funkcjami trygonometrycznymi. Spis treści 1 Definicja 1.1 Definicja geometryczna... Wikipedia

Funkcje określone wzorami: shx = (ex – e x)/2 (sinus hiperboliczny), chx = (ex + e x)/2 (cosinus hiperboliczny), thx = shx/chx (tangens hiperboliczny). Wykresy funkcji hiperbolicznych można znaleźć na ryc. * * * FUNKCJE HIPERBOLICZNE… … słownik encyklopedyczny

Funkcje. zdefiniowane przez flams: (sinus hiperboliczny), (cosinus hiperboliczny), (wstaw obrazki!!!) Wykresy funkcji hiperbolicznych... Wielki encyklopedyczny słownik politechniczny

Analogicznie do funkcji trygonometrycznych Sinx, cosx, wyznaczanych, jak wiadomo, za pomocą wzorów Eulera sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (gdzie e jest podstawą logarytmów Nappera, za ja = √ [ 1]); czasami uwzględniane... ... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efron

Funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych (zobacz Funkcje hiperboliczne) sh x, ch x, th x; wyraża się je za pomocą wzorów (czytaj: pole powierzchni sinus hiperboliczny, pole cosinus hiperboliczny, pole styczne... ... Wielka encyklopedia radziecka

Funkcje odwrotne do hiperbolicznych. Funkcje; wyrażone wzorami... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Odwrotne funkcje hiperboliczne definiuje się jako funkcje odwrotne funkcji hiperbolicznych. Funkcje te określają pole sektora hiperboli jednostkowej x2 − y2 = 1 w taki sam sposób, jak odwrotne funkcje trygonometryczne określają długość... ... Wikipedia

Książki

• Funkcje hiperboliczne, Yanpolsky A.R.. Książka przedstawia właściwości funkcji hiperbolicznych i odwrotnych hiperbolicznych oraz podaje relacje między nimi a innymi funkcjami elementarnymi. Zastosowania funkcji hiperbolicznych do...