Jak obliczyć pole figury. Jak obliczyć i wyznaczyć pole Pola różnych figur wzoru

Wiedza o pomiarach Ziemi pojawiła się już w starożytności i stopniowo nabierała kształtu w nauce geometrii. Słowo to jest tłumaczone z języka greckiego jako „geodezja”.

Miarą wielkości płaskiego odcinka Ziemi pod względem długości i szerokości jest powierzchnia. W matematyce jest zwykle oznaczany łacińską literą S (od angielskiego „kwadrat” - „obszar”, „kwadrat”) lub grecką literą σ (sigma). S oznacza obszar figury na płaszczyźnie lub powierzchnię ciała, a σ jest polem przekroju poprzecznego drutu w fizyce. Są to główne symbole, chociaż mogą istnieć inne, na przykład w zakresie wytrzymałości materiałów, A jest polem przekroju poprzecznego profilu.

W kontakcie z

Wzory obliczeniowe

Znając pola prostych figur, możesz znaleźć parametry bardziej złożonych.. Starożytni matematycy opracowali wzory, za pomocą których można je łatwo obliczyć. Takie figury to trójkąt, czworokąt, wielokąt, okrąg.

Aby znaleźć pole złożonej figury płaskiej, dzieli się ją na wiele prostych figur, takich jak trójkąty, trapezy lub prostokąty. Następnie za pomocą metod matematycznych wyprowadza się wzór na pole tej figury. Podobną metodę stosuje się nie tylko w geometrii, ale także w analizie matematycznej do obliczania pól figur ograniczonych krzywymi.

Trójkąt

Zacznijmy od najprostszej figury - trójkąta. Są prostokątne, równoramienne i równoboczne. Weź dowolny trójkąt ABC o bokach AB=a, BC=b i AC=c (∆ ABC). Aby znaleźć jego pole, przypomnijmy sobie twierdzenia o sinusach i cosinusach znane ze szkolnych zajęć z matematyki. Porzucając wszelkie obliczenia, dochodzimy do następujących wzorów:

• S=√ - znany wszystkim wzór Herona, gdzie p=(a+b+c)/2 jest półobwodem trójkąta;
• S=a h/2, gdzie h jest wysokością obniżoną do boku a;
• S=a b (sin γ)/2, gdzie γ jest kątem pomiędzy bokami aib;
• S=a b/2, jeśli ∆ ABC jest prostokątne (tutaj a i b to nogi);
• S=b² (sin (2 β))/2, jeśli ∆ ABC jest równoramienne (tutaj b jest jednym z „bioder”, β jest kątem pomiędzy „biodrami” trójkąta);
• S=a² √¾, jeśli ∆ ABC jest równoboczne (tutaj a jest bokiem trójkąta).

Czworobok

Niech istnieje czworokąt ABCD z AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Aby znaleźć pole S dowolnego czterokąta, należy podzielić go przez przekątną na dwa trójkąty, których pola S1 i S2 w ogólnym przypadku nie są równe.

Następnie skorzystaj ze wzorów, aby je obliczyć i dodać, czyli S=S1+S2. Jeżeli jednak 4-kąt należy do określonej klasy, to jego pole można wyznaczyć korzystając ze znanych wcześniej wzorów:

• S=(a+c) h/2=e h, jeśli czworokąt jest trapezem (tutaj a i c to podstawy, e to linia środkowa trapezu, h to wysokość obniżona do jednej z podstaw trapezu;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, jeśli ABCD jest równoległobokiem (tutaj φ jest kątem pomiędzy bokami a i b, h jest wysokością opuszczoną na bok a, d1 i d2 są przekątnymi);
• S=a b=d²/2, jeśli ABCD jest prostokątem (d jest przekątną);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, jeśli ABCD jest rombem (a to bok rombu, φ to jeden z jego kątów, P to obwód);
• S=a²=P²/16=d²/2, jeśli ABCD jest kwadratem.

Wielokąt

Aby znaleźć pole n-gonu, matematycy rozkładają go na najprostsze równe figury - trójkąty, znajdują pole każdego z nich, a następnie je dodają. Ale jeśli wielokąt należy do klasy regularnej, użyj wzoru:

S=a n h/2=a² n/=P²/, gdzie n to liczba wierzchołków (lub boków) wielokąta, a to bok n-kąta, P to jego obwód, h to apotem, czyli a odcinek poprowadzony ze środka wielokąta na jeden z jego boków pod kątem 90°.

Koło

Okrąg to doskonały wielokąt o nieskończonej liczbie boków. Musimy obliczyć granicę wyrażenia po prawej stronie we wzorze na pole wielokąta o liczbie boków n zmierzającej do nieskończoności. W tym przypadku obwód wielokąta zamieni się w długość okręgu o promieniu R, który będzie granicą naszego koła i będzie równy P=2 π R. Podstaw to wyrażenie do powyższego wzoru. Dostaniemy:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Znajdźmy granicę tego wyrażenia jako n → ∞. Aby to zrobić, bierzemy pod uwagę, że lim (cos (180°/n)) dla n → ∞ jest równe cos 0° = 1 (lim jest znakiem granicy), a lim = lim dla n → ∞ wynosi równy 1/π (przeliczyliśmy miarę stopnia na radian, korzystając z relacji π rad=180° i zastosowaliśmy pierwszą niezwykłą granicę graniczną (sin x)/x=1 przy x → ∞). Podstawiając uzyskane wartości do ostatniego wyrażenia dla S, dochodzimy do dobrze znanego wzoru:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Jednostki

Stosuje się systemowe i niesystemowe jednostki miary. Jednostki systemowe należą do SI (System International). Jest to metr kwadratowy (metr kwadratowy, m²) i wywodzące się z niego jednostki: mm², cm², km².

Na przykład w milimetrach kwadratowych (mm²) mierzą pole przekroju poprzecznego drutów w elektrotechnice, w centymetrach kwadratowych (cm²) - przekrój belki w mechanice budowlanej, w metrach kwadratowych (m²) - w mieszkaniu lub domu, w kilometrach kwadratowych (km²) - w geografii .

Czasami jednak stosuje się niesystemowe jednostki miary, takie jak: splot, ar (a), hektar (ha) i akr (ac). Przedstawmy następujące zależności:

• 1 splot=1 a=100 m²=0,01 ha;
• 1 ha=100 a=100 akrów=10000 m²=0,01 km²=2,471 ak;
• 1 ak = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akra = 0,405 ha.

Aby rozwiązać problemy z geometrią, musisz znać wzory - takie jak pole trójkąta lub pole równoległoboku - a także proste techniki, które omówimy.

Najpierw nauczmy się wzorów na pola figur. Specjalnie zebraliśmy je w wygodnym stoliku. Drukuj, ucz się i aplikuj!

Oczywiście nie wszystkie wzory geometrii znajdują się w naszej tabeli. Na przykład, aby rozwiązać problemy z geometrii i stereometrii w drugiej części profilu Unified State Exam z matematyki, stosuje się inne wzory na pole trójkąta. Na pewno o nich opowiemy.

Ale co, jeśli chcesz znaleźć nie obszar trapezu lub trójkąta, ale obszar jakiejś złożonej figury? Istnieją uniwersalne sposoby! Pokażemy je na przykładach z banku zadań FIPI.

1. Jak znaleźć obszar niestandardowej figury? Na przykład dowolny czworokąt? Prosta technika - podzielmy tę figurę na te, o których wiemy wszystko i znajdźmy jej pole - jako sumę pól tych figur.

Podziel ten czworokąt linią poziomą na dwa trójkąty o wspólnej podstawie równej . Wysokości tych trójkątów są równe I . Następnie pole czworoboku jest równe sumie pól dwóch trójkątów: .

Odpowiedź: .

2. W niektórych przypadkach obszar figury można przedstawić jako różnicę niektórych obszarów.

Nie jest łatwo obliczyć, ile wynosi podstawa i wysokość tego trójkąta! Ale możemy powiedzieć, że jego powierzchnia jest równa różnicy między polami kwadratu o boku i trzech trójkątów prostokątnych. Czy widzisz je na zdjęciu? Otrzymujemy: .

Odpowiedź: .

3. Czasami w zadaniu trzeba znaleźć obszar nie całej figury, ale jej część. Zwykle mówimy o obszarze sektora - części koła. Znajdź obszar sektora koła o promieniu, którego długość łuku jest równa .

Na tym zdjęciu widzimy część koła. Pole całego koła jest równe. Pozostaje dowiedzieć się, która część koła jest przedstawiona. Ponieważ długość całego okręgu jest równa (od ) i długość łuku danego sektora jest równa dlatego długość łuku jest kilkakrotnie mniejsza niż długość całego koła. Kąt, pod którym spoczywa ten łuk, jest również czynnikiem mniejszym niż pełne koło (to znaczy stopni). Oznacza to, że powierzchnia sektora będzie kilkakrotnie mniejsza niż powierzchnia całego koła.

Formuła powierzchniowa konieczne jest wyznaczenie pola figury, które jest funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną na pewnej klasie figur płaszczyzny euklidesowej i spełniającą 4 warunki:

1. Pozytywność — pole nie może być mniejsze od zera;
2. Normalizacja - kwadrat z jednostką boczną ma pole 1;
3. Kongruencja - figury przystające mają równe pole;
4. Addytywność - obszar związku 2 figur bez wspólnych punktów wewnętrznych jest równy sumie pól tych figur.

Pola figur geometrycznych są wartościami liczbowymi charakteryzującymi ich wielkość w przestrzeni dwuwymiarowej. Wartość tę można mierzyć w jednostkach systemowych i niesystemowych. Na przykład niesystemową jednostką powierzchni jest setna część hektara. Dzieje się tak w przypadku, gdy mierzona powierzchnia jest kawałkiem ziemi. Systemową jednostką powierzchni jest kwadrat długości. W układzie SI jednostką powierzchni płaskiej jest metr kwadratowy. W GHS jednostka powierzchni wyrażana jest w centymetrze kwadratowym.

Geometria i wzory na pole są ze sobą nierozerwalnie powiązane. Związek ten polega na tym, że obliczanie pól figur płaskich opiera się właśnie na ich zastosowaniu. Dla wielu figur wyprowadza się kilka opcji, z których obliczane są ich wymiary kwadratowe. Na podstawie danych zawartych w opisie problemu możemy określić najprostsze możliwe rozwiązanie. Ułatwi to obliczenia i zredukuje do minimum prawdopodobieństwo błędów obliczeniowych. Aby to zrobić, rozważ główne obszary figur w geometrii.

Wzory na znalezienie obszaru dowolnego trójkąta są prezentowane w kilku opcjach:

1) Pole trójkąta oblicza się z podstawy a i wysokości h. Za podstawę uważa się bok figury, na którym obniżona jest wysokość. Zatem pole trójkąta wynosi:

2) Pole trójkąta prostokątnego oblicza się w ten sam sposób, jeśli przeciwprostokątną uważa się za podstawę. Jeśli przyjmiemy nogę jako podstawę, wówczas obszar prawego trójkąta będzie równy iloczynowi nóg o połowę.

Na tym nie kończą się formuły obliczania pola dowolnego trójkąta. Inne wyrażenie zawiera boki a, b i sinusoidalną funkcję kąta γ pomiędzy a i b. Wartość sinusa można znaleźć w tabelach. Można to również sprawdzić za pomocą kalkulatora. Zatem pole trójkąta wynosi:

Korzystając z tej równości, możesz również upewnić się, że obszar trójkąta prostokątnego jest określony przez długości nóg. Ponieważ kąt γ jest kątem prostym, dlatego pole trójkąta prostokątnego oblicza się bez mnożenia przez funkcję sinus.

3) Rozważmy szczególny przypadek - regularny trójkąt, którego bok a jest znany z warunku lub jego długość można znaleźć podczas rozwiązywania. Nic więcej nie wiadomo na temat figury w zadaniu geometrycznym. Jak więc znaleźć obszar pod tym warunkiem? W tym przypadku stosuje się wzór na pole regularnego trójkąta:

Prostokąt

Jak znaleźć pole prostokąta i wykorzystać wymiary boków mających wspólny wierzchołek? Wyrażenie do obliczeń to:

Jeśli chcesz użyć długości przekątnych do obliczenia pola prostokąta, będziesz potrzebować funkcji sinusa kąta utworzonego podczas ich przecięcia. Ten wzór na pole prostokąta to:

Kwadrat

Pole kwadratu określa się jako drugą potęgę długości boku:

Dowód wynika z definicji, że kwadrat jest prostokątem. Wszystkie boki tworzące kwadrat mają te same wymiary. Zatem obliczenie pola takiego prostokąta sprowadza się do pomnożenia jednego przez drugi, czyli do drugiej potęgi boku. A wzór na obliczenie pola kwadratu przyjmie pożądaną formę.

Pole kwadratu można znaleźć w inny sposób, na przykład, jeśli użyjesz przekątnej:

Jak obliczyć pole figury utworzonej przez część płaszczyzny ograniczonej okręgiem? Aby obliczyć pole, stosuje się następujące wzory:

Równoległobok

W przypadku równoległoboku wzór zawiera wymiary liniowe boku, wysokość i operację matematyczną - mnożenie. Jeśli wysokość nie jest znana, jak znaleźć obszar równoległoboku? Jest inny sposób obliczeń. Wymagana będzie pewna wartość, którą przyjmie funkcja trygonometryczna kąta utworzonego przez sąsiednie boki, a także ich długość.

Wzory na pole równoległoboku to:

Romb

Jak znaleźć pole czworokąta zwanego rombem? Pole rombu określa się za pomocą prostej matematyki z przekątnymi. Dowód opiera się na fakcie, że odcinki przekątne w d1 i d2 przecinają się pod kątem prostym. Z tabeli sinusów wynika, że ​​dla kąta prostego funkcja ta jest równa jedności. Dlatego powierzchnię rombu oblicza się w następujący sposób:

Obszar rombu można również znaleźć w inny sposób. Nie jest to również trudne do udowodnienia, biorąc pod uwagę, że jego boki mają tę samą długość. Następnie zastąp ich iloczyn podobnym wyrażeniem równoległoboku. Przecież szczególnym przypadkiem tej konkretnej figury jest romb. Tutaj γ jest kątem wewnętrznym rombu. Pole rombu określa się w następujący sposób:

Trapez

Jak znaleźć pole trapezu poprzez podstawy (a i b), jeśli zadanie wskazuje ich długości? Tutaj bez znanej wartości długości wysokości h nie będzie możliwe obliczenie pola takiego trapezu. Ponieważ ta wartość zawiera wyrażenie do obliczeń:

W ten sam sposób można również obliczyć kwadratowy rozmiar trapezu prostokątnego. Bierze się pod uwagę, że w prostokątnym trapezie łączone są pojęcia wysokości i boku. Dlatego w przypadku trapezu prostokątnego zamiast wysokości należy określić długość boku bocznego.

Cylinder i równoległościan

Zastanówmy się, co jest potrzebne do obliczenia powierzchni całego cylindra. Pole tej figury to para okręgów zwanych podstawami i powierzchnia boczna. Okręgi tworzące koła mają promienie o długości r. Dla powierzchni cylindra przeprowadza się następujące obliczenia:

Jak znaleźć obszar równoległościanu składającego się z trzech par ścian? Jego wymiary odpowiadają konkretnej parze. Przeciwległe ściany mają te same parametry. Najpierw znajdź S(1), S(2), S(3) - kwadratowe wymiary nierównych ścian. Następnie pole powierzchni równoległościanu wynosi:

Pierścień

Dwa koła o wspólnym środku tworzą pierścień. Ograniczają także powierzchnię pierścienia. W tym przypadku oba wzory obliczeniowe uwzględniają wymiary każdego koła. Pierwszy z nich, obliczający pole pierścienia, zawiera większy promień R i mniejszy r. Częściej nazywane są zewnętrznymi i wewnętrznymi. W drugim wyrażeniu obszar pierścienia jest obliczany na podstawie większej średnicy D i mniejszej średnicy d. Zatem obszar pierścienia na podstawie znanych promieni oblicza się w następujący sposób:

Pole pierścienia, korzystając z długości średnic, określa się w następujący sposób:

Wielokąt

Jak znaleźć obszar wielokąta, którego kształt nie jest regularny? Nie ma ogólnego wzoru na pole takich figur. Ale jeśli jest to przedstawione na płaszczyźnie współrzędnych, na przykład może to być papier w kratkę, to jak w tym przypadku znaleźć pole powierzchni? Tutaj stosują metodę, która nie wymaga przybliżonego pomiaru figury. Robią to: jeśli znajdą punkty wpadające w róg komórki lub mające całe współrzędne, to tylko one są brane pod uwagę. Aby następnie dowiedzieć się, jakie jest pole, skorzystaj ze wzoru sprawdzonego przez Peake'a. Należy dodać liczbę punktów znajdujących się wewnątrz linii łamanej, na której leży połowa punktów, i odjąć jeden, czyli oblicza się to w następujący sposób:

gdzie B, G - liczba punktów znajdujących się odpowiednio wewnątrz i na całej linii łamanej.