Jak znaleźć przekątną, znając boki. Prostokąt. Wzory i właściwości prostokąta. Wzory do wyznaczania pola prostokąta

4. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez przekątną kwadratu:

5. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez średnicę okręgu (opisany):

6. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez sinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku przeciwnego do tego kąta:

7. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta przez cosinus kąta przylegającego do przekątnej i długość boku tego kąta:

8. Wzór na promień okręgu opisany wokół prostokąta poprzez sinus kąta ostrego między przekątnymi i polem prostokąta:

Kąt między bokiem a przekątną prostokąta.

Wzory na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta:

1. Wzór na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta przez przekątną i bok:

2. Wzór na określenie kąta między bokiem a przekątną prostokąta poprzez kąt między przekątnymi:

Kąt między przekątnymi prostokąta.

Wzory na określenie kąta między przekątnymi prostokąta:

1. Wzór na określenie kąta między przekątnymi prostokąta poprzez kąt między bokiem a przekątną:

β = 2α

2. Wzór na określenie kąta między przekątnymi prostokąta przez pole i przekątną.

jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty są równe 90°, a przeciwległe boki są równoległe i równe parami.

Prostokąt ma kilka niezaprzeczalnych właściwości, które są wykorzystywane przy rozwiązywaniu wielu problemów, we wzorach na pole prostokąta i jego obwód. Tutaj są:

Długość nieznanego boku lub przekątnej prostokąta oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Pole prostokąta można obliczyć na dwa sposoby - przez iloczyn jego boków lub ze wzoru na pole prostokąta przez przekątną. Pierwsza i najprostsza formuła wygląda następująco:

Przykład obliczenia pola prostokąta za pomocą tego wzoru jest bardzo prosty. Znając dwa boki np. a = 3 cm, b = 5 cm, możemy łatwo obliczyć pole prostokąta:
Odkrywamy, że w takim prostokącie powierzchnia będzie równa 15 metrów kwadratowych. cm.

Pole prostokąta przez przekątne

Czasami trzeba zastosować wzór na pole prostokąta przechodzącego przez przekątne. Wymaga to nie tylko ustalenia długości przekątnych, ale także kąta między nimi:

Spójrzmy na przykład obliczenia pola prostokąta za pomocą przekątnych. Niech dany będzie prostokąt o przekątnej d = 6 cm i kącie = 30°. Podstawiamy dane do znanego już wzoru:

Zatem przykład obliczenia pola prostokąta przez przekątną pokazał nam, że znalezienie pola w ten sposób, jeśli podany jest kąt, jest dość proste.
Przyjrzyjmy się innemu ciekawemu problemowi, który pomoże nam trochę rozciągnąć mózg.

Zadanie: Biorąc pod uwagę kwadrat. Jego powierzchnia wynosi 36 metrów kwadratowych. cm Znajdź obwód prostokąta, którego jeden bok ma długość 9 cm i którego pole jest takie samo jak kwadrat podany powyżej.
Mamy więc kilka warunków. Dla przejrzystości zapiszmy je, aby zobaczyć wszystkie znane i nieznane parametry:
Boki figury są równoległe i równe parami. Dlatego obwód figury jest równy dwukrotności sumy długości boków:
Ze wzoru na pole prostokąta, które jest równe iloczynowi dwóch boków figury, znajdujemy długość boku b
Stąd:
Podstawiamy znane dane i znajdujemy długość boku b:
Oblicz obwód figury:
W ten sposób, znając kilka prostych wzorów, możesz obliczyć obwód prostokąta, znając jego pole.

Prostokąt jest czworokątem, w którym każdy kąt jest prosty.

Dowód

Właściwość wyjaśnia działanie cechy 3 równoległoboku (czyli \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Przeciwne strony są równe.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Przeciwne boki są równoległe.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Przekątne prostokąta są równe.

AC = BD

Dowód

Według nieruchomość 1 prostokąt jest równoległobokiem, co oznacza AB = CD.

Zatem \triangle ABD = \triangle DCA na dwóch nogach (AB = CD i AD - wspólne).

Jeżeli obie figury ABC i DCA są identyczne, to ich przeciwprostokątne BD i AC również są identyczne.

Zatem AC = BD.

Ze wszystkich figur (tylko równoległoboków!) tylko prostokąt ma równe przekątne.

To też udowodnijmy.

ABCD jest równoległobokiem \Strzałka w prawo AB = CD, AC = BD według warunku. \Strzałka w prawo \triangle ABD = \triangle DCA już z trzech stron.

Okazuje się, że \angle A = \angle D (podobnie jak kąty równoległoboku). Oraz \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Dochodzimy do wniosku, że \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Wszystkie są 90^(\circ) . Razem - 360^(\circ) .

Udowodniony!

6. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej dwóch sąsiednich boków.

Własność ta jest prawdziwa na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Przekątna dzieli prostokąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Punkt przecięcia przekątnych dzieli je na pół.

AO = BO = CO = DO

9. Punkt przecięcia przekątnych to środek prostokąta i okręgu opisanego.

10. Suma wszystkich kątów wynosi 360 stopni.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Wszystkie kąty prostokąta są proste.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Średnica okręgu opisanego na prostokącie jest równa przekątnej prostokąta.

13. Zawsze możesz opisać okrąg wokół prostokąta.

Własność ta jest prawdziwa, ponieważ suma przeciwległych kątów prostokąta wynosi 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Prostokąt może zawierać okrąg wpisany i tylko jeden, jeśli ma równe długości boków (jest to kwadrat).

Problem znalezienia przekątnej prostokąta można sformułować na trzy sposoby: różne sposoby. Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z nich. Metody zależą od znanych danych, więc jak znaleźć przekątną prostokąta?

Jeśli znane są dwie strony

W przypadku, gdy znane są dwa boki prostokąta a i b, aby znaleźć przekątną, należy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa: a 2 + b 2 = c 2, tutaj a i b są nogami prawego trójkąta, c jest przeciwprostokątną prawego trójkąta. Kiedy w prostokącie narysowana jest przekątna, dzieli się ją na dwa trójkąty prostokątne. Znamy dwa boki tego trójkąta prostokątnego (a i b). Oznacza to, że aby znaleźć przekątną prostokąta, potrzebny jest następujący wzór: c=√(a 2 + b 2), gdzie c jest długością przekątnej prostokąta.

Według znanego boku i kąta, pomiędzy bokiem a przekątną

Niech będzie znany bok prostokąta a i kąt, jaki tworzy z przekątną prostokąta α. Na początek przypomnijmy sobie wzór na cosinus: cos α = a/c, tutaj c jest przekątną prostokąta. Jak obliczyć przekątną prostokąta ze wzoru: c = a/cos α.

Wzdłuż znanego boku kąt między sąsiednim bokiem prostokąta a przekątną.

Ponieważ przekątna prostokąta dzieli sam prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, logiczne jest przejście do definicji sinusa. Sinus to stosunek ramienia leżącego naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej sin α = b/c. Stąd wyprowadzamy wzór na znalezienie przekątnej prostokąta, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego: c = b/sin α.

Teraz jesteś mądry w tej kwestii. Jutro możesz zadowolić swojego nauczyciela geometrii!

Treść:

Przekątna to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta. Prostokąt ma dwie równe przekątne. Jeśli znane są boki prostokąta, przekątną można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, ponieważ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Jeśli nie podano boków, ale znane są inne wielkości, takie jak pole i obwód lub współczynnik kształtu, można znaleźć boki prostokąta, a następnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć przekątną.

Kroki

1 Po bokach

1. 1 Zapisz twierdzenie Pitagorasa. Wzór: a 2 + b 2 = do 2
2. 2 Zastąp wartości boków wzorem. Są podane w zadaniu lub trzeba je zmierzyć. Wartości boczne są zastępowane przez 3
   • W naszym przykładzie:
     4 2 + 3 2 = do 2 4

     2 Według powierzchni i obwodu

     1. 1 Wzór: S = l w (Na rysunku zamiast S zastosowano oznaczenie A.)
     2. 2 Ta wartość jest zastępowana przez S 3 Przepisz formułę, aby wyodrębnić w 4 Zapisz wzór pozwalający obliczyć obwód prostokąta. Wzór: P = 2 (w + l)
     3. 5 Podstaw obwód prostokąta do wzoru. Ta wartość jest zastępowana przez P 6 Podziel obie strony równania przez 2. Otrzymasz sumę boków prostokąta, czyli w + l 7 Zastąp wyrażenie służące do obliczenia w 8 do wzoru Pozbądź się ułamka. Aby to zrobić, pomnóż obie strony równania przez l 9 Ustaw równanie na 0. Aby to zrobić, odejmij składnik zmienny pierwszego rzędu od obu stron równania.
        • W naszym przykładzie:
          12 l = 35 + l 2 10 Uporządkuj wyrazy równania. Pierwszy wyraz będzie składnikiem zmiennym drugiego rzędu, następnie składnikiem zmiennym pierwszego rzędu, a na końcu terminem wolnym. Jednocześnie nie zapomnij o znakach („plus” i „minus”), które pojawiają się przed członkami. Należy pamiętać, że równanie zostanie zapisane jako równanie kwadratowe.
          • W naszym przykładzie 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • W naszym przykładzie równanie ma postać 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Znajdź l 13 Zapisz twierdzenie Pitagorasa. Wzór: a 2 + b 2 = do 2
              • Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ każda przekątna prostokąta dzieli go na dwa równe trójkąty prostokątne. Ponadto boki prostokąta są nogami trójkąta, a przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta.
            • 14 Te wartości są zastępowane przez 15 Podnieś długość i szerokość do kwadratu, a następnie dodaj wyniki. Pamiętaj, że podnosząc liczbę do kwadratu, mnoży się ona sama.
              • W naszym przykładzie:
                5 2 + 7 2 = do 2 16 Usunąć Pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Użyj kalkulatora, aby szybko znaleźć pierwiastek kwadratowy. Można także skorzystać z kalkulatora internetowego. Znajdziesz C

                3 Według powierzchni i proporcji

                1. 1 Zapisz równanie charakteryzujące stosunek boków. Izoluj l 2 Zapisz wzór na obliczenie pola prostokąta. Wzór: S = l w (Na rysunku zamiast S zastosowano oznaczenie A.)
                   • Metodę tę można zastosować również wtedy, gdy znany jest obwód prostokąta, ale wówczas do obliczenia obwodu, a nie pola, należy skorzystać ze wzoru. Wzór na obliczenie obwodu prostokąta: P = 2 (w + l)
                2. 3 Zastąp obszar prostokąta we wzorze. Ta wartość jest zastępowana przez S4 We wzorze wstaw wyrażenie charakteryzujące relację stron. W przypadku prostokąta możesz zastąpić wyrażenie, aby obliczyć l 5 Napisz równanie kwadratowe. Aby to zrobić, otwórz nawiasy i ustaw równanie na zero.
                   • W naszym przykładzie:
                     35 = w(w+2)6 Uwzględnij równanie kwadratowe. Pozyskać szczegółowe instrukcje, Czytać.
                     • W naszym przykładzie równanie ma postać 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Znajdź w 8 Zastąp znalezioną szerokość (lub długość) równaniem charakteryzującym współczynnik proporcji. W ten sposób znajdziesz drugi bok prostokąta.
                       • Na przykład, jeśli obliczysz, że szerokość prostokąta wynosi 5 cm, a współczynnik proporcji wynika z równania l = w + 2 9 Zapisz twierdzenie Pitagorasa. Wzór: a 2 + b 2 = do 2
                         • Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ każda przekątna prostokąta dzieli go na dwa równe trójkąty prostokątne. Ponadto boki prostokąta są nogami trójkąta, a przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta.
                       • 10 Zastąp wartości długości i szerokości we wzorze. Wartości te są zastępowane przez 11 Podnieś długość i szerokość do kwadratu, a następnie dodaj wyniki. Pamiętaj, że podnosząc liczbę do kwadratu, mnoży się ona sama.
                         • W naszym przykładzie:
                           5 2 + 7 2 = do 2 12 Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Użyj kalkulatora, aby szybko znaleźć pierwiastek kwadratowy. Można także skorzystać z kalkulatora internetowego. Znajdziesz c (styl wyświetlania c), czyli przeciwprostokątną trójkąta, a co za tym idzie, przekątną prostokąta.
                           • W naszym przykładzie:
                             74 = c 2 (styl wyświetlania 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (styl wyświetlania (sqrt (74)) = (sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (styl wyświetlania 8,6024=c)
                             Zatem przekątna prostokąta, którego długość jest o 2 cm większa od jego szerokości i którego pole wynosi 35 cm2, wynosi w przybliżeniu 8,6 cm.