Funkcja: dziedzina definicji i dziedzina wartości funkcji. Zakres funkcji (zestaw wartości funkcji). Niezbędne pojęcia i przykłady znajdowania Nazwij zbiór wartości dla każdej funkcji
Często w ramach rozwiązywania problemów musimy szukać wielu wartości funkcji w dziedzinie definicji lub segmencie. Na przykład należy to zrobić podczas rozwiązywania różne rodzaje nierówności, oceny wyrażeń itp.
W tym materiale powiemy Ci, jaki jest zakres wartości funkcji, podamy główne metody, za pomocą których można ją obliczyć, oraz przeanalizujemy problemy o różnym stopniu złożoności. Dla przejrzystości poszczególne zapisy zilustrowano wykresami. Po przeczytaniu tego artykułu uzyskasz pełne zrozumienie zakresu funkcji.
Zacznijmy od podstawowych definicji.
Definicja 1
Zbiór wartości funkcji y = f (x) w pewnym przedziale x jest zbiorem wszystkich wartości, które tę funkcję trwa podczas iteracji po wszystkich wartościach x ∈ X .
Definicja 2
Zakres wartości funkcji y = f (x) to zbiór wszystkich jej wartości, jakie może ona przyjąć podczas przeszukiwania wartości x z zakresu x ∈ (f).
Zakres wartości określonej funkcji jest zwykle oznaczany przez E (f).
Należy pamiętać, że koncepcja zbioru wartości funkcji nie zawsze jest identyczna z jej zakresem wartości. Pojęcia te będą równoważne tylko wtedy, gdy przedział wartości x przy znajdowaniu zbioru wartości pokrywa się z dziedziną definicji funkcji.
Ważne jest również rozróżnienie zakresu wartości od zakresu dopuszczalnych wartości zmiennej x dla wyrażenia po prawej stronie y = f (x). Dziedziną definicji tej funkcji będzie zakres dopuszczalnych wartości x dla wyrażenia f(x).
Poniżej znajduje się ilustracja przedstawiająca kilka przykładów. Niebieskie linie to wykresy funkcji, czerwone linie to asymptoty, czerwone punkty i linie na osi współrzędnych to zakresy funkcji.
Oczywiście zakres wartości funkcji można uzyskać rzutując wykres funkcji na oś Oy. Co więcej, może reprezentować pojedynczą liczbę lub zbiór liczb, odcinek, przedział, półprostą otwartą, sumę przedziałów liczbowych itp.
Przyjrzyjmy się głównym sposobom znalezienia zakresu wartości funkcji.
Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wartości funkcji ciągłej y = f (x) na pewnym odcinku oznaczonym [ a ; B ] . Wiemy, że funkcja ciągła na pewnym odcinku osiąga na nim swoje minimum i maksimum, czyli największe m a x x ∈ a ; b f (x) i najmniejsza wartość m i n x ∈ a ; b fa (x) . Oznacza to, że otrzymujemy odcinek m i n x ∈ a ; bf(x); m za x x ∈ za ; b f (x) , który będzie zawierał zbiory wartości oryginalnej funkcji. Następnie pozostaje nam już tylko znaleźć wskazane minimum i maksimum punktów na tym odcinku.
Weźmy problem, w którym musimy wyznaczyć zakres wartości arcusinus.
Przykład 1
Stan : schorzenie: znajdź zakres wartości y = a r do sin x .
Rozwiązanie
W ogólnym przypadku dziedzina definicji arcsine leży na odcinku [ - 1 ; 1] . Musimy wyznaczyć na nim największą i najmniejszą wartość określonej funkcji.
y " = za r do grzech x " = 1 1 - x 2
Wiemy, że pochodna funkcji będzie dodatnia dla wszystkich wartości x znajdujących się w przedziale [-1; 1 ], czyli w całym zakresie definicji funkcja arcsinus będzie rosła. Oznacza to, że przyjmie najmniejszą wartość, gdy x będzie równe - 1, a największą wartość, gdy x będzie równe 1.
m ja n x ∈ - 1 ; 1 za r do grzech x = za r do grzech - 1 = - π 2 m za x x ∈ - 1 ; 1 za r do grzech x = za r do grzech 1 = π 2
Zatem zakres wartości funkcji arcsine będzie równy E (ar c sin x) = - π 2; π 2.
Odpowiedź: mi (za r do grzech x) = - π 2 ; π 2
Przykład 2
Stan : schorzenie: obliczyć zakres wartości y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 w danym przedziale [ 1 ; 4] .
Rozwiązanie
Wystarczy, że obliczymy największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale.
Aby wyznaczyć punkty ekstremalne, należy wykonać następujące obliczenia:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1, 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2, 59 ∈ 1 ; 4
Znajdźmy teraz wartości danej funkcji na końcach odcinka i punktach x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 lata (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Oznacza to, że zbiór wartości funkcji zostanie określony przez segment 117 - 165 33 512; 32.
Odpowiedź: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Przejdźmy do znalezienia zbioru wartości funkcji ciągłej y = f (x) w przedziałach (a; b) i a ; + ∞, - ∞; b , - ∞ ; + ∞ .
Zacznijmy od określenia największych i najmniejszych punktów, a także przedziałów narastania i zmniejszania się na danym przedziale. Następnie będziemy musieli obliczyć jednostronne granice na końcach przedziału i/lub granice w nieskończoności. Innymi słowy, musimy określić zachowanie funkcji w danych warunkach. Posiadamy do tego wszystkie niezbędne dane.
Przykład 3
Stan : schorzenie: oblicz zakres funkcji y = 1 x 2 - 4 na przedziale (- 2 ; 2) .
Rozwiązanie
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w danym segmencie
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Otrzymaliśmy maksymalną wartość równą 0, ponieważ w tym momencie zmienia się znak funkcji i wykres zaczyna się zmniejszać. Zobacz ilustrację:
Oznacza to, że y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 będzie maksymalną wartością funkcji.
Teraz określmy zachowanie funkcji dla x, który ma tendencję do - 2 s prawa strona i k + 2 po lewej stronie. Innymi słowy, znajdujemy jednostronne granice:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Okazuje się, że wartości funkcji wzrosną od minus nieskończoności do - 1 4, gdy argument zmieni się z - 2 na 0. A gdy argument zmieni się z 0 na 2, wartości funkcji maleją w stronę minus nieskończoności. W konsekwencji zbiór wartości danej funkcji na potrzebnym nam przedziale będzie wynosić (- ∞ ; - 1 4 ] .
Odpowiedź: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Przykład 4
Stan: wskazać zbiór wartości y = t g x w danym przedziale - π 2; π 2.
Rozwiązanie
Wiemy, że w ogólnym przypadku pochodna tangensa wynosi - π 2; π 2 będzie dodatnie, to znaczy funkcja wzrośnie. Określmy teraz jak funkcja zachowuje się w zadanych granicach:
lim x → π 2 + 0 t sol x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t sol x = t g π 2 - 0 = + ∞
Wzrost wartości funkcji od minus nieskończoności do plus nieskończoności uzyskaliśmy przy zmianie argumentu z - π 2 na π 2 i możemy powiedzieć, że zbiorem rozwiązań tej funkcji będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych .
Odpowiedź: - ∞ ; + ∞ .
Przykład 5
Stan : schorzenie: wyznacz zakres funkcji logarytmu naturalnego y = ln x.
Rozwiązanie
Wiemy, że funkcja ta jest zdefiniowana dla dodatnich wartości argumentu D (y) = 0; + ∞ . Pochodna na danym przedziale będzie dodatnia: y " = ln x " = 1 x . Oznacza to, że funkcja na nim rośnie. Następnie musimy zdefiniować jednostronną granicę dla przypadku, gdy argument dąży do 0 (po prawej stronie) i gdy x dąży do nieskończoności:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Odkryliśmy, że wartości funkcji będą rosły od minus nieskończoności do plus nieskończoności, gdy wartości x zmienią się od zera do plus nieskończoności. Oznacza to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest zakresem wartości funkcji logarytmu naturalnego.
Odpowiedź: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to zakres wartości funkcji logarytmu naturalnego.
Przykład 6
Stan : schorzenie: wyznacz zakres funkcji y = 9 x 2 + 1 .
Rozwiązanie
Funkcja ta jest zdefiniowana pod warunkiem, że x jest liczbą rzeczywistą. Obliczmy największe i najmniejsze wartości funkcji, a także przedziały jej wzrostu i spadku:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
W rezultacie ustaliliśmy, że funkcja ta będzie się zmniejszać, jeśli x ≥ 0; zwiększyć, jeśli x ≤ 0 ; ma maksymalny punkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 ze zmienną równą 0.
Zobaczmy jak funkcja zachowuje się w nieskończoności:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Z zapisu wynika, że wartości funkcji w tym przypadku będą asymptotycznie zbliżać się do 0.
Podsumowując: gdy argument zmienia się z minus nieskończoności na zero, wartości funkcji rosną od 0 do 9. Gdy wartości argumentów zmienią się z 0 na plus nieskończoność, odpowiadające im wartości funkcji zmniejszą się z 9 do 0. Pokazaliśmy to na rysunku:
Pokazuje, że zakresem wartości funkcji będzie przedział E (y) = (0 ; 9 ]
Odpowiedź: mi (y) = (0 ; 9 ]
Jeśli musimy wyznaczyć zbiór wartości funkcji y = f (x) na przedziałach [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , to będziemy musieli przeprowadzić dokładnie te same badania. Nie będziemy na razie analizować tych przypadków: spotkamy się z nimi później problemy.
A co jeśli dziedziną definicji pewnej funkcji jest suma kilku przedziałów? Następnie musimy obliczyć zbiory wartości na każdym z tych przedziałów i połączyć je.
Przykład 7
Stan : schorzenie: określ, jaki będzie zakres wartości y = x x - 2 .
Rozwiązanie
Ponieważ mianownika funkcji nie należy zamieniać na 0, wówczas D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wartości funkcji na pierwszym segmencie – ∞; 2, czyli belka otwarta. Wiemy, że funkcja na niej będzie się zmniejszać, czyli pochodna tej funkcji będzie ujemna.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Następnie w przypadkach, gdy argument zmienia się w kierunku minus nieskończoności, wartości funkcji będą asymptotycznie zbliżać się do 1. Jeśli wartości x zmienią się z minus nieskończoności na 2, wówczas wartości spadną od 1 do minus nieskończoności, tj. funkcja na tym segmencie będzie przyjmować wartości z przedziału - ∞; 1. Z naszych rozważań wykluczamy jedność, ponieważ wartości funkcji nie osiągają jej, a jedynie asymptotycznie do niej zbliżają się.
Dla otwartej belki 2; + ∞ wykonujemy dokładnie te same czynności. Funkcja na nim również jest malejąca:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Wartości funkcji na danym segmencie wyznacza zbiór 1; + ∞ . Oznacza to, że zakresem wartości potrzebnych nam dla funkcji określonej w warunku będzie suma zbiorów - ∞; 1 i 1; + ∞ .
Odpowiedź: mi (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Można to zobaczyć na wykresie:
Szczególnym przypadkiem są funkcje okresowe. Ich zakres wartości pokrywa się ze zbiorem wartości w przedziale odpowiadającym okresowi tej funkcji.
Przykład 8
Stan : schorzenie: określ zakres wartości sinusa y = sin x.
Rozwiązanie
Sinus jest funkcją okresową, a jej okres wynosi 2 pi. Weź segment 0; 2 π i zobacz jaki będzie zbiór wartości na nim.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
W ciągu 0 ; 2 π funkcja będzie miała ekstrema π 2 i x = 3 π 2 . Obliczmy, jakie będą w nich równe wartości funkcji, a także na granicach segmentu, a następnie wybierz największą i najmniejszą wartość.
y (0) = grzech 0 = 0 y π 2 = grzech π 2 = 1 y 3 π 2 = grzech 3 π 2 = - 1 y (2 π) = grzech (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π grzech x = grzech 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π grzech x = grzech π 2 = 1
Odpowiedź: mi (grzech x) = - 1 ; 1.
Jeśli chcesz poznać zakresy funkcji takich jak potęga, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczna, odwrotna trygonometryczna, to radzimy ponownie przeczytać artykuł o podstawowych funkcjach elementarnych. Prezentowana przez nas teoria pozwala zweryfikować podane tam wartości. Warto się ich uczyć, gdyż często są potrzebne przy rozwiązywaniu problemów. Jeśli znasz zakresy funkcji podstawowych, możesz łatwo znaleźć zakresy funkcji, które uzyskuje się z funkcji elementarnych za pomocą transformacji geometrycznej.
Przykład 9
Stan : schorzenie: określ zakres wartości y = 3 a r do cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Rozwiązanie
Wiemy, że segment od 0 do pi to łuk cosinus. Innymi słowy, E (a r do cos x) = 0; π lub 0 ≤ za r do cos x ≤ π . Funkcję a r c cos x 3 + 5 π 7 możemy otrzymać z arc cosinus przesuwając ją i rozciągając wzdłuż osi O x, ale takie przekształcenia nic nam nie dadzą. Oznacza to 0 ≤ a r do cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Funkcję 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 można otrzymać z łuku cosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 rozciągając wzdłuż osi rzędnych, tj. 0 ≤ 3 za r do sałata x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Ostateczną transformacją jest przesunięcie wzdłuż osi O y o 4 wartości. W rezultacie otrzymujemy podwójną nierówność:
0 - 4 ≤ 3 a r do cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Odkryliśmy, że zakres potrzebnych nam wartości będzie równy E (y) = - 4; 3 π - 4 .
Odpowiedź: E(y) = - 4; 3 π - 4 .
Zapiszemy kolejny przykład bez wyjaśnienia, ponieważ jest całkowicie podobny do poprzedniego.
Przykład 10
Stan : schorzenie: oblicz jaki będzie zakres funkcji y = 2 2 x - 1 + 3.
Rozwiązanie
Przepiszmy funkcję określoną w warunku jako y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Dla funkcji potęgowej y = x - 1 2 zakres wartości będzie określony na przedziale 0; + ∞, tj. x - 1 2 > 0 . W tym przypadku:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Zatem E(y) = 3; + ∞ .
Odpowiedź: E(y) = 3; + ∞ .
Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć zakres wartości funkcji, która nie jest ciągła. Aby to zrobić, musimy podzielić cały obszar na przedziały i znaleźć w każdym z nich zbiory wartości, a następnie połączyć to, co otrzymamy. Aby lepiej to zrozumieć, radzimy zapoznać się z głównymi typami punktów przerwania funkcji.
Przykład 11
Stan : schorzenie: mając daną funkcję y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Oblicz jego zakres wartości.
Rozwiązanie
Funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x. Przeanalizujmy to pod kątem ciągłości z wartościami argumentu równymi - 3 i 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 grzech x 2 - 4 = 2 grzech - 3 2 - 4 = - 2 grzech 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 fa (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 fa (x) ≠ lim x → - 3 + 0 fa (x)
Nieusuwalną nieciągłość pierwszego rodzaju mamy, gdy wartość argumentu wynosi - 3. Gdy się do tego zbliżymy, wartości funkcji dążą do -2 sin 3 2 - 4, a gdy x dąży do -3 po prawej stronie, wartości będą dążyć do -1.
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 fa (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
W punkcie 3 mamy nieusuwalną nieciągłość drugiego rodzaju. Gdy funkcja dąży do tego, jej wartości zbliżają się do - 1, gdy dążą do tego samego punktu po prawej stronie - do minus nieskończoności.
Oznacza to, że cała dziedzina definicji tej funkcji jest podzielona na 3 przedziały (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
W pierwszym z nich otrzymaliśmy funkcję y = 2 sin x 2 - 4. Ponieważ - 1 ≤ sin x ≤ 1, otrzymujemy:
1 ≤ grzech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Oznacza to, że na danym przedziale (-∞;-3] zbiór wartości funkcji wynosi [-6;2].
W połowie przedziału (- 3; 3 ] wynikiem jest funkcja stała y = - 1. W rezultacie cały zbiór jej wartości w tym przypadku zostanie zredukowany do jednej liczby - 1.
W drugim przedziale 3; + ∞ mamy funkcję y = 1 x - 3 . Maleje, ponieważ y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Oznacza to, że zbiorem wartości pierwotnej funkcji dla x > 3 jest zbiór 0; + ∞ . Teraz połączmy wyniki: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Odpowiedź: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Rozwiązanie pokazano na wykresie:
Przykład 12
Warunek: istnieje funkcja y = x 2 - 3 e x. Określ zbiór jego wartości.
Rozwiązanie
Jest zdefiniowany dla wszystkich wartości argumentów reprezentujących liczby rzeczywiste. Określmy w jakich przedziałach ta funkcja będzie rosnąć, a w jakich będzie maleć:
y " = x 2 - 3 mi x " = 2 x mi x - mi x (x 2 - 3) mi 2 x = - x 2 + 2 x + 3 mi x = - (x + 1) (x - 3) mi x
Wiemy, że pochodna wyniesie 0, jeśli x = - 1 i x = 3. Umieśćmy te dwa punkty na osi i dowiedzmy się, jakie znaki będzie miała pochodna na otrzymanych przedziałach.
Funkcja zmniejszy się o (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i wzrośnie o [ - 1 ; 3]. Minimalny punkt wyniesie - 1, maksymalny - 3.
Teraz znajdźmy odpowiednie wartości funkcji:
y (- 1) = - 1 2 - 3 mi - 1 = - 2 mi y (3) = 3 2 - 3 mi 3 = 6 mi - 3
Przyjrzyjmy się zachowaniu funkcji w nieskończoności:
lim x → - ∞ x 2 - 3 mi x = - ∞ 2 - 3 mi - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 mi x = + ∞ 2 - 3 mi + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " mi x " = lim x → + ∞ 2 x mi x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 mi x = 2 1 + ∞ = + 0
Do obliczenia drugiej granicy wykorzystano regułę L'Hopitala. Przedstawmy postęp naszego rozwiązania na wykresie.
Pokazuje, że wartości funkcji zmniejszą się od plus nieskończoności do - 2 e, gdy argument zmieni się z minus nieskończoności na - 1. Jeśli zmieni się z 3 na plus nieskończoność, wówczas wartości zmniejszą się z 6 e - 3 do 0, ale 0 nie zostanie osiągnięte.
Zatem E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Odpowiedź: E(y) = [ - 2 mi ; + ∞)
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
GBOU Liceum (Ekonomiczne) s. Isakly
Nauczyciel matematyki Kuzaeva V.N.
2016
Materiały referencyjne
Przykładowe rozwiązanie Znajdź zbiór wartości funkcji
Zakres funkcji 
Jest
y - Jakikolwiek numer
Zakres funkcji Jest
y
- Jakikolwiek numer
Wiele znaczeń
y - Jakikolwiek numer
Najwyższa wartość
Najniższa wartość
Domena X
- Jakikolwiek numer 
, Gdzie 
, Gdzie
Wiele znaczeń 
y
- Jakikolwiek numery
- Jakikolwiek numer
Szablony wykresów niektórych funkcji trygonometrycznych
Wiele wartości funkcji trygonometrycznych
opcja 1
Y =grzech 3x+2.
1) (-5;5) 2) 3) 4) (1;5)
2. Znajdź zakres funkcji y =tg x + 1.
1) 3) (-∞;∞) 4)
1) -6 2) 6 3) -4 4) -2
4. Określ najmniejszą liczbę całkowitą w zakresie funkcji
y = 12,7 + 5 grzech(3x-2).
1) -5 2) 8 3) 5 4) 17
5. Podaj funkcję, której zbiorem wartości jest segment [-2;2].
1) y = sałata 2x 2) y = grzech 2 X 3) y = sałata 2 X +2
4) y = 2 grzech 4 X
6. Znajdź zbiór wartości funkcjiy =
tg 2
Xna segmencie 
7. Znajdź sumę wszystkich liczb całkowitych wchodzących w zakres funkcjiy = 4 sałata 2 X – 7.
1) -25 2) 25 3) -22 4) 0
Opcja 2
y = 2 sałata 5 X +3.
1) (2;3) 2) 3) (1;5) 4) .
2. Znajdź zakres funkcji 
1) 3) (-∞;∞) 4) .
3. Podaj najmniejszą liczbę z zakresu funkcji
1) 4 2) -3 3) 1 4) -7
4. Podaj największą liczbę całkowitą w zakresie funkcji
1) 2 2) 13 3) 12 4) -2
5. Podaj funkcję, której zbiorem wartości jest segment [-5;5].
1) y = grzech 5x 2) y = 5 cos 5x 3) y = cos (-5x)
4) y = grzech 5x + 5
6. Znajdź zbiór wartości funkcji 
na segmencie 
7. Znajdź iloczyn wszystkich liczb całkowitych wchodzących w zakres wartości funkcji y = 5 – 3grzech 2 X.
1) 120 2) 14 3) -15 4) 0
Opcja 3
1. Określ zbiór wartości funkcjiy =
grzech 3
X + 5.
1) (-4;6) 2) 3) [-1;5) 4) (0;6)
1) 2) (0;3) 3) (1;3) 4) [-1;3)
3. Podaj najmniejszą liczbę z zakresu wartości funkcji y = 5tg 2 X+2?
1) 5 2) 0 3) 7 4) 2
1) -1 2) -2,7 3) -2,3 4)-3
5. Podaj funkcję, której zbiorem wartości jest segment
[-17;-13].
1) y = 5 grzech x – 8 3) y = -cos x +15
2) y = 2 cos x – 15 4) y = 3 grzech x +10
6. Podaj najmniejszą liczbę naturalną, która nie wchodzi w zbiór wartości funkcji 
1) 2 2) 4 3) 15 4) 6
7. Ile liczb całkowitych należy do zbioru wartości funkcji
y = 2 sałata 3 X +10?
1) 2 2) 3 3) 4 5) 5
Opcja 4
1) 2) 4) (-7;-6)
2. Znajdź zakres funkcji 
1) (1;5) 2) 3) (4;6) 4) [-6;-4]
3. Określ największa liczba z zakresu funkcjiy = -3 ctg 2 X+7.
1) 10 2) 4 3) 7 4) -3
4. Która z podanych liczb nie należy do zbioru wartości funkcji 
1) -6 2) -5 3) -10 4) -7
5. Określ funkcję, której zbiorem wartości jest segment.
6. Podaj największą ujemną liczbę całkowitą, która nie należy do zakresu funkcji 
1) -1 2) -25 3) -6 4) -2
7. Ile liczb całkowitych należy do zbioru wartości funkcji 
1) 11 2) 3 3) 5 4) 4
Opcja 5
1. Określ zbiór wartości funkcji y = 2 -grzech 5 X.
1) (2;5) 2) 3) (1;3) 4) [-3;7]
2. Znajdź zakres funkcji 
1) [-8;-6] 2) [-8;-6) 3) (-8;-6) 4)
3. Określ najmniejszą liczbę całkowitą w zakresie funkcji
y = 3 + grzech 2 2 X.
1) 0 2) 1 3) 3 4) 4
4. Która z poniższych liczb wchodzi w skład zbioru wartości funkcji 
1) 128 2) 10,5 3) 3 4) -235
5. Podaj funkcję, której zbiorem wartości jest segment [-9;15].
6. Znajdź sumę liczb całkowitych wchodzących w skład zbioru wartości funkcji 
1) 0 2) 7 3) 18 4) 22
7. Znajdź najwyższa wartość Funkcje 
na segmencie 
1) 0,5 2) 1,5 3) 0 4) 2
Opcja 6
1. Określ segment odpowiadający zbiorowi wartości funkcji 
1) 2) (-2;-1) 3) (0;1) 4) [-6;-4]
2. Znajdź zakres funkcji 
3. Podaj największą liczbę w zakresie funkcji 
1) 5 2) -6 3) -3 4) 4
4. Która z poniższych liczb wchodzi w skład zbioru wartości funkcji 
1) 5 2) 0 3) -3 4) 4
5. Określ funkcję, której zbiorem wartości jest segment.
1) Na = 15 – 7 sałata 2x 3) y = 7 sałata 2x + 3
2) y = 5 sałata 4 X 4) y = - tg 2 X + 1
6. Znajdź iloczyn liczb całkowitych zawartych w zbiorze wartości
y = 3,8 – 1,4 grzech 3 X.
1) 17 2) 12 3) 0 4) 60
7. Znajdź zbiór wartości funkcji 
pomiędzy 
1) (3;4) 2) 3)
Opcja 7
2. Znajdź najmniejszą wartość całkowitą funkcji 
1) 2 2) 0 3) -3 4) -4
1) 0 2) 2 3) 4 4) 6
4. Dla jakich wartości a jest równaniegrzech(3 X-4)+5= A rozpuszczalny?
1) 2) 3) (4;6) 4) (-6;4]
grzech 2 2 X – 2.
1) [-3;-2] 2) [-1;0] 3) [-4;0] 4) [-3;-1]
pomiędzy 
2) 0 3) 1
y = 4 grzech(X 4 ) -2?
1) 8 2) 9 3) 7 4) 10
Opcja 8
1. Znajdź zbiór wartości funkcjiy = arctgX- 2π.
2. Znajdź największą wartość funkcji 
1) 1,75 2) 0 3) 2,25 4) -1,75
3. Która z poniższych liczb może być wartością funkcji 
1) -4 2) -2 3) 0 4) 2
4. Przy jakich wartościach p działa równanie -2+sałata(4 X-1)= P ma korzenie?
1) [-3;-1] 2) [-3;-1) 3) (-3;1] 4) (-3;-1)
5. Znajdź zbiór wartości funkcjiy = -2 tg 2 X + 1.
1) [-1;3] 2) (-∞;1] 3) (-∞;∞) 4) [-1;+∞)
pomiędzy 
.
1) 0 2) 1 3) -1 4) 3
7. Ile liczb całkowitych znajduje się w zakresie funkcji
1) 4 2) 3 3) 5 4) 2
Opcja 9
1. Znajdź zakres funkcji 
2. Znajdź największą wartość całkowitą funkcji 
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
3. Która z poniższych liczb może być wartością funkcji 
1) 0 2) 3 3) 6 4) 9
k równanie - k + grzech(2 X-1) = 2 rozwiązywalne?
1) 2) (4;6) 3) (-3;-1) 4) [-3;-1]
5. Znajdź zbiór wartości funkcji y = -sałata 2 3 X + 4.
1) 2) 3) 4)
6. Podaj najmniejszą wartość funkcji pomiędzy 
2) -1 3) 0 4) 1
7. Znajdź, ile liczb całkowitych mieści się w zakresie wartości funkcji y = 12sałata 3 X +5 grzech 3 X.
1) 13 2) 27 3) 26 4) 14
Opcja 10
1. Znajdź zakres funkcji 
2. Znajdź najmniejszą wartość funkcji 
1) 3,5 2) 0 3) 2,5 4) -3,5
3. Która z poniższych liczb może być wartością funkcji 
1) -4 2) -1 3) 3 4) 7
4. Przy jakich wartościach parametrówM równanie sałata (3 X + 2)- M= 5 ma pierwiastki?
1) [-6;-4] 2) (-6;-4) 3) (-4;3) 4) [-6;-5]
5. Znajdź zbiór wartości funkcji y = -2ctg 2 3 X + 7.
1) (-∞;5] 2) (-∞;1] 3) (-∞;0] 4) (-∞;7]
6. Podaj największą wartość funkcji 
pomiędzy 
2) 0 3) 2 4) 1
7. Znajdź, ile liczb całkowitych znajduje się w zakresie funkcji 
1) 30 2) 35 3) 17 4) 7
Wiele wartości funkcji wykładniczych i logarytmicznych
opcja 1
1. Znajdź zakres funkcji 
1) 4) (-∞;3)
2. Określ wiele wartości funkcji 
1) (-∞;7) 2) (-∞;-7) 3)(7;∞) 4) (-∞;7]
1) 0 2) 4 3) -3 4) -4
1) 15 2) 20 3) 43 4) 28
1) (0;-2) 2) (0;2) 3) (-∞;+∞) 4) [-2;0)
6. Podaj najmniejszą wartość całkowitą funkcji 
1) 1 2) -1 3) 0 4) -5
7. Podaj funkcję, której zbiorem wartości jest przedział (1;∞).
Opcja 2
1. Określ zbiór wartości funkcji 
1) [-1;∞) 2)(-1;∞) 3) (3;∞) 4) 4) [-3;∞)
2. Znajdź zakres funkcji 
1) (-4;∞) 2) (4;∞) 3) (-∞;4] 4) 4) (-∞;4)
3. Podaj najmniejszą wartość całkowitą funkcji 
1) -12 2) -11 3) -10 4) -15
4. Wpisz numer, a nie należący do mnóstwa wartości funkcji 
1) -42 2) 3 3) 1 4) -20
5. Określ wiele wartości funkcji 
1) (-∞;0) 2) (0;∞) 3) (-∞;∞) 4) [-2;2]
6. Podaj największą wartość całkowitą funkcji 
1) 10 2) 3 3) 9 4) 2
7. Określ funkcję, której zbiorem wartości jest przedział
(-∞;13).
Opcja 5
1. Podaj najmniejszą wartość całkowitą funkcji 
1) 0 2) -1 3) -2 4) -3
2. Która z podanych liczb wchodzi w zakres funkcji 
1) -3 2) -4 3) 5 4) 0
1) (-∞;2] 2) 2) [-1;1] 3) (-1;1) 4) (0;∞)
6. Znajdź, w którym segmencie znajduje się funkcja 
przyjmuje największą wartość 2 i najmniejszą wartość -3.
1) 2) (-5;2) 3) 4) (-3;2)
pomiędzy 
1) -1/2 2) 5 3) 2 4) 4
8. Znajdź sumę wszystkich liczb naturalnych, które nie wchodzą w skład zbioru wartości funkcji 
1) 3 2) 6 3) 10 4) 8
Opcja 6
1. Podaj największą wartość całkowitą funkcji 
1) 2 2) 4 3) 3 4) 5
2. Która z podanych liczb nie wchodzi w zakres funkcji 
1) 35 2) 7, 28 3) 7, 85 4) 128
3. Określ wiele wartości funkcji 
1) [-1/3;0] 2) (-3;2/5) 3) (0;1/3) 4) (0;2/5)
4. Znajdź wszystkie punkty na wzmacniaczu operacyjnym, które są rzutami punktów na wykresie funkcji 
1) (0;∞) 2) 2) (-3;2) 3) [ dziennik 2 3;2] 4) (dziennik 2 3;2)
6. Znajdź, w którym segmencie znajduje się funkcja 
przyjmuje najmniejszą wartość jako -2, a największą wartość jako 4.
1) [-17/9;79] 2) [-1,5;82] 3) (-11/9;79] 4) (-17/9;79)
7. Podaj największą wartość funkcji 
pomiędzy
[-0,9; 0]. 2. Znajdź najmniejszą wartość funkcji na odcinku.
4. Ile wartości całkowitych przyjmuje funkcja? 
Odpowiedzi
Część 1
Wiele wartości funkcji wykładniczych i logarytmicznych
Część 2
Pojęcie funkcji i wszystko, co z nią związane, jest tradycyjnie złożone i nie do końca zrozumiałe. Szczególną przeszkodą podczas studiowania funkcji i przygotowania do egzaminu Unified State Exam jest dziedzina definicji i zakres wartości (zmian) funkcji.
Często studenci nie widzą różnicy pomiędzy dziedziną funkcji a dziedziną jej wartości.
A jeśli uczniom uda się opanować zadania znalezienia dziedziny definicji funkcji, to zadania znalezienia zbioru wartości funkcji sprawiają im spore trudności.
Cel artykułu: zapoznanie się z metodami znajdowania wartości funkcji.
W wyniku rozważenia tego tematu przestudiowano materiał teoretyczny, rozważono metody rozwiązywania problemów znajdowania zbiorów wartości funkcji, wybrano materiał dydaktyczny niezależna praca studenci.
Artykuł ten może przydać się nauczycielowi przygotowującemu uczniów do egzaminów końcowych i wstępnych, studiując temat „Dziedzina wartości funkcji” na zajęcia dodatkowe przedmioty do wyboru z matematyki.
I. Wyznaczanie zakresu wartości funkcji.
Dziedzina (zbiór) wartości E(y) funkcji y = f(x) to zbiór takich liczb y 0, dla każdej z nich istnieje liczba x 0 taka, że: f(x 0) = y 0.
Przypomnijmy zakresy wartości głównych funkcji elementarnych.
Spójrzmy na tabelę.
| Funkcjonować | Wiele znaczeń |
| y = kx+ b | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = x2n | E(y) = |
| y = cos x | E(y) = [-1;1] |
| y = opalenizna x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = ctg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = arcsin x | E(y) = [-π/2; π/2] |
| y = arcos x | E(y) = |
| y = arctan x | E(y) = (-π/2 ; π/2) |
| y = łuk x | E(y) = (0; π) |
Należy również zauważyć, że zakresem wartości dowolnego wielomianu stopnia parzystego jest przedział , gdzie n jest największą wartością tego wielomianu.
II. Właściwości funkcji wykorzystywane przy znajdowaniu zakresu funkcji
Aby pomyślnie znaleźć zbiór wartości funkcji, należy dobrze znać właściwości podstawowych funkcji elementarnych, zwłaszcza ich dziedziny definicji, zakresy wartości i naturę monotoniczności. Przedstawmy własności funkcji różniczkowalnych ciągłych, monotonicznych, które są najczęściej wykorzystywane przy znajdowaniu zbioru wartości funkcji.
Własności 2 i 3 stosuje się z reguły razem z właściwością funkcji elementarnej, która jest ciągła w jej dziedzinie definicji. W tym przypadku najprostsze i najbardziej zwięzłe rozwiązanie problemu znalezienia zbioru wartości funkcji uzyskuje się w oparciu o właściwość 1, jeśli możliwe jest określenie monotoniczności funkcji prostymi metodami. Rozwiązanie problemu jest jeszcze prostsze, jeśli dodatkowo funkcja jest parzysta lub nieparzysta, okresowa itp. Zatem rozwiązując problemy znalezienia zbiorów wartości funkcji, należy w razie potrzeby sprawdzić i wykorzystać następujące właściwości funkcji:
- ciągłość;
- monotonia;
- różniczkowalność;
- parzyste, nieparzyste, okresowe itp.
Proste zadania polegające na znalezieniu zbioru wartości funkcji są przeważnie zorientowane:
a) posługiwać się najprostszymi szacunkami i ograniczeniami: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1, itd.);
b) wyodrębnić cały kwadrat: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;
c) przekształcić wyrażenia trygonometryczne: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;
d) korzystając z monotoniczności funkcji x 1/3 + 2 x-1 zwiększa się o R.
III. Rozważmy sposoby znalezienia zakresów funkcji.
a) sekwencyjne znajdowanie wartości argumentów funkcji zespolonych;
b) metoda estymacji;
c) wykorzystanie właściwości ciągłości i monotoniczności funkcji;
d) wykorzystanie instrumentu pochodnego;
e) użycie największych i najmniejszych wartości funkcji;
f) metoda graficzna;
g) sposób wprowadzania parametrów;
h) metoda funkcji odwrotnej.
Ujawnijmy istotę tych metod na konkretnych przykładach.
Przykład 1: Znajdź zakres E(y) funkcje y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x).
Rozwiążmy ten przykład, znajdując kolejno wartości argumentów funkcji złożonej. Po podkreśleniu idealny kwadrat pod logarytmem przekształcamy funkcję
y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)
I sekwencyjnie znajdziemy zbiory wartości jego złożonych argumentów:
E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)
Oznaczmy T= 5 – (3 x +1) 2, gdzie -∞≤ t≤4. Zatem problem sprowadza się do znalezienia zbioru wartości funkcji y = log 0,5 t na promieniu (-∞;4) . Ponieważ funkcja y = log 0,5 t jest zdefiniowana tylko dla, jej zbiór wartości na promieniu (-∞;4) pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji na przedziale (0;4), który jest przecięciem promienia (-∞;4) z dziedziną definicji (0;+∞) funkcji logarytmicznej. Na przedziale (0;4) funkcja ta jest ciągła i malejąca. Na T> 0 ma tendencję do +∞ i kiedy t = 4 przyjmuje wartość -2, a więc E(y) =(-2, +∞).
Przykład 2: Znajdź zakres funkcji
y = cos7x + 5cosx
Rozwiążmy ten przykład za pomocą metody estymacji, której istotą jest oszacowanie funkcji ciągłej od dołu i od góry oraz wykazanie, że funkcja ta osiąga dolną i górną granicę ocen. W tym przypadku zbieżność zbioru wartości funkcji z przedziałem od dolnej granicy oszacowania do górnej jest określona przez ciągłość funkcji i brak dla niej innych wartości.
Z nierówności -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 otrzymujemy oszacowanie -6≤y?6. Przy x = p i x = 0 funkcja przyjmuje wartości -6 i 6, tj. osiąga dolną i górną granicę oszacowania. Jako liniowa kombinacja funkcji ciągłych cos7x i cosx, funkcja y jest ciągła na całej osi liczbowej, dlatego zgodnie z właściwością funkcji ciągłej przyjmuje wszystkie wartości od -6 do 6 włącznie i tylko je, ponieważ ze względu na nierówności -6≤y?6 inne wartości są dla niej niemożliwe. Stąd, E(y)= [-6;6].
Przykład 3: Znajdź zakres E(f) Funkcje k(x)= cos2x + 2cosx.
Korzystając ze wzoru na cosinus podwójnego kąta, przekształcamy funkcję k(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 i oznacz T=cos. Następnie k(x)= 2t 2 + 2t – 1. Od E(cosx) =
[-1;1], to zakres wartości funkcji k(x) pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji g (T)= 2t 2 + 2t – 1 na odcinku [-1;1], co znajdujemy graficznie. Wykreślając funkcję y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 na przedziale [-1;1] znajdujemy E(f) = [-1,5; 3].
Uwaga: wiele problemów z parametrem sprowadza się do znalezienia zbioru wartości funkcji, związanych głównie z rozwiązywalnością i liczbą rozwiązań równań i nierówności. Na przykład równanie k(x)= a jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy
E(f) Podobnie, Równ. k(x)= a ma co najmniej jeden pierwiastek znajdujący się w pewnym przedziale X, lub nie ma ani jednego pierwiastka w tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy a należy lub nie należy do zbioru wartości funkcji k(x) na przedziale X. Badano także przy użyciu zestawu wartości funkcji i nierówności f(x)≠ A, f(x)> a, itp. W szczególności, f(x)≠ i dla wszystkich dopuszczalnych wartości x, jeśli E(f)
Przykład 4. Dla jakich wartości parametru a równanie (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) ma pojedynczy pierwiastek z przedziału [-4;-1].
Zapiszmy równanie w postaci (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Ostatnie równanie ma co najmniej jeden pierwiastek z przedziału [-4;-1] wtedy i tylko wtedy, gdy a należy do zbioru wartości funkcji f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) w segmencie [-4;-1]. Znajdźmy ten zbiór wykorzystując własność ciągłości i monotoniczności funkcji.
Na przedziale [-4;-1] funkcja y = xІ + 4 jest ciągła, malejąca i dodatnia, zatem funkcja g(x) = 1/(x 2 + 4) jest ciągłe i rośnie w tym segmencie, ponieważ przy dzieleniu przez funkcję dodatnią charakter monotoniczności funkcji zmienia się na przeciwny. Funkcjonować h(x) =(x + 5) 1/2 jest ciągłe i rośnie w swojej dziedzinie definicji D(h) =[-5;+∞), a w szczególności na odcinku [-4;-1], gdzie jest ona w dodatku dodatnia. Następnie funkcja f(x)=g(x) h(x), ponieważ iloczyn dwóch funkcji ciągłych, rosnących i dodatnich, jest również ciągły i rosnący na odcinku [-4;-1], dlatego jego zbiór wartości na [-4;-1] jest odcinkiem [ f(-4); f(-1)] = . Zatem równanie ma rozwiązanie na przedziale [-4;-1] i jedyne (ze względu na własność ciągłej funkcji monotonicznej) dla 0,05 ≤ a ≤ 0,4
Komentarz. Rozwiązywalność równania f(x) = a w pewnym przedziale X jest równoznaczne z przynależnością do wartości parametru A zbiór wartości funkcji k(x) na X. W konsekwencji zbiór wartości funkcji k(x) na przedziale X pokrywa się ze zbiorem wartości parametrów A, dla którego równanie f(x) = a ma co najmniej jeden pierwiastek z przedziału X. W szczególności zakres wartości E(f) Funkcje k(x) odpowiada zestawowi wartości parametrów A, dla którego równanie f(x) = a ma co najmniej jeden pierwiastek.
Przykład 5: Znajdź zakres E(f) Funkcje
Rozwiążmy przykład wprowadzając parametr, według którego E(f) odpowiada zestawowi wartości parametrów A, dla którego równanie
ma co najmniej jeden pierwiastek.
Gdy a = 2, równanie jest liniowe - 4x - 5 = 0 z niezerowym współczynnikiem dla nieznanego x, zatem ma rozwiązanie. Dla a≠2 równanie jest kwadratowe, więc można je rozwiązać wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik
Ponieważ punkt a = 2 należy do odcinka
następnie żądany zestaw wartości parametrów A, zatem zakres wartości E(f) będzie cały segment.
Jako bezpośrednie rozwinięcie metody wprowadzania parametru przy znajdowaniu zbioru wartości funkcji, możemy rozważyć metodę funkcji odwrotnej, aby znaleźć, które należy rozwiązać równanie dla x f(x)=y, uznając y za parametr. Jeśli to równanie ma jedyna decyzja x = g(y), a następnie zakres wartości E(f) oryginalna funkcja k(x) pokrywa się z dziedziną definicji D(g) funkcja odwrotna g(y). Jeśli równanie f(x)=y ma kilka rozwiązań x = g 1 (y), x = g 2 (y) itd., następnie E(f) jest równa sumie dziedzin funkcji g 1 (y), g 2 (y) itp.
Przykład 6: Znajdź zakres E(y) funkcje y = 5 2/(1-3x).
Z równania
znajdźmy funkcję odwrotną x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) i jej dziedzinę definicji D(x):
Ponieważ równanie dla x ma unikalne rozwiązanie, zatem
E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).
Jeżeli dziedzina funkcji składa się z kilku przedziałów lub funkcja jest zdefiniowana na różnych przedziałach różne formuły, następnie, aby znaleźć zakres wartości funkcji, musisz znaleźć zbiory wartości funkcji w każdym przedziale i wziąć ich sumę.
Przykład 7: Znajdź zakresy k(x) I f(f(x)), Gdzie
k(x) na promieniu (-∞;1], gdzie pokrywa się to z wyrażeniem 4 x + 9 4 -x + 3. Oznaczmy t = 4 x. Następnie k(x) = t + 9/t + 3, gdzie 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции k(x) na promieniu (-∞;1] pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji g(t) = t + 9/t + 3, na przedziale (0;4], który znajdujemy za pomocą pochodnej g’(t) = 1 – 9/t 2. Na pochodnej przedziału (0;4). g'(t) jest zdefiniowany i znika tam w t = 3. O godzinie 0<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) maleje, a w przedziale (3;4) rośnie, pozostając ciągłym przez cały przedział (0;4), więc g (3)= 9 – najmniejsza wartość tej funkcji na przedziale (0;4], natomiast największa jej wartość nie istnieje, więc gdy t → 0 funkcja po prawej stronie g(t) →+∞. Następnie, zgodnie z właściwością funkcji ciągłej, zbiór wartości funkcji g(t) na przedziale (0;4], a zatem na zbiorze wartości k(x) na (-∞;-1] pojawi się promień .
Teraz łącząc przedziały - zbiory wartości funkcji f(f(x)), oznacz t = f(x). Następnie f(f(x)) = f(t), gdzie Dla określonego T funkcjonować f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 i ponownie przyjmuje wszystkie wartości od 5 do 9 włącznie, tj. zakres E(fІ) = E(f(f(x))) =.
Podobnie, oznaczając z = f(f(x)), możesz znaleźć zakres wartości mi(f 3) Funkcje f(f(f(x))) = f(z), gdzie 5 ≤ z ≤ 9 itd. Upewnij się, że E(f 3) = .
Najbardziej uniwersalną metodą znalezienia zbioru wartości funkcji jest wykorzystanie największej i najmniejszej wartości funkcji w danym przedziale.
Przykład 8. Przy jakich wartościach parametrów R nierówność 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 x obowiązuje dla wszystkich -1 ≤ x< 2.
Mając wyznaczone t = 2x, zapisujemy nierówność w postaci р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Ponieważ t = 2x– włączona funkcja ciągłego zwiększania R, wtedy dla -1 ≤ x< 2 переменная
2 -1 ≤ t<2 2 ↔
0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R różnią się od wartości funkcji f(t) = t 3 – 2t 2 + t przy 0,5 ≤ t< 4.
Najpierw znajdźmy zbiór wartości funkcji f(t) w segmencie, w którym ma wszędzie pochodną f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Stąd, f(t) jest różniczkowalna, a zatem ciągła na przedziale. Z równania f’(t) = 0 znaleźć punkty krytyczne funkcji t = 1/3, t = 1, z których pierwszy nie należy do segmentu, a drugi do niego. Ponieważ f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, wówczas, zgodnie z właściwością funkcji różniczkowalnej, 0 jest najmniejszą, a 36 największą wartością funkcji f(t) na segmencie. Następnie f(t), jako funkcja ciągła przyjmuje w przedziale wszystkie wartości od 0 do 36 włącznie, a wartość 36 przyjmuje tylko wtedy, gdy t=4, zatem dla 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка
MI( y) = (– ∞, + ∞)
MI( y) = (– ∞, + ∞)
MI( y) = (– ∞, + ∞)
MI( y) = (0, + ∞)
Czy korzystając z tej wiedzy możemy od razu znaleźć zbiory wartości funkcji zapisanych na tablicy? (patrz tabela 2).
Co może pomóc odpowiedzieć na to pytanie? (Wykresy tych funkcji).
Jak wykreślić pierwszą funkcję? (Obniż parabolę o 4 jednostki w dół).
|
Funkcjonować |
Wiele znaczeń |
|
y = X 2 – 4 |
MI( y) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
MI( y) = |
|
y = – 5 szt X |
MI( y) = [- 5, 5] |
|
y = tg ( x+ / 6) – 1 |
MI( y) = (– ∞, + ∞) |
|
y = grzech( x+ / 3) – 2 |
MI( y) = [- 3, - 1] |
|
y =| X – 1 | + 3 |
MI( y) = |
|
y =| ctg X| |
MI( y) = |
|
y =  = | cos(x + /4) | |
MI( y) = |
|
y =(X - 5) 2 + 3 |
MI( y) = . Znajdź zbiór wartości funkcji:   . 
Wprowadzenie algorytmu rozwiązywania problemów znajdowania zbioru wartości funkcji trygonometrycznych. Zobaczmy, jak możemy zastosować nasze dotychczasowe doświadczenie do różnych zadań zawartych w opcjach Unified Exam. 1. Znajdowanie wartości funkcji dla podanej wartości argumentu. Przykład. Znajdź wartość funkcji y = 2 sałata(π/2+ π/4 ) – 1, Jeśli x = -π/2. Rozwiązanie. y(-π/2) = 2 sałata(- π/2 – π/4 )- 1= 2 sałata(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grzechπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Znajdowanie zakresu wartości funkcji trygonometrycznych
1≤ grzechX≤ 1 2 ≤ 2 grzechX≤ 2 9 ≤ 11+2grzechX≤ 13 3 ≤ Zapiszmy wartości całkowite funkcji w przedziale. To jest liczba 3. Odpowiedź: 3.
Na= grzech 2 X- 2 3 grzechx + 3 2 - 3 2 + 8, Na= (grzechX- 3) 2 -1. E ( grzechX) = [-1;1]; E ( grzechX -3) = [-4;-2]; E ( grzechX -3) 2 = ; E ( Na) = . Odpowiedź: .
Czy możemy znaleźć zbiór wartości tej funkcji? (NIE.) Co powinno być zrobione? (Zredukuj do jednej funkcji.) Jak to zrobić? (Użyj wzoru na cos 2 X= 1-grzech 2 X.) Więc, Na= 1-grzech 2 X+ 2 grzech X –2, y= -grzech 2 X+ 2 grzech X –1, Na= -(grzech X –1) 2 . Cóż, teraz możemy znaleźć zbiór wartości i wybrać najmniejszy. 1 ≤ grzech X ≤ 1, 2 ≤ grzech X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (grzech X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(grzech X -1) 2 ≤ 0. Oznacza to, że najmniejsza wartość funkcji Na nazwa= –4. Odpowiedź: -4.
Rozwiązanie. Na= 1-cos 2 X+bo X + 1,5, Na= -cos 2 X+ 2∙0,5∙cos X - 0,25 + 2,75, Na= -(bos X- 0,5) 2 + 2,75. E (kos X) = [-1;1], E (kos X – 0,5) = [-1,5;0,5], E (kos X – 0,5) 2 = , E(-(kos X-0,5) 2) = [-2,25;0], MI( Na) = . Największa wartość funkcji Na naib= 2,75; najmniejsza wartość Na nazwa= 0,5. Znajdźmy iloczyn największej i najmniejszej wartości funkcji: Na naib ∙Na nazwa = 0,5∙2,75 = 1,375. Odpowiedź: 1,375. Rozwiązanie. Przepiszmy funkcję w postaci Na =, Na = Znajdźmy teraz zbiór wartości funkcji. E(grzech X) = [-1, 1], E(6 grzech X) = [-6, 6], E(6 grzech X + 1) = [-5, 7], E((6 grzech X + 1) 2) = , E(– (6 grzech X + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6 grzech X + 1) 2 + 64) = , MI( y) = [ Znajdźmy sumę wartości całkowitych funkcji: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odpowiedź: 30.  Rozwiązanie. 1) 2) Dlatego 2 X należą do drugiego kwartału. 3) W drugim kwartale funkcja sinus maleje i jest ciągła. Oznacza to, że ta funkcja 4) Obliczmy te wartości:
Odpowiedź :
 Rozwiązanie. 1) Ponieważ sinus przyjmuje wartości od -1 do 1, to zbiór wartości różnicowych 2) Arc cosinus jest funkcją monotonicznie malejącą i ciągłą. Oznacza to, że zbiór wartości wyrażenia jest segmentem 3) Mnożąc ten segment przez Odpowiedź:  Rozwiązanie. Zatem arcus tangens jest funkcją rosnącą 2) Podczas zwiększania X z 3) Przy zwiększaniu od 4) Korzystając ze wzoru wyrażającego sinus poprzez tangens połówki kąta, znajdujemy to
Oznacza to, że pożądanym zestawem wartości jest suma segmentów Odpowiedź: Na= a grzech x + b cos x Lub Na= grzech (Rx) + b cos (RX).
Rozwiązanie. Znajdźmy wartość Przekształćmy wyrażenie 15 grzech 2x + 20 sałata 2x = 25 ( 25 grzechów (2x + Zbiór wartości funkcji y = sin (2x + Wtedy zbiór wartości oryginalnej funkcji wynosi -25 Odpowiedź:
[-25; 25].
Funkcjonować Na= ctg X maleje w przedziale [π/4; π/2], dlatego funkcja przyjmie najmniejszą wartość, gdy x =π/2, tj Na(π/2) = π/2 = 0; i największa wartość wynosi x=π/4, tj Na(π/4) = π/4 = 1. Odpowiedź: 1, 0.  . Rozwiązanie. Wybierzmy w równości Wynika z tego, że wykres funkcji f(x) jest albo hiperbolą (a≠ 0), albo linią prostą bez punktu. Co więcej, jeśli; 2a) i (2a; Jeśli a = 0, to f(x) = -2 w całej dziedzinie definicji x ≠ 0. Jest zatem oczywiste, że wymagane wartości parametru nie są równe zeru. Ponieważ interesują nas wartości funkcji tylko na przedziale [-1; 1], to o klasyfikacji sytuacji decyduje fakt, że asymptota x = 2a hiperboli (a≠0) jest położona względem tego odcinka. Przypadek 1. Wszystkie punkty w przedziale [-1; 1] znajdują się na prawo od asymptoty pionowej x = 2a, czyli gdy 2a Przypadek 2. Asymptota pionowa przecina przedział [-1; 1], a funkcja maleje (jak w przypadku 1), czyli kiedy Przypadek 3. Asymptota pionowa przecina przedział [-1; 1] i funkcja rośnie, czyli -1 Przypadek 4. Wszystkie punkty w przedziale [-1; 1] znajdują się na lewo od asymptoty pionowej, czyli 1 a > . i drugi Recepcja 5. Uproszczenie wzoru definiującego funkcję ułamkowo-wymierną Recepcja 6. Znalezienie zbioru wartości funkcji kwadratowych (poprzez znalezienie wierzchołka paraboli i ustalenie charakteru zachowania jej gałęzi). Recepcja 7. Wprowadzenie kąta pomocniczego do znajdowania zbioru wartości niektórych funkcji trygonometrycznych. Nazywa się zależność jednej zmiennej od drugiej zależność funkcjonalna. Zmienna zależności y ze zmiennej X zwany funkcjonować, jeśli każda wartość X pasuje do jednej wartości y. Przeznaczenie: Zmienny X nazywana zmienną niezależną lub argument i zmienna y- zależny. Mówią, że y jest funkcją X. Oznaczający y, odpowiadający określonej wartości X, zwany wartość funkcji. Wszystkie wartości, które akceptuje X, formularz dziedzina funkcji; wszystkie wartości, jakie przyjmuje y, formularz zbiór wartości funkcji. Oznaczenia: D(f)- wartości argumentów. E(f)- wartości funkcji. Jeśli funkcja jest podana wzorem, wówczas za dziedzinę definicji składają się wszystkie wartości zmiennej, dla których ta formuła ma sens. Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu i których rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji. Jeśli jakaś wartość x=x 0 dopasowuje wiele wartości (nie tylko jedną) y, to taka korespondencja nie jest funkcją. Aby zbiór punktów na płaszczyźnie współrzędnych był wykresem określonej funkcji, konieczne i wystarczające jest, aby jakakolwiek prosta równoległa do osi Oy przecinała się z wykresem nie więcej niż w jednym punkcie.  Metody określania funkcji1) Można ustawić funkcję analitycznie w formie formuły. Na przykład, 2) Funkcję można określić za pomocą tabeli wielu par (x; y). 3) Funkcję można określić graficznie. Pary wartości (x; y) są przedstawione na płaszczyźnie współrzędnych. Monotoniczność funkcjiFunkcjonować k(x) zwany wzrastający na danym przedziale liczbowym, jeśli większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji. Wyobraź sobie, że pewien punkt przesuwa się wzdłuż wykresu od lewej do prawej. Wtedy punkt będzie wydawał się „wspinać” w górę wykresu. Funkcjonować k(x) zwany malejące na danym przedziale liczbowym, jeśli większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji. Wyobraź sobie, że pewien punkt przesuwa się wzdłuż wykresu od lewej do prawej. Wtedy punkt będzie wydawał się „toczyć” w dół wykresu. Nazywa się funkcję, która tylko rośnie lub tylko maleje w danym przedziale liczbowym monotonny w tym przedziale.  Zera funkcji i przedziały znaku stałegoWartości X, w którym y=0, zwany zera funkcji. Są to odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z osią Wół.  Takie zakresy wartości X, na którym znajdują się wartości funkcji y wywoływane są albo tylko dodatnie, albo tylko ujemne przedziały stałego znaku funkcji.  Funkcje parzyste i nieparzysteNawet funkcjonować Dziwna funkcja ma następujące właściwości: Nie każda funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Funkcje ogólna perspektywa nie są ani parzyste, ani nieparzyste.    Funkcje okresoweFunkcjonować F nazywa się okresowym, jeśli istnieje taka liczba, że dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(x)=f(x-T)=f(x+T). T jest okresem funkcji. Każda funkcja okresowa ma nieskończoną liczbę okresów. W praktyce zwykle bierze się pod uwagę najmniejszy okres dodatni. Wartości funkcji okresowej powtarzają się po odstępie równym okresowi. Jest to wykorzystywane podczas konstruowania wykresów. 
Podziel się ze znajomymi lub zapisz dla siebie:
 Ładowanie... |
– 1.
, tj. E (y) = .
,
, 8].
to jest X należy do pierwszego kwartału.
zanim 
.
. Po pomnożeniu przez 
ten segment przejdzie do segmentu 
.
.
dostajemy 
.
.
.
zanim 
argument 2 X wzrasta od 
zanim 
. Ponieważ sinus rośnie w takim przedziale, funkcja 
do 1.
argument 2 X wzrasta od 
. Ponieważ sinus maleje w takim przedziale, to funkcja 
do 1.
.
I 
, czyli segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), gdzie cos 
grzech (2x + 
) i jeśli a > 0, rośnie monotonicznie na tych promieniach.
.
