Znajdowanie liczby na podstawie wartości jej ułamka. Znajdowanie liczby według jej ułamka - Hipermarket Wiedzy. Problemy ze znalezieniem ułamka liczby
Rozwiązywanie problemów z książki problemów Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd dla 6. klasy z matematyki na temat:
§ 3. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
18. Znajdowanie liczby przez jej ułamek
1 Odśnieżyliśmy 2/5 lodowiska czyli 800 m2. Znajdź obszar całego lodowiska.
ROZWIĄZANIE
Pszenicą obsiane jest 2 2400 hektarów. co stanowi 0,8 całego pola. Znajdź jego obszar.
ROZWIĄZANIE
3 Po wzroście wydajności pracy o 7% pracownik wykonał w tym samym okresie o 98 części więcej niż planowano. Ile części musiał wykonać pracownik zgodnie z planem?
ROZWIĄZANIE
647 Dziewczynka pokonała na nartach 300 m, co stanowiło 3/8 całego dystansu. Jaka jest odległość?
ROZWIĄZANIE
648 Stos wznosi się 1,5 m nad poziom wody, co stanowi 3/16 długości całego stosu. Jaka jest jego długość
ROZWIĄZANIE
Do elewatora wysłano 649 211,2 ton zboża, co daje 0,88 ziarna młóconego dziennie. Ile zboża zmieliłeś dziennie?
ROZWIĄZANIE
650 Po wymianie silnika Średnia prędkość samolot wzrósł o 18%, czyli 68,4 km/h. Jaka była średnia prędkość samolotu z tym samym silnikiem?
ROZWIĄZANIE
651 Masa ryb suszonych stanowi 55% masy ryb świeżych. Ile świeżego trzeba wziąć, żeby otrzymać 231 kg suszu?
ROZWIĄZANIE
652 Masa winogron w pierwszym pudełku wynosi 7/9 masy winogron w drugim. Ile kilogramów winogron znajdowało się w dwóch skrzynkach, jeśli w pierwszym było 21 kg winogron?
ROZWIĄZANIE
Sprzedano 653 3/8 nart otrzymanych przez sklep, pozostawiając 120 par nart. Ile par otrzymał sklep?
ROZWIĄZANIE
654 Po wysuszeniu ziemniaki tracą 85,7% swojej masy. Ile surowych ziemniaków trzeba zebrać, aby uzyskać 71,5 tony suszu?
ROZWIĄZANIE
655 Bank kupił kilka akcji zakładu i sprzedał je rok później za 576,8 mln rubli, uzyskując 3% zysku. Ile bank wydał na zakup akcji?
ROZWIĄZANIE
656 Pierwszego dnia turyści przejechali 5/24 zamierzonej trasy, a drugiego – 0,8 tego, co przebyli pierwszego dnia. Jak długa jest zamierzona trasa, jeśli drugiego dnia turyści przeszli 24 km?
ROZWIĄZANIE
657 Uczeń przeczytał najpierw 75 stron, a potem jeszcze kilka stron. Ich liczba stanowiła 40% tego, co czytano za pierwszym razem. Ile stron ma książka, jeśli przeczytano 3/4 książki?
ROZWIĄZANIE
658 Rowerzysta przejechał najpierw 12 1/4 km, a potem jeszcze kilka kilometrów, co stanowiło 3/7 pierwszego odcinka trasy. Potem musiał pokonać już tylko 2/3 trasy. Jaka jest jego długość
ROZWIĄZANIE
659 3/5 liczby 12 to 1/4 nieznanej liczby. Znajdź ten numer.
ROZWIĄZANIE
660 35% z 128,1 to 49% nieznanej liczby. Znajdź go
ROZWIĄZANIE
661 Kiosk pierwszego dnia sprzedał 40% wszystkich notebooków, drugiego 53%, a trzeciego dnia pozostałe 847 notebooków. Ile zeszytów sprzedało się w kiosku w ciągu trzech dni?
ROZWIĄZANIE
662 Pierwszego dnia w bazie warzywnej sprzedano 40% wszystkich dostępnych ziemniaków, drugiego 60% pozostałych, a trzeciego pozostałych 72 ton. Ile ton ziemniaków było w bazie?
ROZWIĄZANIE
663 Trzej pracownicy wyprodukowali określoną liczbę części. Pierwszy robotnik wyprodukował 0,3 wszystkich części, drugi 0,6 z pozostałych, a trzeci pozostałe 84 części. Ile części łącznie wykonali robotnicy?
ROZWIĄZANIE
664 Pierwszego dnia załoga traktora zaorała 3/8 działki, drugiego 2/5 pozostałej, a trzeciego pozostałe 216 ha. Określ obszar witryny.
ROZWIĄZANIE
665 W pierwszej godzinie samochód przejechał 4/9 całego dystansu, w drugiej 3/5 pozostałego dystansu, a resztę w trzeciej.Wiadomo, że w trzeciej godzinie przejechał 40 km mniej niż w drugim. Ile kilometrów przejechał samochód w ciągu tych 3 godzin?
ROZWIĄZANIE
666 Wykonaj obliczenia. Za pomocą mikrokalkulatora znajdź liczbę, której 12,7% wynosi 4,5212; liczba, której 8,52% jest równe 3,0246.
ROZWIĄZANIE
668 Bez dzielenia, porównuj.
ROZWIĄZANIE
669 Ile razy jest mniej niż jego odwrotność: 1/5; 2/3; 1/6; 0,3?
ROZWIĄZANIE
670 Znajdź liczbę 4 razy mniejszą od jej odwrotności; 9 razy.
ROZWIĄZANIE
671 Podziel słownie liczbę środkową na liczby w kółkach.
ROZWIĄZANIE
672 Ile kwadratowych płytek o boku 20 cm będzie potrzebnych do ułożenia podłogi w pomieszczeniu o długości 5,6 m i szerokości 4,4 m. Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.
ROZWIĄZANIE
673 Znajdź zasadę umieszczania liczb w półkolach i wstaw brakujące liczby
ROZWIĄZANIE
675 W ciągu 3/5 godziny rowerzysta przejechał 7 1/2 km. Ile kilometrów przejedzie rowerzysta w ciągu 2 i pół godziny, jeśli jedzie z tą samą prędkością?
ROZWIĄZANIE
676 W ciągu 1/3 godziny pieszy przeszedł 1 1/2 km. Ile kilometrów pieszy pokona w ciągu 2 i pół godziny, jeśli będzie szedł z tą samą prędkością?
ROZWIĄZANIE
678 Znajdź wartość wyrażenia
ROZWIĄZANIE
679 Wykonaj kroki 10.1 + 9.9 · 107.1: 3,5: 6,8 - 4,85; 12,3 + 7,7 187,2: 4,5: 6,4 - 3,4
ROZWIĄZANIE
Z beczki wylano 7/12 nafty, która się tam znajdowała. Ile litrów nafty znajdowało się w beczce, jeśli wylano z niej 84 litry?
ROZWIĄZANIE
681 Wołodia przeczytał 234 strony, co stanowi 36% całej książki. Ile stron jest w tej książce?
ROZWIĄZANIE
682 Użycie nowego ciągnika do orania pola pozwoliło zaoszczędzić 70% czasu i zajęło 42 godziny. Ile czasu zajęłoby wykonanie tej pracy na starym ciągniku?
ROZWIĄZANIE
683 Słup wkopany w ziemię na 2/13 swojej długości wznosi się nad ziemię na wysokość 5 1/2 m. Oblicz długość filaru.
ROZWIĄZANIE
684 Tokarz, obróciwszy na maszynie 145 części, przekroczył plan o 16%. Ile części należało obrócić zgodnie z planem?
ROZWIĄZANIE
685 Punkt C dzieli odcinek AB na dwa odcinki AC i NE. Długość AC jest 0,65 długości odcinka CB. Znajdź NE i AB, jeśli AC = 3,9 cm.
ROZWIĄZANIE
686 Dystans narciarski jest podzielony na trzy części. Długość pierwszego odcinka wynosi 0,48 długości całego odcinka, drugiego - 5/12 długości pierwszego odcinka. Jaka jest długość całego odcinka, jeśli długość drugiego odcinka wynosi 5 km? Jaka jest długość trzeciego?
ROZWIĄZANIE
687 14,4 kg z pełnej lufy kapusta kiszona a potem kolejne 5/12 tej kwoty. Następnie w beczce pozostało 5/8 kiszonej kapusty, która była wcześniej. Ile kilogramów kapusty było w pełnej beczce?
ROZWIĄZANIE
688 Gdy Kostya przeszedł 0,3 całej ścieżki z domu do szkoły, do środka ścieżki pozostało mu jeszcze 150 m. Jak długa jest droga z domu do szkoły?
ROZWIĄZANIE
689 Trzy grupy uczniów posadziły drzewa wzdłuż drogi. Pierwsza grupa posadziła 35% wszystkich dostępnych drzew, druga grupa posadziła 60% pozostałych drzew, a trzecia grupa posadziła pozostałe 104. Ile drzew w sumie posadzono?
ROZWIĄZANIE
690 Warsztat posiadał toczenie, frezowanie i Szlifierki. Tokarki stanowiły 5/11 wszystkich tych maszyn. Liczba szlifierek stanowi 2/5 liczby tokarek. Ile maszyn tego typu było w warsztacie, gdyby frezarek było o 8 mniej niż tokarek?
ROZWIĄZANIE
691 Ukończone akcje (1,704: 0,8 - 1,73) · 7,16 - 2,64; 227,36: (865,6 - 20,8 · 40,5) · 8,38 + 1,12; (0,9464: (3,5 · 0,13) + 3,92) · 0,18; 275,4: (22,74 + 9,66) · (937,7 - 30,6 · 30,5).
Znajdowanie liczby przez jej ułamek
Notatka 1
Aby znaleźć liczbę na podstawie danej wartości jej ułamka, należy podzielić tę wartość przez ułamek.
Przykład 1
Anton zarobił pieniądze w ciągu tygodnia nauki trzy kwarty doskonałe oceny. Ile ocen otrzymał Anton, jeśli były oceny doskonałe? 6 .
Rozwiązanie.
Zgodnie z problemem, znaki $6$ to $\frac(3)(4)$.
Znajdźmy liczbę wszystkich znaków:
$6\div \frac(3)(4)=6 \cdot \frac(4)(3)=\frac(6 \cdot 4)(3)=\frac(2 \cdot 3 \cdot 4)(3) =2\ckropka 4=8$.
Odpowiedź: tylko 8 dolarów marek.
Przykład 2
Skosili $\frac(4)(9)$ pszenicy na polu. Znajdź powierzchnię pola, jeśli skoszono 36 $ hektarów.
Rozwiązanie.
Zgodnie z warunkami problemu, $36$ ha to $\frac(4)(9)$.
Znajdźmy obszar całego pola:
$36\div \frac(4)(9)=36 \cdot \frac(9)(4)=\frac(36 \cdot 9)(4)=\frac(4 \cdot 9 \cdot 9)(4) = 81 dolarów.
Odpowiedź: powierzchnia całego pola wynosi 81 $ ha.
Przykład 3
W ciągu jednego dnia autobus pokonał $\frac(2)(3)$ trasy. Znajdź czas trwania zamierzonej trasy, jeśli autobus przejechał dziennie 350 $ km?
Rozwiązanie.
Zgodnie z warunkami problemu, $350$ km to $\frac(2)(3)$.
Znajdźmy czas trwania całej trasy autobusu:
350 $\div \frac(2)(3)=350 \cdot \frac(3)(2)=\frac(350 \cdot 3)(2)=175 \cdot 3=525$.
Odpowiedź: czas trwania planowanej trasy $525$ km.
Przykład 4
Pracownik zwiększył produktywność swojej pracy o $%\ $ i wyprodukował o 24 $ więcej części, niż planowano w tym samym okresie. Znajdź liczbę części zaplanowanych do wykonania przez pracownika.
Rozwiązanie.
Zgodnie z warunkami problemu, 24$ części = 8$\%$ i 8$\% = 0,08$.
Znajdźmy liczbę części planowanych do wykonania przez pracownika:
$24\div 0,08=24\div \frac(8)(100)=24 \cdot \frac(100)(8)=\frac(24 \cdot 100)(8)=\frac(3 \cdot 8 \cdot 100)(8)=300 dolarów.
Odpowiedź: Planowane jest wykonanie części o wartości 300 USD przez pracownika.
Przykład 5
Warsztat naprawił maszyny o wartości 9 USD, co stanowi 18\%$ wszystkich maszyn w warsztacie. Ile maszyn jest w warsztacie?
Rozwiązanie.
Zgodnie z warunkami problemu, maszyny o wartości 9$ = 18$\%$ i 18\% = 0,18.$
Znajdźmy liczbę maszyn w warsztacie:
$9\div 0,18=9\div \frac(18)(100)=9 \cdot \frac(100)(18)=\frac(9 \cdot 100)(18)=\frac(9 \cdot 100 )( 2 \cdot 9)=\frac(100)(2)=50 dolarów.
Odpowiedź: Maszyny za 50 dolarów w warsztacie.
Wyrażenia ułamkowe
Rozważmy ułamek $\frac(a)(b)$, który jest równy ilorazowi $a\div b$. W takim przypadku wygodnie jest zapisać iloraz dzielenia jednego wyrażenia przez drugie za pomocą słupka.
Przykład 6
Na przykład, wyrażenie $(13,5–8,1)\div (20,2+29,8)$ można zapisać w następujący sposób:
$\frac(13,5-8,1)(20,2+29,8)$.
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy wartość tego wyrażenia:
$\frac(13,5-8,1)(20,2+29,8)=\frac(5,4)(50)=\frac(10,8)(100)=0,108 $.
Definicja 1
Wyrażenie ułamkowe jest ilorazem dwóch liczb lub wyrażeń numerycznych, w którym znak $„:”$ jest zastąpiony kreską ułamkową.
Przykład 7
$\frac(2,4)(1,3 \cdot 7,5)$, $\frac(\frac(5)(8)+\frac(3)(11))(2,7-1,5 )$, $\frac(2a-3b )(3a+2b)$, $\frac(5,7)(ab)$ – wyrażenia ułamkowe.
Definicja 2
Nazywa się wyrażenie numeryczne zapisane powyżej linii ułamkowej licznik ułamka, a wyrażenie liczbowe zapisane pod linią ułamkową to mianownik wyrażenie ułamkowe.
Licznik i mianownik wyrażenia ułamkowego mogą zawierać cyfry, cyfry lub litery.
W przypadku wyrażeń ułamkowych można zastosować te same zasady, które dotyczą ułamków zwykłych.
Przykład 8
Znajdź wartość wyrażenia $\frac(5 \frac(3)(11))(3 \frac(2)(7))$.
Rozwiązanie.
Pomnóżmy licznik i mianownik tego wyrażenia ułamkowego przez liczbę $77$:
$\frac(5 \frac(3)(11))(3 \frac(2)(7))=\frac(5 \frac(3)(11) \cdot 77)(3 \frac(2)( 7) \cdot 77)=\frac(406)(253)=1,6047…$
Odpowiedź: $\frac(5 \frac(3)(11))(3 \frac(2)(7))=1,6047…$
Przykład 9
Znajdź iloczyn dwóch liczb ułamkowych $\frac(16,4)(1,4)$ i $1 \frac(3)(4)$.
Rozwiązanie.
$\frac(16,4)(1,4) \cdot 1 \frac(3)(4)=\frac(16,4)(1,4) \cdot \frac(7)(4)=\frac (4,1)(0,2)=\ frac(41)(2)=20,5$.
Odpowiedź: $\frac(16,4)(1,4) \cdot 1 \frac(3)(4)=20,5 $.
„Metodyka nauczania rozwiązywania problemów ze znajdowaniem ułamków zwykłych
z liczby i liczby przez jej ułamek”
Większość zastosowań matematyki obejmuje pomiar wielkości. Jednak nie zawsze możliwe jest dokonanie podziału na zbiorze liczb całkowitych: jednostka wielkości nie zawsze pasuje do liczby całkowitej w mierzonej wielkości. Aby w takiej sytuacji dokładnie wyrazić wynik pomiaru, należy rozszerzyć zbiór liczb całkowitych o wprowadzenie liczb ułamkowych. Ludzie doszli do tego wniosku już w starożytności: potrzeba pomiaru długości, powierzchni, mas i innych wielkości doprowadziła do pojawienia się liczb ułamkowych.
W klasach podstawowych uczniowie zapoznają się z liczbami ułamkowymi. Pojęcie ułamka jest następnie udoskonalane i rozwijane w szkole średniej. A jednym z najtrudniejszych tematów matematyki w szkole średniej jest rozwiązywanie problemów z ułamkami. Ułamków zwykłych uczy się w szkole już od ponad roku, a studiowanie tego tematu składa się z kilku etapów. Wynika to z różnych ograniczeń w używaniu liczb. Dlatego program dla klasy piątej jest ściśle powiązany z programem dla klasy szóstej. Zadania rozwijające wyobrażenia o ułamkach są dla uczniów dość skomplikowane i zrozumiałe, dlatego przy rozwiązywaniu problemów z ułamkami nauczyciel matematyki musi działać nieszablonowo, opierając się nie tylko na tradycyjnych wyjaśnieniach.
Metody nauczania rozwiązywania zadań ze znajdowania ułamka liczby i liczby z jej ułamka.
W klasie piątej uczniowie nauczyli się już rozwiązywać zadania polegające na znajdowaniu części liczby i znajdowaniu liczby z jej ułamka. Aby rozwiązać te problemy, zastosowano następujące zasady:
1) Aby znaleźć część liczby wyrażoną jako ułamek, należy podzielić tę liczbę przez mianownik i pomnożyć przez licznik;
2) Aby znaleźć liczbę przez jej część wyrażoną jako ułamek, należy podzielić tę część przez mianownik i pomnożyć przez licznik.
W szóstej klasie uczniowie uczą się, że część liczby oblicza się, mnożąc przez ułamek, a liczbę przez jej część, dzieląc przez ułamek. Dlatego nauczyciel ma możliwość uzupełnienia luk w wiedzy uczniów na ten temat, wykorzystując materiał do utrwalenia nowych sposobów rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem części liczby i liczby po jej części.
Podczas rozwiązywania problemów ułamkowych główną trudnością dla uczniów jest określenie rodzaju problemu. Teksty objaśniające podręczniki często nie zawierają krótkiego opisu warunków tych problemów, co prowadzi uczniów do błędnego zrozumienia, dlaczego w jednym przypadku muszą pomnożyć liczbę przez ułamek, a w innym podzielić liczbę przez dany ułamek. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów ze znalezieniem ułamka liczby i liczby z jej ułamka konieczne jest, aby uczniowie zobaczyli, co w zadaniu stanowi całość, a co jest jej częścią.
1.Zadania polegające na znalezieniu ułamka liczby.
Zadanie 1.
Na terenie szkoły powinno zostać posadzonych 20 drzew. Pierwszego dnia uczniowie zasadzili rośliny. Ile drzew posadzili pierwszego dnia?
20 drzew to 1 (całe).
To jest ta część drzew (część całości),
który został zasadzony pierwszego dnia.
20:4 = 5, a wszystkie drzewa są równe
5 · 3 = 15, czyli pierwszego dnia na działce posadzono 15 drzew.
Odpowiedź: Pierwszego dnia na terenie szkoły posadzono 15 drzew.
Rozwiązanie problemu zapisujemy za pomocą wyrażenia: 20:4 3 = 15.
20 podzielono przez mianownik ułamka, a wynik pomnożono przez licznik.
Ten sam wynik zostanie uzyskany, jeśli 20 zostanie pomnożone przez .
(20 3): 4 = 20 .
Wniosek: Aby znaleźć ułamek liczby, należy pomnożyć liczbę przez podany ułamek.
Zadanie 2.
W dwa dni wybrukowano 20 km. Pierwszego dnia wybrukowano 0,75 tej odległości. Ile kilometrów drogi zostało wybrukowanych pierwszego dnia?
20 km to 1 (liczba całkowita).
0,75 - to ta część drogi (część całości),
który był wybrukowany pierwszego dnia
Ponieważ 0,6 = to aby rozwiązać problem, musisz pomnożyć 20 przez .
Otrzymujemy 20===15. Oznacza to, że pierwszego dnia wybrukowano 15 kilometrów.
Otrzymasz tę samą odpowiedź, jeśli pomnożysz 20 przez 0,75.
Mamy: 200,75=15.
Ponieważ procenty można zapisać w postaci ułamków zwykłych, problemy polegające na znajdowaniu procentów liczby można rozwiązać w podobny sposób.
Zadanie 3.
W dwa dni wybrukowano 20 km. Pierwszego dnia 75% tego dystansu było utwardzone. Ile kilometrów drogi zostało wybrukowanych pierwszego dnia?
20 km to 100%
Przedstawmy całą działkę w formie prostokąta ABCD. Rysunek pokazuje, że zajmuje obszar zajmowany przez jabłonie działka. Tę samą odpowiedź otrzymasz, jeśli pomnożysz przez:
Odpowiedź: Całą działkę zajmują jabłonie.
Materiał do utrwalenia nowych sposobów rozwiązywania problemów ze znalezieniem ułamka z liczby najlepiej podzielić na sekcje, w pierwszej z których wykonywane są zadania dotyczące bezpośredniego wdrożenia nowej reguły, a następnie analizowane są problemy ze znalezieniem ułamka z liczby, po czym uczniowie przechodzą do rozwiązywania problemów złożonych, etapem rozwiązania jest rozwiązanie problemu ułamków prostych.
a) https://pandia.ru/text/80/420/images/image017_16.gif" szerokość="19" height="49 src="> od 245; c) od 104; d) od https:// pandia.ru/text/80/420/images/image017_16.gif" szerokość="19" wysokość="49 src=">; m) 65% z 2.
1. Do stołówki szkolnej przywieziono 120 kg ziemniaków. Pierwszego dnia zużyliśmy wszystkie przyniesione przez nas ziemniaki. Ile kilogramów ziemniaków zużyłeś pierwszego dnia?
2. Długość prostokąta wynosi 56 cm, szerokość jest równa długości. Znajdź szerokość prostokąta.
3. Teren szkoły zajmuje powierzchnię 600 m2. Uczniowie klas szóstych pierwszego dnia wykopali 0,3 całego terenu. Jak duży teren uczniowie wykopali pierwszego dnia?
4. W klubie teatralnym liczy 25 osób. Dziewczęta stanowią 60% wszystkich uczestników klubu. Ile dziewcząt jest w klubie?
5. Powierzchnia ogrodu warzywnego w hektarach. Ogród warzywny obsadzony jest ziemniakami. Na ilu hektarach uprawia się ziemniaki?
1. Do jednego worka wsypano 2 kg prosa i taką ilość do drugiego.
O ile mniej prosa wsypano do drugiego worka niż do pierwszego?
2. Z jednego poletka zebrano 2,7 tony marchwi, z drugiego taką ilość. Ile warzyw zebrano z dwóch poletek?
3. Piekarnia wypieka dziennie 450 kg chleba. 40% pieczywa trafia do sieci handlowej, reszta trafia do stołówek. Ile kg chleba trafia dziennie do stołówek?
4. Do magazynu warzywnego przywieziono 320 ton warzyw. 75% przyniesionych warzyw stanowiły ziemniaki, resztę stanowiła kapusta. Ile ton kapusty przywieziono do sklepu warzywnego?
5. Głębokość górskiego jeziora na początku lata wynosiła 60m. W czerwcu jej poziom obniżył się o 15%, a w lipcu spłycił się o 12% w stosunku do poziomu czerwcowego. Jaka była głębokość jeziora na początku sierpnia?
6. Przed obiadem podróżny przeszedł 0,75 zamierzonej trasy, a po obiedzie dystans przebyty przed obiadem. Czy podróżny pokonał całą zamierzoną trasę w ciągu jednego dnia?
7. 39 dni przeznaczono na naprawę ciągników zimą, a 7 dni mniej na naprawę kombajnów. Czas naprawy sprzętu ciągnionego był taki sam, jak czas naprawy kombajnów zbożowych. O ile dni dłużej trwała naprawa ciągników niż naprawa sprzętu ciągnionego?
8. W pierwszym tygodniu zespół wykonał 30% normy miesięcznej, w drugim - 0,8 tego, co zostało wykonane w pierwszym tygodniu, a w trzecim - tego, co zostało wykonane w drugim tygodniu. Jaki procent miesięcznego limitu pozostaje zespołowi do wykonania w czwartym tygodniu?
2. Znajdowanie liczby przez jej ułamek.
Problemy ze znalezieniem liczby z jej ułamka są odwrotnością problemów ze znalezieniem ułamka danej liczby. Jeśli w zadaniach znalezienia ułamka liczby podano liczbę i trzeba było znaleźć jakiś ułamek tej liczby, to w tych zadaniach podano ułamek liczby i trzeba było znaleźć samą tę liczbę.
Przejdźmy do rozwiązywania problemów tego typu.
Zadanie 1.
Pierwszego dnia podróżny przeszedł 15 km, co stanowiło 5/8 całej podróży. Jaką odległość musiał pokonać podróżnik?
Zapiszmy krótki warunek:
Cała odległość wynosi 1 (liczba całkowita).
– to jest 15 km
15 km to 5 akcji. Ile kilometrów mieści się w jednym płacie?
Ponieważ cała odległość zawiera 8 takich części, znajdujemy:
3 8 = 24 (km).
Odpowiedź: Podróżny musi przejść 24 km.
Rozwiązanie problemu zapiszmy wyrażeniem: 15:5 · 8 = 24(km) lub 15:5 · 8 = · 8 = = 15= 15:.
Wniosek: Aby znaleźć liczbę na podstawie danej wartości jej ułamka, należy podzielić tę wartość przez ułamek.
Zadanie 2.
Kapitan drużyny koszykówki odpowiada za 0,25 wszystkich punktów zdobytych w meczu. Ile punktów łącznie zdobyła ta drużyna w meczu, jeśli kapitan przyniósł jej 24 punkty?
Całkowita liczba punktów zdobytych przez drużynę wynosi 1 (liczba całkowita).
45% to 9 zeszytów w kwadracie
Ponieważ 45% = 0,45, a 9:0,45 = 20, to kupiliśmy w sumie 20 zeszytów.
Wskazane jest również rozpowszechnianie materiału do konsolidacji w celu utrwalenia nowych sposobów rozwiązywania problemów znajdowania liczby przez jej ułamek na sekcje. W pierwszej części wykonywane są zadania mające na celu utrwalenie nowej reguły, w drugiej analizowane są problemy znalezienia liczby przez jej ułamek, a w trzeciej uczniowie analizują rozwiązanie bardziej złożonych problemów, z których częścią są problemy ze znalezieniem liczba przez jej ułamek.
6) Po wymianie silnika średnia prędkość samolotu wzrosła o 18%? Czyli 68,4 km/h. Jaka była średnia prędkość samolotu z tym samym silnikiem?
1) Długość prostokąta wynosi https://pandia.ru/text/80/420/images/image005_25.gif" szerokość="37" wysokość="73"> całej wiśni, w drugiej 0,4, oraz w trzecim - reszta 20 kg Ile kilogramów wiśni zebrano?
5) Trzej pracownicy wyprodukowali określoną liczbę części. Pierwszy robotnik wyprodukował 0,3 wszystkich części, drugi 0,6 z reszty, a trzeci pozostałe 84 części. Ile części łącznie wykonali robotnicy?
6) Na poletku doświadczalnym poletka zajmowała kapusta, pozostałą powierzchnię zajmowały ziemniaki, a na pozostałych 42 ha obsiano kukurydzą. Znajdź pole całej działki doświadczalnej.
7) Samochód całą podróż pokonał w pierwszej godzinie, pozostałą część w drugiej, a resztę w trzeciej godzinie. Wiadomo, że w trzeciej godzinie przeszedł o 40 km mniej niż w drugiej godzinie. Ile kilometrów przejechał samochód w ciągu tych trzech godzin?
Problemy z ułamkami są ważnym narzędziem w nauczaniu matematyki. Przy ich pomocy studenci zdobywają doświadczenie w pracy z wielkościami ułamkowymi i całkowitymi, rozumieją zależności między nimi oraz zdobywają doświadczenie w stosowaniu matematyki do rozwiązywania problemów praktycznych. Rozwiązywanie problemów ułamkowych rozwija pomysłowość i inteligencję, umiejętność stawiania pytań i odpowiadania na nie oraz przygotowuje uczniów do dalszej edukacji.
nauczyciel matematyki
Liceum MBOU nr 1 Nakhabino
Literatura:
3. Materiały dydaktyczne z matematyki: klasa V: warsztaty/, . – M.: Akademkniga / Podręcznik, 2012.
4. Materiały dydaktyczne z matematyki: klasa VI: warsztaty/, . – M.: Akademkniga/Podręcznik, 2012.
5. Samodzielna i testowa praca z matematyki dla klasy 6. / , . – M.: ILEKSA, 2011.
Klasa: 6
Prezentacje na lekcję
Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Powrót do przodu
Motto do lekcji:
„Ten, kto uczy się sam, odnosi siedem razy większe sukcesy niż ten, któremu wszystko się wyjaśnia” (Arthur Giterman, niemiecki poeta)
Typ lekcji: lekcja dotycząca uczenia się nowego materiału.
Metody: przeszukiwanie częściowe.
Formy: indywidualna, zbiorowa, grupowa, indywidualna.
(Miejsce - 1 lekcja na ten temat)
Rodzaj lekcji: objaśniająca i ilustracyjna
Cel lekcji: wymyślić nowy sposób rozwiązywanie problemów ułamkowych, wzmacnianie umiejętności rozwiązywania problemów.
- usystematyzować rozwiązywanie problemów na części, opracować nową technikę rozwiązywania problemów ze znalezieniem liczby z jej części.
- pomagają rozwijać zainteresowanie uczniów nie tylko treścią, ale także procesem zdobywania wiedzy i poszerzają horyzonty myślowe uczniów. Rozwój myślenia uczniów, mowa matematyczna, motywacyjna sfera osobowości, umiejętności badawcze.
- zaszczepienie w uczniach poczucia satysfakcji z możliwości wykazania się swoją wiedzą na zajęciach. Tworzenie pozytywnej motywacji wśród uczniów do podejmowania działań umysłowych i praktycznych. Kształtowanie odpowiedzialności, organizacji i wytrwałości w rozwiązywaniu zadań.
Wyposażenie: materiały ilustracyjne, prezentacja do lekcji, arkusze z zadaniami do refleksji, podręcznik do matematyki Matematyka. 6. klasa / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. M.: Mnemosyne, 2011.
Plan lekcji:
- Organizowanie czasu.
Podczas zajęć
1. Moment organizacyjny.
(Zadanie dydaktyczne – nastrój psychiczny uczniów)
Witam, proszę usiąść. Informujemy o temacie, celach lekcji i praktycznym znaczeniu tematu.
Celem naszej lekcji jest wymyślenie nowego sposobu rozwiązywania problemów z ułamkami.
2. Aktualizowanie wiedzy podstawowej i jej poprawianie
(Zadanie dydaktyczne polega na przygotowaniu uczniów do pracy na zajęciach. Zapewnienie motywacji uczniów i akceptacji celów, działań edukacyjnych i poznawczych, aktualizacja podstawowej wiedzy i umiejętności).
15; ; 3 6; ; (2; ; 19; c)
Pytania do klasy:
– Jak pomnożyć ułamek przez Liczba naturalna?
– Jak znaleźć iloczyn ułamków?
– Jak znaleźć iloczyn liczby mieszanej i liczby? (wykorzystując rozdzielność mnożenia lub zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy)
– Jak pomnożyć liczby mieszane?
2) :2; V:; :; :; (; ; ; X)
Pytania do klasy:
– Jak podzielić ułamek przez liczbę naturalną?
– Jak podzielić ułamek przez drugi?
– Jak podzielić liczbę mieszaną przez liczbę mieszaną?
Stoliki na zjeżdżalni i podpory na biurkach grupy słabej:
Powtórz algorytmy rozwiązywania problemów ze znalezieniem liczby na podstawie jej części.
1) Odśnieżyliśmy lodowisko o powierzchni 800 m2. Znajdź obszar całego lodowiska.
(800:2 5=2000 m 2)
2) Kubuś Puchatek zebrał z uli x kg miodu, czyli 30% ilości, o której marzył. O jakiej ilości miodu marzył Kubuś Puchatek? (x:30 100)
3) Boa dusiciel dał małpie banany, czyli taką ilość, jaką zawsze dawała. Ile zawsze dawał? (A)
Pytanie do klasy:
– O jakiej zasadzie powinniśmy tu pamiętać?
(Aby znaleźć liczbę przez jej część wyrażoną jako ułamek, możesz podzielić tę część przez licznik i pomnożyć przez mianownik)3. Studiowanie nowego materiału. „Odkrywanie” nowej wiedzy przez dzieci.
(Zadanie dydaktyczne polega na uporządkowaniu i ukierunkowaniu aktywności poznawczej uczniów na określony cel)
Dzisiaj na lekcji spróbujemy znaleźć prostszy sposób rozwiązania problemów związanych ze znalezieniem liczby z jej ułamka. Pomogą nam w tym poznane zasady mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych.
– Zapisz regułę w zeszycie (a = c: m n).
– Zamień znak dzielenia na linię ułamkową i spróbuj zapisać go jako jedną akcję z liczbą „a” i ułamkiem.
N = = w = w:
– Przetłumacz uzyskaną regułę na język matematyczny.
(Aby znaleźć liczbę według jej części, możesz podzielić tę część przez ułamek) Odkrycie. Powtarzali sobie tę zasadę.Teraz pracujcie w parach:
Opcja 1 przekazuje regułę opcji 2, a opcja 2 pierwszej.– Dlaczego ta zasada jest wygodniejsza od poprzedniej? (Problem można rozwiązać za pomocą jednej akcji zamiast
dwa)4. Minuta wychowania fizycznego.
(Zadanie polega na rozładowaniu napięcia)
Znajdź wszystkie kolory tęczy (każdy myśliwy chce wiedzieć, gdzie siedzi bażant). Kolorowe kwadraty są zawieszane w różnych miejscach w klasie. Aby znaleźć odpowiedni kolor, musisz się kręcić. Następnie ćwicz oczy.
Aneks 1.
5. Konsolidacja pierwotna.
(Zadanie dydaktyczne polega na nakłonieniu uczniów do odtworzenia, zrozumienia, wstępnego uogólnienia i usystematyzowania nowej wiedzy. Wzmocnienie metodologii przyszłej odpowiedzi ucznia podczas następnej ankiety)
Konsolidacja pierwotna odbywa się w formie pracy frontalnej i pracy w parach.
(z komentarzem na głos)1) Znajdź liczbę, jeśli wynosi 10.
2) Znajdź liczbę, jeśli 1% wynosi 4.
W piśmie
(z komentowaniem i pisaniem na tablicy i w zeszytach)1) Masza przejechała na nartach 500 m, czyli cały dystans. Jaka jest odległość? (500:=800m)
2) Masa ryb suszonych stanowi 55% masy ryb świeżych. Ile świeżych ryb potrzebujesz? Aby zdobyć 231 kg suszonego mięsa? (231:=420kg)
3) Masa truskawek w pierwszym pudełku jest równa masie truskawek w drugim pudełku. Ile kg truskawek znajdowało się w dwóch pudełkach, jeśli w pierwszym pudełku znajdowało się 24 kg truskawek?
Pracujcie w parach
(praca zespołowa) Napisz wyrażenie opisujące problemy.1) W piękny letni poranek kociak o imieniu Woof zjadł x kiełbasek, które stanowiły jego codzienną dietę. Ile kiełbasek zjada dziennie kociak Woof? (x:=kiełbaski)
2) Nie wiem, przeczytałem 117 stron, co stanowiło 9% magicznej księgi. Ile stron ma magiczna księga? (117:=1300str)
6. Wstępna kontrola zrozumienia tego, czego się nauczyłeś
(w kształcie niezależna praca z sprawdzianem na zajęciach).(Zadanie dydaktyczne– kontrola wiedzy i eliminacja luk w tym temacie)
Zadzwoń po jednej osobie z każdej opcji, po cichu popracują nad skrzydłami deski. Następnie sprawdzamy rozwiązanie.
1 opcja
1) znajdź liczbę, jeśli wynosi 21. (49)
2) znajdź liczbę, jeśli 15% z niej to x. ()
3) znajdź liczbę, jeśli 0,88 równa się 211,2. (240)
Opcja 2
1) znajdź liczbę, jeśli wynosi 24. (64)
2) znajdź liczbę, jeśli 20% z niej to x. (5x)
3) znajdź liczbę, jeśli 0,25 równa się 6,25. (25)
Oceń siebie: ani jednego błędu – „5”; 1 błąd – „4”; Kto więcej błędów- pracować nad błędami.
7. Podsumowanie lekcji.
(Zadanie dydaktyczne– przedstawić analizę i ocenę powodzenia osiągnięcia celu oraz nakreślić perspektywy dalszej pracy). Dzisiaj na zajęciach dokonałeś odkrycia
Wymyślili nowy sposób rozwiązywania problemów z ułamkami, co oznacza, że udało im się to siedem razy częściej, niż gdybym sam ci wszystko powiedział (spójrz jeszcze raz na motto naszej lekcji)
Odbicie.
(Zadanie dydaktyczne - mobilizacja uczniów do refleksji nad swoim zachowaniem, motywacją, sposobami działania, komunikacją).A teraz chłopaki, kontynuujcie zdanie: Dziś na lekcji się nauczyłem... Dziś na lekcji mi się podobało... Dziś na lekcji powtórzyłem... Dziś na lekcji utrwaliłem... Dziś na lekcji oceniłem siebie ... Jakie prace sprawiały trudności i wymagały powtarzania... Z jakiej wiedzy jestem pewien... Czy lekcja pomogła Ci poszerzyć wiedzę, umiejętności, zdolności w temacie... Kto, na czym powinien jeszcze pracować nad...
Jak skuteczna była dzisiejsza lekcja... uśmiechnięty człowieczek, jeśli lekcja się podobała i wszystko się udało, i smutny człowieczek, jeśli coś innego nie wyszło (na biurku wszystkich wiszą zdjęcia z małymi mężczyznami).
6
. Praca domowa(Komentarz, jest zróżnicowany) (Zadanie dydaktyczne - zapewnienie zrozumienia celu, treści i sposobu odrabiania pracy domowej).
Strona 104-105. klauzula 18. nr 680; nr 683; Nr 783(a, b)
Dodatkowe zadanie Nr 656. (dla silnych uczniów).
Dla grupy kreatywnej - wymyśl zadania na nowy temat.
7. Oceny za lekcję.
Wszyscy pracowali sprawnie i z zapałem przyswajali wiedzę. Dzieci! Dziękuję za lekcję.
Na tej lekcji przyjrzymy się rodzajom problemów związanych z ułamkami zwykłymi i procentami. Dowiedzmy się, jak rozwiązać te problemy i dowiedzmy się, z którymi z nich możemy się spotkać prawdziwe życie. Znajdźmy ogólny algorytm rozwiązywania podobnych problemów.
Nie wiemy, jaka była pierwotna liczba, ale wiemy, ile wyszła, gdy wzięliśmy z niej pewien ułamek. Musimy znaleźć oryginał.
To znaczy nie wiemy, ale też wiemy.
Przykład 4
Dziadek spędził na wsi życie, które przepracował 63 lata. Ile lat ma dziadek?
Nie znamy pierwotnej liczby – wieku. Ale wiemy, jaki jest udział i ile lat ma ten udział od wieku. Tworzymy równość. Ma postać równania z niewiadomą. Wyrażamy to i znajdujemy.
Odpowiedź: 84 lata.
Mało realistyczne zadanie. Jest mało prawdopodobne, aby dziadek przekazał takie informacje o latach swojego życia.
Ale następująca sytuacja jest bardzo powszechna.
Przykład 5
Zniżka 5% w sklepie przy użyciu karty. Kupujący otrzymał rabat w wysokości 30 rubli. Jaka była cena zakupu przed obniżką?
Nie znamy oryginalnego numeru - ceny zakupu. Znamy jednak ułamek (procenty zapisane na karcie) i kwotę rabatu.
Stwórzmy naszą standardową linię. Wyrażamy nieznaną ilość i znajdujemy ją.
Odpowiedź: 600 rubli.
Przykład 6
Z tym problemem spotykamy się coraz częściej. Widzimy nie wysokość rabatu, ale jaki jest koszt po zastosowaniu rabatu. Pytanie jednak jest takie samo: ile byśmy zapłacili bez zniżki?
Znów mamy 5% Karta rabatowa. Pokazaliśmy naszą kartę przy kasie i zapłaciliśmy 1140 rubli. Jaki jest koszt bez rabatu?
Aby rozwiązać problem w jednym kroku, przeformułujmy go trochę. Skoro mamy 5% rabatu, to ile zapłacimy od pełnej ceny? 95%.
Oznacza to, że nie znamy pierwotnego kosztu, ale wiemy, że 95% to 1140 rubli.
Stosujemy algorytm. Otrzymujemy koszt początkowy.
3. Strona internetowa „Matematyka w Internecie” ()
Praca domowa
1. Matematyka. 6. klasa/N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2011. Pp. 104-105. klauzula 18. nr 680; nr 683; Nr 783 (a, b)
2. Matematyka. 6. klasa/N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2011. Nr 656.
3. Program szkolnych zawodów sportowych obejmował skok w dal, skok wzwyż oraz bieg. Wszyscy uczestnicy wzięli udział w zawodach biegowych, 30% ogółu uczestników wzięło udział w zawodach skoku w dal, a pozostałych 34 uczniów wzięło udział w zawodach skoku wzwyż. Znajdź liczbę uczestników konkursu.
Ładowanie...