„Wypadki nie są przypadkowe”... Brzmi to tak, jak powiedział filozof, ale w rzeczywistości jest to wielka nauka matematyki, aby studiować losowość. W matematyce teoria przypadku zajmuje się losowością. W artykule zostaną przedstawione formuły i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki.

Czym jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa to jedna z dyscyplin matematycznych zajmująca się badaniem zdarzeń losowych.

Aby było to trochę jaśniejsze, podajmy mały przykład: jeśli rzucisz monetą w górę, może spaść „orzeł” lub „reszka”. Dopóki moneta jest w powietrzu, obie te możliwości są możliwe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji wynosi 1: 1. Jeśli wyciągniesz jedną z talii z 36 kartami, prawdopodobieństwo zostanie oznaczone jako 1:36. Wydawałoby się, że nie ma czego badać i przewidywać, zwłaszcza za pomocą wzorów matematycznych. Niemniej jednak, jeśli powtarzasz daną czynność wiele razy, możesz zidentyfikować pewien wzorzec i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując powyższe, teoria prawdopodobieństwa w sensie klasycznym bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy po raz pierwszy podjęto próby przewidywania wyników gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Opierał się na faktach empirycznych lub właściwościach zdarzenia, które można było odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace z tej dziedziny jako dyscypliny matematycznej pojawiły się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. Przez długi czas studiowali hazard i widzieli pewne wzorce, o których postanowili opowiedzieć opinii publicznej.

Tę samą technikę wynalazł Christian Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził on pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, formuły i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii dyscypliny.

Istotne są również prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Uczynili teorię prawdopodobieństwa bardziej dyscypliną matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań uzyskały swój obecny kształt dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematycznych.

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa. Rozwój

Główną koncepcją tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Istnieją trzy rodzaje wydarzeń:

• Wiarygodny. Te, które i tak się wydarzą (moneta spadnie).
• Niemożliwy. Wydarzenia, które nie wydarzą się w żadnym scenariuszu (moneta pozostanie w powietrzu).
• Losowy. Te, które się wydarzą lub nie. Mogą na nie wpływać różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, to czynniki losowe, które mogą wpłynąć na wynik: fizyczne cechy monety, jej kształt, pozycja początkowa, siła rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach są oznaczone wielkimi literami łacińskimi, z wyjątkiem P, który ma inną rolę. Na przykład:

• A = „uczniowie przyszli na wykład”.
• Ā = "uczniowie nie przyszli na wykład."

W ćwiczeniach praktycznych zwyczajowo zapisuje się wydarzenia słowami.

Jedną z najważniejszych cech wydarzeń jest ich równość szans. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, wszystkie warianty początkowego upadku są możliwe, dopóki nie spadnie. Ale również wydarzenia nie są w równym stopniu możliwe. Dzieje się tak, gdy ktoś konkretnie wpływa na wynik. Na przykład „oznaczone” karty do gry lub kości, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Wydarzenia są również kompatybilne i niekompatybilne. Zgodne wydarzenia nie wykluczają się wzajemnie. Na przykład:

• A = "uczeń przyszedł na wykład".
• B = „student przyszedł na wykład”.

Zdarzenia te są od siebie niezależne, a pojawienie się jednego z nich nie wpływa na wygląd drugiego. Niezgodne zdarzenia są determinowane przez fakt, że pojawienie się jednego wyklucza pojawienie się drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to wypadanie „ogonów” uniemożliwia pojawienie się „orzełków” w tym samym eksperymencie.

Działania na wydarzeniach

Zdarzenia można mnożyć i dodawać, odpowiednio w dyscyplinie wprowadzane są powiązania logiczne „AND” i „LUB”.

Kwota zależy od faktu, że albo zdarzenie A, B, albo dwa mogą wystąpić w tym samym czasie. W przypadku, gdy są niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa, ani A, ani B.

Multiplikacja zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możesz podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Przykłady rozwiązywania problemów dalej.

Ćwiczenie 1: Firma bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

• A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
• A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
• B = „firma otrzyma drugi kontrakt”.
• B 1 = "firma nie otrzyma drugiego kontraktu"
• C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
• C 1 = „firma nie otrzyma trzeciego kontraktu”.

Spróbujmy wyrazić następujące sytuacje za pomocą działań na zdarzeniach:

• K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W postaci matematycznej równanie będzie wyglądać tak: K = ABC.

• M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu”.

M = A 1 B 1 C 1.

Skomplikowanie zadania: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, jaki kontrakt otrzyma firma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest zarejestrowanie całej serii możliwych zdarzeń:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

A 1 BC 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia zostały zarejestrowane odpowiednią metodą. Symbol υ w dyscyplinie oznacza łącze „LUB”. Jeśli przetłumaczymy dany przykład na ludzki język, to firma otrzyma albo trzeci kontrakt, albo drugi, albo pierwszy. Podobnie możesz zapisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą Ci zrobić to samemu.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej matematycznej dyscyplinie prawdopodobieństwo zdarzenia jest centralnym pojęciem. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństw. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (stopień 9) wykorzystują głównie klasyczną definicję, która brzmi tak:

• Prawdopodobieństwo wystąpienia sytuacji A jest równe stosunkowi liczby skutków sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych skutków.

Wzór wygląda tak: P (A) = m / n.

A jest właściwie wydarzeniem. Jeśli istnieje przypadek przeciwny do A, można go zapisać jako Ā lub A 1.

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się zdarzyć.

Na przykład A = „dobierz kartę w kolorze serca”. W standardowej talii znajduje się 36 kart, z czego 9 to kiery. W związku z tym wzór na rozwiązanie problemu będzie wyglądał następująco:

P (A) = 9/36 = 0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze serca, wynosi 0,25.

W kierunku wyższej matematyki

Teraz mało wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania zadań, które pojawiają się w szkolnym programie nauczania. Jednak teorię prawdopodobieństwa można znaleźć również w matematyce wyższej, której naucza się na uniwersytetach. Najczęściej operują one geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi formułami.

Bardzo interesująca jest teoria prawdopodobieństwa. Lepiej zacząć naukę wzorów i przykładów (wyższej matematyki) od małych - ze statystyczną (lub częstotliwościową) definicją prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z klasycznym, ale nieco je rozszerza. Jeżeli w pierwszym przypadku konieczne było ustalenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie należy wskazać, jak często będzie ono występować. Wprowadzamy tutaj nowe pojęcie „częstotliwość względna”, którą można oznaczyć jako W n (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeśli do prognozowania oblicza się formułę klasyczną, to statystyczną - zgodnie z wynikami eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza produkty pod kątem jakości. Spośród 100 produktów 3 okazały się złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Tak więc częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wziąłeś 97? Spośród 100 pozycji, które sprawdziliśmy, 3 okazały się złej jakości. Od 100 odejmujemy 3, otrzymujemy 97, to jest ilość towarów wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inna metoda teorii prawdopodobieństwa nazywa się kombinatoryką. Jego podstawową zasadą jest to, że jeśli pewnego wyboru A można dokonać na m różnych sposobów, a wyboru B można dokonać na n różnych sposobów, to wyboru A i B można dokonać przez mnożenie.

Na przykład istnieje 5 dróg prowadzących z miasta A do miasta B. Istnieją 4 drogi z miasta B do miasta C. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4 = 20, czyli z punktu A do punktu C można przejść na dwadzieścia różnych sposobów.

Skomplikujmy zadanie. Na ile sposobów można grać w karty w pasjansie? W talii jest 36 kart - to jest punkt wyjścia. Aby poznać liczbę sposobów, musisz „odjąć” jedną kartę od punktu początkowego i pomnożyć.

Czyli 36x35x34x33x32 ... x2x1 = wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc możesz go po prostu oznaczyć jako 36 !. Znak "!" obok liczby wskazuje, że cały ciąg liczb jest mnożony między sobą.

W kombinatoryce istnieją pojęcia takie jak permutacje, rozmieszczenie i kombinacje. Każdy z nich ma swoją formułę.

Uporządkowany zestaw elementów w zestawie nazywany jest układem. Miejsca docelowe mogą być powtarzalne, to znaczy, że jeden element może być użyty wielokrotnie. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy uczestniczące w rozmieszczeniu. Wzór na umieszczenie bez powtórzeń byłby następujący:

A n m = n! / (N-m)!

Połączenia n elementów, które różnią się tylko kolejnością umieszczania, nazywane są permutacjami. W matematyce jest to: P n = n!

Kombinacje n pierwiastków przez m nazywane są takimi związkami, w których ważne jest, jakie to były pierwiastki i jaka była ich całkowita liczba. Formuła będzie wyglądać tak:

A n m = n! / M! (N-m)!

Wzór Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak w każdej dyscyplinie, znajdują się prace wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy przenieśli ją na nowy poziom. Jedną z tych prac jest formuła Bernoulliego, która pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że pojawienie się A w eksperymencie nie zależy od pojawienia się lub niewystępowania tego samego zdarzenia w poprzednich lub późniejszych testach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) jest niezmienne dla każdego testu. Prawdopodobieństwo, że sytuacja wystąpi dokładnie m razy w liczbie n eksperymentów zostanie obliczone z przedstawionego powyżej wzoru. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi odpowiednio p razy, może nie wystąpić. Jeden to liczba używana do oznaczenia wszystkich wyników sytuacji w dyscyplinie. Dlatego q jest liczbą oznaczającą możliwość nie zajścia zdarzenia.

Teraz znasz wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa). W dalszej części rozważymy przykłady rozwiązywania problemów (poziom pierwszy).

Zadanie 2: Odwiedzający sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. 6 odwiedzających weszło do sklepu niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego lub wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokonuje zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). W związku z tym q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m zmieni się z 0 (żaden klient nie dokona zakupu) na 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak jeszcze stosuje się wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązywania problemów (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania o to, gdzie zniknęły C i p. W odniesieniu do p liczba do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można go znaleźć wzorem:

C n m = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C = 1, co w zasadzie nie wpływa na wynik. Korzystając z nowej formuły, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo zakupu towarów przez dwóch odwiedzających.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest aż tak skomplikowana. Bezpośrednim tego dowodem jest formuła Bernoulliego, której przykłady przedstawiono powyżej.

Wzór Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania mało prawdopodobnych sytuacji losowych.

Podstawowa formuła:

P n (m) = λ m / m! ×e (-λ).

Ponadto λ = n x p. Oto taki prosty wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). W dalszej części rozważymy przykłady rozwiązywania problemów.

Zadanie 3: Fabryka wyprodukowała części w ilości 100 000 sztuk. Występowanie wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać, małżeństwo jest mało prawdopodobnym wydarzeniem, dlatego do obliczeń stosuje się wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego typu problemów nie odbiegają w żaden sposób od innych zadań dyscypliny, niezbędne dane podstawiamy w podanym wzorze:

A = "losowo wybrana część będzie uszkodzona."

p = 0,0001 (w zależności od stanu zadania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (wadliwe części). Podstawiamy dane do formuły i otrzymujemy:

P 100000 (5) = 10 5/5! Xe-10 = 0,0375.

Podobnie jak wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązań, z którymi napisano powyżej, równanie Poissona ma nieznane e. W rzeczywistości można je znaleźć za pomocą wzoru:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości m.in.

Twierdzenie Moivre'a-Laplace'a

Jeżeli liczba testów w schemacie Bernoulliego jest wystarczająco duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich schematach jest takie samo, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określoną liczbę razy w serii testów można znaleźć wzorem formuła Laplace'a:

Р n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Aby lepiej zapamiętać wzór Laplace'a (teoria prawdopodobieństwa), przykłady problemów, które pomogą Ci poniżej.

Najpierw znajdujemy X m, podstawiamy dane (wszystkie są wskazane powyżej) do wzoru i otrzymujemy 0,025. Korzystając z tabel znajdujemy liczbę ϕ (0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz podstawić wszystkie dane we wzorze:

R 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że ulotka wystrzeli dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Wzór Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązywania problemów za pomocą których zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia w oparciu o okoliczności, które mogą być z nim związane. Podstawowa formuła wygląda tak:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A i B to określone zdarzenia.

P (A | B) - prawdopodobieństwo warunkowe, czyli zdarzenie A może wystąpić pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

P (B | A) - warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia B.

Tak więc ostatnią częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, przykłady rozwiązań problemów, z którymi poniżej.

Zadanie 5: Do magazynu przywieziono telefony z trzech firm. Jednocześnie część telefonów, które są produkowane w pierwszej fabryce to 25%, w drugiej 60%, w trzeciej 15%. Wiadomo też, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej - 4%, aw trzeciej - 1%. Konieczne jest ustalenie prawdopodobieństwa, że ​​losowo wybrany telefon okaże się wadliwy.

A = "losowo wybrany telefon".

B 1 - telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę. W związku z tym pojawią się wejścia B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1) = 25% / 100% = 0,25; P (B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - w ten sposób znaleźliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwa pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P (A / B 1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B 2) = 0,04;

P (A / B 3) = 0,01.

Teraz podłączamy dane do formuły Bayesa i otrzymujemy:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artykuł przedstawia teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej ogromnej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie zadanie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Zwykłej osobie trudno jest odpowiedzieć, lepiej zapytać osobę, która z jej pomocą trafiła w dziesiątkę więcej niż jeden raz.

2.1. Wybór aparatu matematycznego teorii niezawodności

Powyższa definicja niezawodności jest wyraźnie niewystarczająca, gdyż ma charakter wyłącznie jakościowy i nie pozwala na rozwiązanie różnych problemów inżynierskich w procesie projektowania, wytwarzania, testowania i eksploatacji statków powietrznych. W szczególności nie pozwala na rozwiązywanie tak ważnych zadań jak np.:

Ocenić niezawodność (niezawodność, odzyskiwalność, konserwację, dostępność i trwałość) istniejących i nowo tworzonych konstrukcji;

Porównaj niezawodność różnych typów elementów i systemów;

Oceń skuteczność naprawy wadliwego statku powietrznego;

uzasadnić plany napraw i skład części zamiennych wymaganych do wsparcia planów lotu;

Określ wielkość, częstotliwość, koszt wykonania przygotowań do lotu, rutynowej obsługi technicznej oraz całego zakresu obsługi;

Określ koszt czasu, pieniędzy i środków potrzebnych na naprawę wadliwych urządzeń technicznych.

Trudność w określeniu ilościowych charakterystyk niezawodności wynika z samej natury uszkodzeń, z których każda jest wynikiem zbiegu szeregu niekorzystnych czynników, takich jak np. przeciążenia, lokalne odchylenia od projektowych trybów pracy elementów i systemów, wady materiałowe, zmiany warunków zewnętrznych itp. związki przyczynowe o różnym stopniu i różnym charakterze, powodujące nagłe koncentracje obciążeń przekraczające obciążenie projektowe.

Awarie sprzętu lotniczego zależą od wielu przyczyn, które można wstępnie ocenić z punktu widzenia ich czytelności jako pierwotnej lub wtórnej. Umożliwia to uznanie liczby uszkodzeń i czasu ich wystąpienia 1 za zmienne losowe, czyli wielkości, które w zależności od przypadku mogą przybierać różne wartości, dla których wcześniej nie było wiadomo.

Ustalenie zależności ilościowych klasycznie - III metody w tak trudnej sytuacji jest praktycznie niemożliwe - 1k 11, gdyż liczne drugorzędne czynniki losowe odgrywają tak wyraźną rolę, że nie sposób wyróżnić pierwszych głównych czynników spośród wielu innych. Ponadto zastosowanie wyłącznie klasycznych metod badawczych, opartych na namyśle, zamiast fenomenu jego wybaczonego i wyidealizowanego modelu, zbudowanego na koncie. Jeśli tylko główne czynniki i zaniedbanie drugorzędnych, to zawsze daje właściwy wynik.

Teoria prawdopodobieństwa i ma - | Statystyki Semn w nicheskaya - nauki badające regularność - III w zjawiskach losowych, aw niektórych przypadkach nawet do - IIі> '111) 110111110 metod klasycznych.

Do sieci tych metod należy przypisać następujące metody:

I) ciaiin'iirnch'kiiie metody, bez ujawniania osoby i przyczyn kiepskiej odmowy, ustanawiają zamiast

……… i. i pvniiiiiH io PC iyiii. і.іga masowa eksploatacja z

Młyn …………. (ІКНІМО (gra І noszenie) w WARUNKACH

"in in hi" to ich przyczyny;

„І” w nich) nі і ii’ii kii metod uzyskanych wyników

1 „……… a ich poszukiwania i mleczność odpowiadają wszystkim

1 .. пік »pkarn. w. iK pod względem eksploatacji, a nie taki czy inny rozpowszechniony i wysoce uproszczony schemat; m І..І na podstawie masowych obserwacji pojawienia się zapalenia ucha. czerwca i możliwe jest zidentyfikowanie ogólnych wzorców, których analiza inżynierska otwiera drogę do zwiększenia stopnia zużycia PNDI techniki lotniczej w procesie jej tworzenia i utrzymania na danym poziomie w procesie eksploatacji.

Wskazane zalety tego aparatu matematycznego sprawiają, że jest on jak dotąd jedynym możliwym do zaakceptowania w badaniach niezawodności techniki lotniczej. Jednocześnie w praktyce należy liczyć się z określonymi ograniczeniami, nagrodami

niezbędne do metod statystycznych, które nie mogą odpowiedzieć na pytanie, czy dane urządzenie techniczne będzie działać bezawaryjnie w interesującym nas okresie, czy nie. Metody te pozwalają jedynie na określenie prawdopodobieństwa bezawaryjnej eksploatacji takiego czy innego sprzętu lotniczego oraz ocenę ryzyka wystąpienia awarii w interesującym nas okresie eksploatacji.

Uzyskane statystycznie wnioski są zawsze oparte na przeszłych doświadczeniach w eksploatacji techniki lotniczej, dlatego ocena przyszłych awarii będzie rygorystyczna tylko wtedy, gdy cały zakres warunków pracy (tryby pracy, warunki przechowywania) pokrywają się wystarczająco dokładnie.

Do analizy i oceny zdolności wyprowadzania i gotowości sprzętu lotniczego do lotu stosuje się również te metody, wykorzystując prawa teorii kolejek, a zwłaszcza niektóre działy teorii wyprowadzania.

1.2. Obszary teorii prawdopodobieństwa

Metody teorii prawdopodobieństwa są szeroko stosowane w różnych gałęziach nauk przyrodniczych i technologii:

 w teorii niezawodności,

 teoria kolejek,

Fizyka teoretyczna,

 geodezja,

Astronomia,

teoria strzelania,

 teoria błędów obserwacji,

 teoria automatycznego sterowania,

 ogólna teoria komunikacji oraz w wielu innych naukach teoretycznych i stosowanych.

Teoria prawdopodobieństw służy również uzasadnieniu statystyki matematycznej i stosowanej, która z kolei jest wykorzystywana w planowaniu i organizacji produkcji, analizie procesów technologicznych, kontroli prewencyjnej i akceptacyjnej jakości produktów oraz w wielu innych celach.

W ostatnich latach metody rachunku prawdopodobieństwa coraz bardziej przenikały do ​​różnych dziedzin nauki i techniki, przyczyniając się do ich postępu.

1.3. Krótkie tło historyczne

Pierwsze prace, w których narodziły się podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, były próbami stworzenia teorii hazardu (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat i inni w XVI-XVII w.).

Kolejny etap rozwoju teorii prawdopodobieństwa wiąże się z nazwiskiem Jacoba Bernoulli (1654-1705). Udowodnione przez niego twierdzenie, które później otrzymało nazwę „Prawo wielkich liczb”, było pierwszym teoretycznym uzasadnieniem wcześniej zgromadzonych faktów.

Kolejne sukcesy teoria prawdopodobieństwa zawdzięcza Moivre'owi, Laplace'owi, Gaussowi, Poissonowi itp. Nowy, najbardziej owocny okres związany jest z nazwiskami P.L.... Lapunow (1857 - 1918). W tym okresie teoria prawdopodobieństwa staje się harmonijną nauką matematyczną. Jego późniejszy rozwój wynika przede wszystkim z rosyjskich i sowieckich matematyków (S.N.Bernshtein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov itp. ).

1.4. Próby i wydarzenia. Rodzaje wydarzeń

Podstawowymi pojęciami teorii prawdopodobieństwa są pojęcie zdarzenia elementarnego oraz pojęcie przestrzeni zdarzeń elementarnych. Powyżej zdarzenie nazywane jest losowym, jeśli po spełnieniu określonego zestawu warunków S może się zdarzyć, ale nie musi. Poniżej zamiast mówić „zestaw warunków” S przeprowadzone ”, powiemy krótko:„ test został przeprowadzony ”. Tym samym wydarzenie będzie traktowane jako wynik testu.

Definicja. Przez losowe wydarzenie każdy fakt, który może lub nie może wystąpić w wyniku doświadczenia, nazywa się.

Co więcej, ten lub inny wynik doświadczenia można uzyskać z różnym stopniem możliwości. Oznacza to, że w niektórych przypadkach możemy powiedzieć, że jedno wydarzenie prawie na pewno się wydarzy, a drugie prawie nigdy.

Definicja. Przestrzeń wyników elementarnychΩ to zbiór zawierający wszystkie możliwe wyniki danego eksperymentu losowego, z których dokładnie jeden występuje w eksperymencie. Elementy tego zestawu to podstawowe wyniki i oznaczony literą ω ( „omega”).

Wtedy zdarzenia nazywane są podzbiorami zbioru Ω. Mówią, że w wyniku eksperymentu wystąpiło zdarzenie A Ω, jeśli w eksperymencie wystąpił jeden z elementarnych wyników zawartych w zbiorze A.

Dla uproszczenia przyjmiemy, że liczba zdarzeń elementarnych jest skończona. Podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym. W wyniku testu zdarzenie to może, ale nie musi wystąpić (trzy punkty odpadają podczas rzucania kostką, rozmowy telefonicznej w danym momencie itp.).

Przykład 1. Strzelec strzela do tarczy podzielonej na cztery obszary. Strzał to test. Trafienie w określony obszar docelowy jest wydarzeniem.

Przykład 2. W urnie znajdują się kolorowe kulki. Jedna piłka jest losowo pobierana z urny. Wyjęcie kuli z urny to test. Pojawienie się kuli określonego koloru jest wydarzeniem.

W modelu matematycznym można przyjąć pojęcie zdarzenia jako zdarzenia początkowego, które nie ma definicji i które charakteryzuje się jedynie swoimi właściwościami. Opierając się na prawdziwym znaczeniu pojęcia wydarzenia, możesz zdefiniować różne rodzaje wydarzeń.

Definicja. Zdarzenie losowe nazywa się wiarygodny jeśli nastąpi to celowo (spadek z jednego do sześciu punktów podczas rzucania kostką), oraz niemożliwy, jeśli oczywiście nie może nastąpić w wyniku eksperymentu (utrata siedmiu punktów podczas rzucania kostką). W tym przypadku zdarzenie wiarygodne zawiera wszystkie punkty przestrzeni zdarzeń elementarnych, a zdarzenie niemożliwe nie zawiera ani jednego punktu tej przestrzeni.

Definicja. Nazywa się dwa zdarzenia losowe niespójny jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie z tym samym wynikiem testu. Ogólnie rzecz biorąc, nazywana jest dowolna liczba zdarzeń niespójny jeśli pojawienie się jednego z nich wyklucza pojawienie się innych.

Klasycznym przykładem niespójnych zdarzeń jest wynik rzutu monetą – wypadnięcie awersu wyklucza wypadnięcie odwrotnej strony (w tym samym eksperymencie).

Inny przykład — część została losowo usunięta ze skrzynki z częściami. Wygląd części znormalizowanej eliminuje wygląd części niestandardowej. Zdarzenia „pojawiła się część standardowa” i „pojawiła się część niestandardowa” są niespójne.

Definicja. Forma kilku wydarzeń pełna grupa jeśli przynajmniej jeden z nich pojawi się w wyniku testu.

Innymi słowy, pojawienie się przynajmniej jednego z wydarzeń całej grupy jest wydarzeniem wiarygodnym. W szczególności, jeśli zdarzenia tworzące kompletną grupę są niespójne parami, w wyniku testu pojawi się jedno i tylko jedno z tych zdarzeń. Ten konkretny przypadek jest najbardziej interesujący, ponieważ jest używany poniżej.

Przykład. Zakupiono dwa losy na loterię pieniężną. Na pewno wydarzy się jedno i tylko jedno z następujących zdarzeń: „wygrana padła na pierwszy kupon i nie padła na drugi”, „wygrana nie padła na pierwszy kupon i spadła na drugi”, „wygrana padła na obu kuponach", "na obu kuponach wygrana nie odpadła." Te zdarzenia tworzą kompletną grupę niekompatybilnych parami zdarzeń.

Przykład. Strzelec oddał strzał do tarczy. Na pewno wydarzy się jedno z następujących dwóch wydarzeń: trafienie, pudło. Te dwa niezgodne zdarzenia tworzą kompletną grupę.

Przykład. Jeśli jedna bila zostanie wyjęta losowo z pudełka zawierającego tylko bile czerwoną i zieloną, pojawienie się białej bili wśród wyjętych bil jest wydarzeniem niemożliwym. Pojawienie się czerwieni i pojawienie się zielonych kulek tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Definicja. Zdarzenia nazywane są równie możliwymi, jeśli istnieją powody, by sądzić, że żadne z nich nie jest bardziej możliwe niż inne.

Przykład. Pojawienie się „herbu” i pojawienie się napisu podczas rzucania monetą są równie możliwymi zdarzeniami. Rzeczywiście przyjmuje się, że moneta jest wykonana z jednorodnego materiału, ma regularny cylindryczny kształt, a obecność bicia nie wpływa na opadanie jednej lub drugiej strony monety.

Przykład. Równie możliwymi zdarzeniami są pojawienie się takiej lub innej liczby punktów na rzuconych kostkach. Rzeczywiście przyjmuje się, że kostka wykonana jest z jednorodnego materiału, ma kształt regularnego wielościanu, a obecność okularów nie wpływa na opadanie żadnej twarzy.

W powyższym przykładzie z kulkami pojawienie się czerwonych i zielonych kulek jest równie możliwymi zdarzeniami, jeśli pudełko zawiera taką samą liczbę czerwonych i zielonych kulek. Jeśli w pudełku jest więcej czerwonych kulek niż zielonych, to pojawienie się zielonej kuli jest zdarzeniem mniej prawdopodobnym niż pojawienie się czerwonej.

Zaktualizowano 12.09.2009

Mała wycieczka do historii zastosowania teorii prawdopodobieństwa w praktyce.

Do końca XVIII wieku statystyka stosowana, bez której rachunkowość i kontrola państwowa jest nie do pomyślenia, a zatem istniała od dawna, miała elementarny, czysto arytmetyczny charakter. Teoria prawdopodobieństwa pozostała dyscypliną czysto akademicką, a jedynie hazard działał jako jej stosunkowo złożone „zastosowania”. Udoskonalenie technologii produkcji kostek w XVIII wieku pobudziło rozwój teorii prawdopodobieństwa. Gracze nieświadomie zaczęli przeprowadzać powtarzalne eksperymenty na masową skalę, ponieważ kostki stały się tym samym, standardem. Dało to początek przykładowi tego, co później nazwano „eksperymentem statystycznym” — eksperymentem, który można powtarzać nieograniczoną liczbę razy w tych samych warunkach.

W XIX i XX wieku teoria prawdopodobieństwa przenika najpierw do nauki (astronomia, fizyka, biologia), potem do praktyki (rolnictwo, przemysł, medycyna), a wreszcie, po wynalezieniu komputerów, do codziennego życia każdego człowieka korzystającego z nowoczesnych sposoby odbierania i przekazywania informacji Prześledźmy główne etapy.

1. Astronomia.

To na użytek astronomii opracowano słynną „metodę najmniejszych kwadratów” (Legendre 1805, Gauss 1815).Głównym problemem, dla którego została ona pierwotnie zastosowana, było obliczenie orbit komet, które musiało być wykonane na małej liczba obserwacji. Oczywiste jest, że trudno jest wiarygodnie określić rodzaj orbity (elipsa lub hiperbola) i dokładnie obliczyć jej parametry, ponieważ orbita jest obserwowana tylko na niewielkim obszarze. Metoda okazała się skuteczna, wszechstronna i wywołała gorącą debatę na temat priorytetu. Zaczęto go stosować w geodezji i kartografii. Teraz, gdy zatracono sztukę ręcznych obliczeń, trudno sobie wyobrazić, że kompilując mapy oceanów świata w latach 80. XIX wieku w Anglii, zastosowano metodę najmniejszych kwadratów do numerycznego rozwiązania układu składającego się z około 6000 równań z kilkoma sto niewiadomych.

W drugiej połowie XIX wieku mechanika statystyczna została rozwinięta w pracach Maxwella, Boltzmanna i Gibbsa, opisujących stan rozrzedzonych układów zawierających ogromną liczbę cząstek (rzędu liczby Avogadro). O ile wcześniej pojęcie rozkładu zmiennej losowej wiązało się głównie z rozkładem błędów pomiarowych, o tyle teraz rozkład okazał się bardzo różnymi wielkościami – prędkością, energią, średnią drogą swobodną.

3. Biometria.

W latach 1870-1900 belgijski Quetelet oraz Brytyjczycy Francis Galton i Carl Pearson założyli nowy kierunek naukowy - biometrię, w którym po raz pierwszy zaczęto systematycznie i ilościowo badać nieskończoną zmienność organizmów żywych i dziedziczenie cech ilościowych. Do obiegu naukowego zostały wprowadzone nowe pojęcia - regresja i korelacja.

Tak więc do początku XX wieku główne zastosowania teorii prawdopodobieństwa wiązały się z badaniami naukowymi. Wprowadzenie do praktyki - rolnictwa, przemysłu, medycyny - miało miejsce w XX wieku.

4. Rolnictwo.

Na początku XX wieku w Anglii postawiono zadanie ilościowego porównania efektywności różnych metod rolniczych. Aby rozwiązać ten problem, opracowano teorię planowania eksperymentów i analizę wariancji. Główna zasługa w rozwoju tego już czysto praktycznego zastosowania statystyki należy do Sir Ronalda Fishera, astronoma (!) Z wykształcenia, a później rolnika statystyki, genetyki, prezesa Angielskiego Towarzystwa Królewskiego. Nowoczesna statystyka matematyczna, nadająca się do szerokiego zastosowania w praktyce, została opracowana w Anglii (Carl Pearson, Student, Fisher). Student jako pierwszy rozwiązał problem szacowania nieznanego parametru rozkładu bez zastosowania podejścia bayesowskiego.

5. Przemysł. Wprowadzenie metod kontroli statystycznej w produkcji (karty kontrolne Shewharta). Zmniejszenie liczby wymaganych testów jakości produktu. Metody matematyczne są już tak ważne, że zaczęto je klasyfikować. Dlatego dopiero po zakończeniu II wojny światowej w 1947 roku ukazała się książka opisująca nową technikę, która pozwoliła na zmniejszenie liczby testów ("Analiza sekwencyjna" Walda).

6. Medycyna. Powszechne stosowanie metod statystycznych w medycynie rozpoczęło się stosunkowo niedawno (druga połowa XX wieku). Opracowanie skutecznych metod leczenia (antybiotyki, insulina, skuteczne znieczulenie, sztuczne krążenie) wymagało wiarygodnych metod oceny ich skuteczności. Pojawiła się nowa koncepcja „Medycyna oparta na faktach”. Zaczęło się rozwijać bardziej formalne, ilościowe podejście do leczenia wielu schorzeń – wprowadzenie protokołów, wytycznych.

Od połowy lat osiemdziesiątych pojawił się nowy i ważny czynnik, który zrewolucjonizował wszystkie zastosowania teorii prawdopodobieństwa - powszechne stosowanie szybkich i niedrogich komputerów. Można odczuć ogrom rewolucji, jaka miała miejsce, jeśli weźmiemy pod uwagę, że jeden (!) nowoczesny komputer osobisty przewyższa szybkością i pamięcią wszystkie (!) komputery ZSRR i USA, które były dostępne w 1968 roku, kiedy projekty związane z budową elektrowni jądrowych były już realizowane, loty na Księżyc, stworzenie bomby termojądrowej. Teraz, poprzez bezpośrednie eksperymentowanie, możesz uzyskać wyniki, które były wcześniej niedostępne – myślenie o czymś nie do pomyślenia.

7. Bioinformatyka. Od lat 80. liczba znanych sekwencji białek i kwasów nukleinowych gwałtownie wzrosła. Ilość zgromadzonych informacji jest taka, że ​​tylko komputerowa analiza tych danych może rozwiązać problem ekstrakcji informacji.

8. Rozpoznawanie obrazów.

Wstęp

Przypadek, przypadek – spotykamy się z nimi codziennie: przypadkowe spotkanie, przypadkowa awaria, przypadkowe znalezisko, przypadkowa pomyłka. Ta seria może być kontynuowana bez końca. Wydawałoby się, że nie ma tu miejsca na matematykę, ale i tu nauka odkryła ciekawe wzorce – pozwalają czuć się pewnie w obliczu zdarzeń losowych.
Teorię prawdopodobieństwa można zdefiniować jako gałąź matematyki, która bada wzorce nieodłącznie związane ze zdarzeniami losowymi. Metody teorii prawdopodobieństwa znajdują szerokie zastosowanie w matematycznym przetwarzaniu wyników pomiarów, a także w wielu problemach ekonomii, statystyki, biznesu ubezpieczeniowego i kolejek. Nietrudno więc domyślić się, że teoria prawdopodobieństwa znajduje bardzo szerokie zastosowanie również w lotnictwie.
Moja przyszła praca doktorska będzie związana z nawigacją satelitarną. Nie tylko w nawigacji satelitarnej, ale także w tradycyjnych środkach nawigacji, teoria prawdopodobieństwa znalazła bardzo szerokie zastosowanie, ponieważ większość cech operacyjnych i technicznych sprzętu radiowego jest ilościowo wyrażona przez prawdopodobieństwo.

1. Historia pochodzenia

Teraz już trudno ustalić, kto pierwszy podniósł, choć w niedoskonałej formie, pytanie o możliwość ilościowego pomiaru możliwości zajścia zdarzenia losowego. Jedno jest pewne, że mniej lub bardziej satysfakcjonująca odpowiedź na to pytanie zajęła dużo czasu i sporych wysiłków wielu pokoleń wybitnych badaczy. Przez długi czas badacze ograniczali się do rozważania różnego rodzaju gier, zwłaszcza gier w kości, ponieważ ich badanie pozwala ograniczyć się do prostych i przejrzystych modeli matematycznych. Należy jednak zauważyć, że wielu bardzo dobrze rozumiało to, co później sformułował Christian Huygens: „...Uważam, że po dokładnym przestudiowaniu tematu czytelnik zauważy, że ma do czynienia nie tylko z grą, ale że Tutaj kładzione są podwaliny pod bardzo ciekawą i głęboką teorię.”
Zobaczymy, że w dalszym rozwoju teorii prawdopodobieństwa ważną rolę odegrały głębokie rozważania zarówno o charakterze przyrodniczo-naukowym, jak i ogólnofilozoficznym. Trend ten trwa do dziś: nieustannie obserwujemy, jak kwestie praktyczne – naukowe, przemysłowe, obronne – stawiają nowe problemy teorii prawdopodobieństwa i prowadzą do konieczności poszerzania arsenału idei, pojęć i metod badawczych.
Rozwój teorii prawdopodobieństwa, a wraz z nią rozwój pojęcia prawdopodobieństwa można podzielić na następujące etapy.
1. Prehistoria teorii prawdopodobieństwa. W tym okresie, którego początek ginie w wiekach, stawiano i rozwiązywano elementarne problemy, które później odniesiono do teorii prawdopodobieństwa. W tym okresie nie powstają żadne specjalne metody. Okres ten kończy się na twórczości Cardano, Pacioli, Tartaglia i innych.
Spotykamy się z koncepcjami probabilistycznymi w starożytności. U Demokryta, Lukrecjusza Kara i innych starożytnych naukowców i myślicieli mamy głębokie przepowiednie dotyczące struktury materii z nieuporządkowanym ruchem małych cząstek (cząsteczek), wnioskowanie o równie możliwych wynikach itp. Już w starożytności podejmowano próby zbierania i analizowania niektórych materiałów statystycznych – wszystko to (a także inne przejawy zwracania uwagi na zjawiska losowe) stworzyło podstawę do rozwoju nowych koncepcji naukowych, w tym pojęcia prawdopodobieństwa. Ale starożytna nauka nie osiągnęła punktu wyizolowania tego pojęcia.
W filozofii pytanie o to, co przypadkowe, konieczne i możliwe, było zawsze jednym z głównych. Rozwój filozoficzny tych problemów wpłynął również na ukształtowanie się pojęcia prawdopodobieństwa. Generalnie w średniowieczu próby osłabienia napotkanego rozumowania probabilistycznego są jedynie rozproszone.
W pracach Pacioliego, Tartaglii i Cardano próbuje się już wyeksponować nową koncepcję – iloraz szans – przy rozwiązywaniu szeregu konkretnych problemów, przede wszystkim kombinatorycznych.
2. Pojawienie się teorii prawdopodobieństwa jako nauki. Do połowy XVII wieku. Zagadnienia probabilistyczne i problemy pojawiające się w praktyce statystycznej, w praktyce zakładów ubezpieczeń, w przetwarzaniu wyników obserwacji oraz w innych dziedzinach przyciągnęły uwagę naukowców, ponieważ stały się tematami aktualnymi. Okres ten kojarzy się przede wszystkim z imionami Pascal, Fermat i Huygens. W tym okresie rozwijane są określone pojęcia, takie jak oczekiwanie matematyczne i prawdopodobieństwo (jako iloraz szans), ustalane i wykorzystywane są pierwsze własności prawdopodobieństwa: twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw. W tej chwili twierdzenie prawdopodobieństwa znajduje zastosowanie w branży ubezpieczeniowej, demografii, w ocenie błędów obserwacji, szeroko posługując się pojęciem prawdopodobieństwa.
3. Następny okres rozpoczyna się wraz z pojawieniem się pracy Bernoulliego „Sztuka założeń” (1713), w której po raz pierwszy udowodniono pierwsze twierdzenie graniczne – najprostszy przypadek prawa wielkich liczb. Do tego okresu, który trwał do połowy XIX w., należą prace Moivre'a, Laplace'a, Gaussa i innych.W centrum uwagi znajdują się wówczas twierdzenia graniczne. Teoria prawdopodobieństwa zaczęła być szeroko stosowana w różnych dziedzinach nauk przyrodniczych. I choć w tym okresie zaczynają być stosowane różne pojęcia prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwo geometryczne, prawdopodobieństwo statystyczne), dominującą pozycję zajmuje klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
4. Kolejny okres w rozwoju teorii prawdopodobieństwa związany jest przede wszystkim z petersburską szkołą matematyczną. Przez dwa wieki rozwoju teorii prawdopodobieństwa jej głównymi osiągnięciami były twierdzenia graniczne, ale nie wyjaśniono granic ich stosowania i możliwości dalszego uogólniania. Wraz z sukcesami zidentyfikowano również istotne braki w jego uzasadnieniu, wyrażające się w niewystarczająco jasnym zrozumieniu prawdopodobieństwa. W teorii prawdopodobieństwa powstała sytuacja, w której jej dalszy rozwój wymagał doprecyzowania podstawowych zapisów, wzmocnienia samych metod badawczych.
Dokonała tego rosyjska szkoła matematyczna kierowana przez Czebyszewa. Wśród jego największych przedstawicieli są Markow i Lapunow.
W tym okresie teoria prawdopodobieństwa zawiera oszacowania aproksymacji twierdzeń granicznych, a także rozszerzenie klasy zmiennych losowych spełniających twierdzenia graniczne. W tej chwili niektóre zależne zmienne losowe (łańcuchy Markowa) zaczynają być brane pod uwagę w teorii prawdopodobieństwa. W teorii prawdopodobieństwa pojawiają się nowe pojęcia, takie jak teoria funkcji charakterystycznych, teoria momentów itp. I pod tym względem upowszechniła się w naukach przyrodniczych, przede wszystkim dotyczy fizyki. W tym okresie powstała fizyka statystyczna. Ale to wprowadzenie do fizyki metod i pojęć probabilistycznych daleko odbiegało od osiągnięć teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwa stosowane w fizyce nie były dokładnie takie same jak w matematyce. Dotychczasowe koncepcje prawdopodobieństwa nie odpowiadały potrzebom nauk przyrodniczych, w wyniku czego zaczęły powstawać różne interpretacje prawdopodobieństwa, które trudno było sprowadzić do jednej definicji.
Rozwój teorii prawdopodobieństwa na początku XIX wieku. Doprowadziło to do konieczności zrewidowania i doprecyzowania jego logicznych podstaw, przede wszystkim pojęcia prawdopodobieństwa. Wymagało to rozwoju fizyki i zastosowania w niej pojęć probabilistycznych oraz aparatu teorii prawdopodobieństwa; było niezadowolenie z klasycznego uzasadnienia typu Laplace'a.
5. Współczesny okres rozwoju teorii prawdopodobieństwa rozpoczął się wraz z powstaniem aksjomatyki (aksjomatyka jest systemem aksjomatów każdej nauki). Wymagało tego przede wszystkim praktyka, gdyż dla skutecznego zastosowania teorii prawdopodobieństwa w fizyce, biologii i innych dziedzinach nauki, a także w technice i wojskowości konieczne było doprecyzowanie i ujęcie w spójny system jej podstawowych pojęć. . Dzięki aksjomatyce teoria prawdopodobieństwa stała się abstrakcyjno-dedukcyjną dyscypliną matematyczną ściśle związaną z teorią mnogości. Doprowadziło to do szerokiego zakresu badań w teorii prawdopodobieństwa.
Pierwsze dzieła z tego okresu związane są z nazwiskami Bernsteina, Misesa, Borela. Ostateczne powstanie aksjomatyki nastąpiło w latach 30. XX wieku. Analiza trendów w rozwoju teorii prawdopodobieństwa pozwoliła Kołmogorowowi stworzyć ogólnie przyjętą aksjomatykę. W badaniach probabilistycznych istotną rolę zaczęły odgrywać analogie z teorią mnogości. Idee metrycznej teorii funkcji zaczęły coraz głębiej wnikać w teorię prawdopodobieństwa. Zaistniała potrzeba aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa w oparciu o koncepcje mnogościowe. Aksjomatyka ta została stworzona przez Kołmogorowa i przyczyniła się do tego, że teoria prawdopodobieństwa została ostatecznie wzmocniona jako pełnoprawna nauka matematyczna.
W tym okresie pojęcie prawdopodobieństwa przenika prawie wszystkie sfery ludzkiej działalności. Powstają różne definicje prawdopodobieństwa. Różnorodność definicji podstawowych pojęć jest istotną cechą współczesnej nauki. Współczesne definicje w nauce to zestawienie pojęć, punktów widzenia, których może być wiele dla każdego podstawowego pojęcia i wszystkie odzwierciedlają pewien istotny aspekt definiowanego pojęcia. Dotyczy to również pojęcia prawdopodobieństwa.

2. Pojawienie się klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Pojęcie prawdopodobieństwa odgrywa ogromną rolę we współczesnej nauce, a tym samym jest zasadniczym elementem współczesnego światopoglądu w ogóle, nowoczesnej filozofii. Wszystko to wzbudza zainteresowanie i zainteresowanie rozwojem pojęcia prawdopodobieństwa, które jest ściśle związane z ogólnym ruchem nauki. Na koncepcje prawdopodobieństwa znaczący wpływ miały osiągnięcia wielu nauk, ale ta koncepcja z kolei zmusiła je do udoskonalenia swojego podejścia do badania świata.
Formowanie się podstawowych pojęć matematycznych reprezentuje ważne etapy w procesie rozwoju matematyki. Do końca XVII wieku nauka nie doszła do wprowadzenia klasycznej definicji prawdopodobieństwa, lecz nadal operowała tylko liczbą szans sprzyjających danemu wydarzeniu interesującemu badaczy. Poszczególne próby, które odnotowali Cardano i późniejsi badacze, nie doprowadziły do ​​jasnego zrozumienia sensu tej innowacji i pozostały ciałem obcym w ukończonych pracach. Jednak w latach trzydziestych XVIII wieku klasyczne pojęcie prawdopodobieństwa weszło do powszechnego użytku i żaden z naukowców tamtych lat nie mógł ograniczyć się jedynie do liczenia szans sprzyjających zdarzeniu. Wprowadzenie klasycznej definicji prawdopodobieństwa nie nastąpiło w wyniku pojedynczego działania, lecz zajęło długi okres czasu, w trakcie którego następowało ciągłe doskonalenie sformułowania, przejście od zagadnień szczegółowych do przypadku ogólnego.
Dokładne badanie pokazuje, że nawet w książce H. Huygensa „O obliczeniach w grach hazardowych” (1657) nie ma pojęcia prawdopodobieństwa jako liczby od 0 do 1 i równej stosunkowi liczby szans sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich możliwych. A w traktacie J. Bernoulliego The Art of Assumption (1713) pojęcie to zostało wprowadzone, choć w formie dalekiej od doskonałości, ale, co szczególnie ważne, jest szeroko stosowane.
A. Moivre przyjął klasyczną definicję prawdopodobieństwa podaną przez Bernoulliego i określił prawdopodobieństwo zdarzenia prawie dokładnie tak, jak robimy to teraz. Pisał: „Dlatego konstruujemy ułamek, którego licznikiem będzie liczba wystąpień zdarzenia, a mianownikiem liczba wszystkich przypadków, w których może się ono pojawić lub nie, taki ułamek będzie wyrażał rzeczywistą prawdopodobieństwo jego wystąpienia."

3. Przedmiot teorii prawdopodobieństwa
Obserwowane przez nas zdarzenia (zjawiska) można podzielić na trzy typy: wiarygodne, niemożliwe i losowe.
Zdarzenie nazywane jest niezawodnym, które koniecznie wystąpi, jeśli zostanie spełniony określony zestaw warunków S. Na przykład, jeśli naczynie zawiera wodę o normalnym ciśnieniu atmosferycznym i temperaturze 20 °, wówczas zdarzenie „woda w naczyniu jest w w stanie ciekłym” jest niezawodny. W tym przykładzie ustawione ciśnienie atmosferyczne i temperatura wody są zbiorem warunków S.
Zdarzenie nazywa się niemożliwym, jeśli nie nastąpi, jeśli zostanie spełniony zestaw warunków S. Na przykład zdarzenie „woda w naczyniu jest w stanie stałym” z pewnością nie wystąpi, jeśli zostanie spełniony zestaw warunków z poprzedniego przykładu .
Zdarzenie losowe to zdarzenie, które po spełnieniu zestawu warunków S może się zdarzyć lub nie. Na przykład, jeśli moneta zostanie rzucona, może spaść tak, że na wierzchu znajdzie się herb lub napis. Dlatego wydarzenie „kiedy moneta została rzucona, wypadł„ herb ”- losowo. Każde zdarzenie losowe, w szczególności upadek „herbu”, jest konsekwencją działania bardzo wielu przyczyn losowych (w naszym przykładzie: siła z jaką rzucona jest moneta, kształt monety i wiele innych ). Niemożliwe jest uwzględnienie wpływu na wynik wszystkich tych przyczyn, ponieważ ich liczba jest bardzo duża, a prawa ich działania są nieznane. Dlatego teoria prawdopodobieństwa nie stawia sobie za zadanie przewidywania, czy pojedyncze zdarzenie nastąpi, czy nie – po prostu nie może tego zrobić.
Sytuacja wygląda inaczej, jeśli weźmiemy pod uwagę zdarzenia losowe, które można zaobserwować wiele razy w tych samych warunkach S, tj. jeśli mówimy o jednorodnych zdarzeniach losowych masowych. Okazuje się, że wystarczająco duża liczba jednorodnych zdarzeń losowych, niezależnie od ich specyfiki, podlega pewnym prawom, mianowicie prawom probabilistycznym. Ustaleniem tych prawidłowości zajmuje się teoria prawdopodobieństwa.
Tak więc przedmiotem teorii prawdopodobieństwa jest badanie praw probabilistycznych jednorodnych zdarzeń losowych mas.

4. Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa

Każda nauka, która rozwija ogólną teorię dowolnego zakresu zjawisk, zawiera szereg podstawowych pojęć, na których się opiera. Takie podstawowe pojęcia istnieją również w teorii prawdopodobieństwa. Są to: zdarzenie, prawdopodobieństwo zdarzenia, częstotliwość zdarzenia lub prawdopodobieństwo statystyczne oraz zmienna losowa.
Zdarzenia losowe to te zdarzenia, które mogą lub nie mogą wystąpić, gdy zestaw warunków wiąże się z możliwością wystąpienia tych zdarzeń.
Zdarzenia losowe są oznaczone literami A, B, C, .... Każde ćwiczenie z rozważanej konstelacji nazywa się testem. Liczba testów może rosnąć w nieskończoność. Stosunek liczby m wystąpień danego zdarzenia losowego A w danej serii badań do całkowitej liczby n badań w tej serii nazywamy częstością występowania zdarzenia A w danej serii badań (lub po prostu częstością zdarzenia A) i jest oznaczony przez P * (A). Zatem P * (A) = m / n.
Częstotliwość zdarzenia losowego zawsze mieści się w zakresie od zera do jednego: 0? P * (A)? 1.
Masowe zdarzenia losowe mają właściwość stabilności częstotliwości: wartości częstości danego zdarzenia losowego obserwowane w różnych seriach jednorodnych testów (przy wystarczająco dużej liczbie testów w każdej serii) różnią się w zależności od serii w dość wąskich granicach.
To właśnie ta okoliczność umożliwia zastosowanie metod matematycznych do badania zdarzeń losowych, przypisując każdemu masowemu zdarzeniu losowemu jego prawdopodobieństwo, które przyjmuje się jako tę (ogólnie rzecz biorąc, z góry nieznaną) liczbę, wokół której obserwowana częstość wydarzenie się zmienia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A oznaczono przez P (A). Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, podobnie jak jego częstotliwość, wynosi od zera do jednego: 0? P(A)? 1 .
Zmienna losowa to wartość, która charakteryzuje wynik podjętej operacji i która może przybierać różne wartości dla różnych operacji, bez względu na to, jak jednorodne są warunki ich realizacji.

5. Zastosowanie teorii prawdopodobieństwa we współczesnym świecie
Powinniśmy słusznie zacząć od fizyki statystycznej. Współczesne nauki przyrodnicze wychodzą z założenia, że ​​wszystkie zjawiska przyrodnicze mają charakter statystyczny, a prawa można dokładnie sformułować tylko w kategoriach teorii prawdopodobieństwa. Fizyka statystyczna stała się podstawą wszelkiej współczesnej fizyki, a teoria prawdopodobieństwa stała się jej aparatem matematycznym. W fizyce statystycznej rozważane są problemy opisujące zjawiska, które determinują zachowanie dużej liczby cząstek. Fizyka statystyczna jest z powodzeniem stosowana w różnych gałęziach fizyki. W fizyce molekularnej służy do wyjaśniania zjawisk termicznych, w elektromagnetyzmie - właściwości dielektrycznych, przewodzących i magnetycznych ciał, w optyce umożliwił stworzenie teorii promieniowania cieplnego, molekularnego rozpraszania światła. W ostatnich latach zakres zastosowań fizyki statystycznej stale się poszerzał.
Reprezentacje statystyczne umożliwiły szybkie sformułowanie matematycznego badania zjawisk fizyki jądrowej. Pojawienie się radiofizyki i badania transmisji sygnałów radiowych nie tylko zwiększyło znaczenie pojęć statystycznych, ale także doprowadziło do postępu samej nauki matematycznej - powstania teorii informacji.
Zrozumienie natury reakcji chemicznych, równowaga dynamiczna jest również niemożliwa bez pojęć statystycznych. Cała chemia fizyczna, jej aparat matematyczny i oferowane przez nią modele są statystyczne.
Przetwarzanie wyników obserwacji, którym zawsze towarzyszą zarówno przypadkowe błędy obserwacji, jak i przypadkowe zmiany dla obserwatora w warunkach eksperymentalnych, doprowadziło badaczy w XIX wieku do stworzenia teorii błędów obserwacji, a ta teoria jest w pełni oparta na koncepcje statystyczne.
Astronomia w wielu swoich działach wykorzystuje aparaturę statystyczną. Astronomia gwiezdna, badanie rozkładu materii w przestrzeni, badanie strumieni cząstek kosmicznych, rozkład plam słonecznych (ośrodków aktywności słonecznej) na powierzchni Słońca i wiele więcej wymaga użycia reprezentacji statystycznych.
Biolodzy zauważyli, że rozpiętość rozmiarów organów żywych istot tego samego gatunku doskonale wpisuje się w ogólną teorię praw probabilistycznych. Słynne prawa Mendla, które położyły podwaliny pod nowoczesną genetykę, wymagają rozumowania probabilistycznego i statystycznego. Badanie tak istotnych problemów biologii, jak przekazywanie emocji, urządzenie pamięci, przekazywanie właściwości dziedzicznych, kwestie osiedlania się zwierząt na terytorium, relacje między drapieżnikiem a ofiarą, wymagają dobrej znajomości teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Nauki humanistyczne łączą dyscypliny o bardzo zróżnicowanym charakterze, od językoznawstwa i literatury po psychologię i ekonomię. Metody statystyczne coraz częściej zaczynają być wykorzystywane w badaniach historycznych, zwłaszcza w archeologii. Do odszyfrowania napisów w języku starożytnych ludów stosuje się podejście statystyczne. Idee, które kierowały J. Champollionem w rozszyfrowywaniustare pismo hieroglificznesą w zasadzie statystyczne. Sztuka szyfrowania i deszyfrowania opiera się na wykorzystaniu praw statystycznych języka. Inne kierunki dotyczą badania powtarzalności słów i liter, rozkładu akcentów w słowach, obliczania informatywności języka poszczególnych pisarzy i poety. Metody statystyczne służą do ustalania autorstwa i ujawniania fałszerstw literackich. Na przykład,autorstwa mgr. Szołochow na podstawie powieści „Cichy Don”została ustalona przy użyciu metod probabilistycznych i statystycznych. Ujawnienie częstotliwości pojawiania się dźwięków języka w mowie ustnej i pisanej pozwala postawić pytanie o optymalne kodowanie liter danego języka do przekazywania informacji. Częstotliwość używania liter określa stosunek liczby znaków w kasie składu. Umiejscowienie liter na wózku maszyny do pisania i na klawiaturze komputera jest określane na podstawie badania statystycznego częstości kombinacji liter w danym języku.
Wiele problemów pedagogiki i psychologii wymaga również zaangażowania aparatu probabilistyczno-statystycznego. Kwestie gospodarcze nie mogą nie być przedmiotem zainteresowania społeczeństwa, ponieważ są z nim związane wszystkie aspekty jego rozwoju. Bez analizy statystycznej nie da się przewidzieć zmian liczebności populacji, jej potrzeb, charakteru zatrudnienia, zmian masowego popytu, a bez tego nie da się zaplanować działalności gospodarczej.
Zagadnienia kontroli jakości produktów są bezpośrednio związane z metodami probabilistycznymi i statystycznymi. Często wytworzenie produktu zajmuje nieporównywalnie mniej czasu niż sprawdzenie jego jakości. Z tego powodu nie ma możliwości sprawdzenia jakości każdego produktu. Dlatego jakość partii należy oceniać na podstawie stosunkowo niewielkiej części próbki. Metody statystyczne są również stosowane, gdy badanie jakości produktów prowadzi do ich uszkodzenia lub śmierci.
Kwestie związane z rolnictwem były od dawna rozwiązywane przy szerokim wykorzystaniu metod statystycznych. Hodowla nowych ras zwierząt, nowe odmiany roślin, porównywanie produktywności - to nie jest pełna lista problemów rozwiązywanych metodami statystycznymi.
Bez przesady można powiedzieć, że metody statystyczne przenikają dziś całe nasze życie. W znanej pracy materialistycznego poety Lukrecjusza Cary „O naturze rzeczy” znajduje się żywy i poetycki opis zjawiska ruchów Browna cząstek pyłu:
„Spójrz tutaj: ilekroć przenika światło słoneczne
W nasze domy i ciemność przebija się swoimi promieniami,
Wiele małych ciał w pustce, zobaczysz, migoczące,
Pędzą tam iz powrotem w promiennym blasku światła;
Jak w wiecznej walce, walczą w bitwach i bitwach.
Nagle rzucają się do walki w oddziałach, nie znając odpoczynku.
Albo zbiegają się, albo oddalają się od siebie.
Z tego możesz zrozumieć, jak nieubłaganie
Początki rzeczy są zmięte w ogromnej pustce.
Więc o wielkich rzeczach pomagają w zrozumieniu
Małe rzeczy, wytyczające ścieżki do osiągnięć,
Ponadto trzeba więc uważać
Do zamieszania w ciałach błyskających w słońcu
Że z niej uczysz się materii, a także ruchu”
Pierwsza okazja do eksperymentalnego zbadania związków między przypadkowym ruchem pojedynczych cząstek a regularnym ruchem ich dużych skupisk pojawiła się, gdy w 1827 r. botanik R. Brown odkrył zjawisko, które nazwano jego imieniem „ruch Browna”. Brown zaobserwował pod mikroskopem pyłek zawieszony w wodzie. Ku swojemu zdziwieniu odkrył, że zawieszone w wodzie cząsteczki są w ciągłym, nieuporządkowanym ruchu, którego nie da się powstrzymać najstaranniejszymi staraniami o wyeliminowanie wszelkich wpływów zewnętrznych. Wkrótce odkryto, że jest to powszechna właściwość wszelkich wystarczająco małych cząstek zawieszonych w cieczy. Ruch Browna jest klasycznym przykładem procesu losowego.

6. Prawdopodobieństwo i transport lotniczy
W poprzednim rozdziale zbadaliśmy zastosowanie teorii prawdopodobieństwa i statystyki w różnych dziedzinach nauki. W tym rozdziale chciałbym podać przykłady zastosowania rachunku prawdopodobieństwa w transporcie lotniczym.
Transport lotniczy to pojęcie, które obejmuje zarówno sam samolot, jak i infrastrukturę niezbędną do ich obsługi: lotniska, dyspozytornie i służby techniczne. Jak wiadomo wykonanie lotu jest efektem wspólnej pracy wielu służb lotniskowych, które w swoich działaniach wykorzystują różne dziedziny nauki i niemal we wszystkich tych obszarach odbywa się teoria prawdopodobieństwa. Chciałbym podać przykład z dziedziny nawigacji, gdzie szeroko stosowana jest również teoria prawdopodobieństwa.
W związku z rozwojem systemów nawigacji satelitarnej, lądowania i łączności wprowadzono nowe wskaźniki niezawodności, takie jak integralność, ciągłość i dostępność systemu. Wszystkie te wskaźniki wiarygodności są kwantyfikowane w kategoriach prawdopodobieństwa.
Integralność - stopień zaufania do informacji otrzymanych z systemu radiotechnicznego i wykorzystywanych w przyszłości przez samolot. Prawdopodobieństwo integralności jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa uszkodzenia i prawdopodobieństwa wykrycia uszkodzenia i musi być równe lub mniejsze niż 10-7 na godzinę lotu.
Ciągłość obsługi to zdolność całego systemu do pełnienia swojej funkcji bez przerywania trybu pracy podczas wykonywania zaplanowanej operacji. Musi wynosić co najmniej 10 -4.
Gotowość to zdolność systemu do wykonywania swoich funkcji przed rozpoczęciem operacji. Onam musi wynosić co najmniej 0, 99.
Wniosek
Idee probabilistyczne stymulują dziś rozwój całego kompleksu wiedzy, od nauk o przyrodzie nieożywionej do nauk społecznych. Postęp nowoczesnych nauk przyrodniczych jest nierozerwalnie związany z wykorzystaniem i rozwojem probabilistycznych pomysłów i metod. W naszych czasach trudno wymienić jakikolwiek obszar badań, w którym nie stosuje się metod probabilistycznych.

Bibliografia
1. Wentzel E.S. Teoria prawdopodobieństwa: Podręcznik dla uniwersytetów. M.: Szkoła Wyższa, 2006;
2. Gmurman V.E. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Podręcznik. podręcznik dla uniwersytetów. M: Szkoła Wyższa, 1998;
3. Gnedenko B.V. Esej z teorii prawdopodobieństwa. M.: Redakcja URSS, 2009;
4. Maystrov L.Ye. Rozwój teorii prawdopodobieństwa. M.: Nauka, 1980;
5. Maystrov L.Ye. Teoria prawdopodobieństwa. Szkic historyczny. Moskwa: Nauka, 1967
6. Sobolew E.V. Organizacja radiowej obsługi technicznej lotów (część 1). Petersburg, 2008;
7. http: // verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/ p8aa1.html
8.http: //shpora.net/index.cgi? akt = widok i id = 4966