"Kazalar tesadüfi değildir"... Kulağa bir filozofun dediği gibi geliyor, ama aslında büyük matematik biliminin büyük kısmı rastgeleliği incelemektir. Matematikte şans teorisi rastgelelikle ilgilenir. Makalede formüller ve görev örnekleri ile bu bilimin ana tanımları sunulacaktır.

Olasılık teorisi nedir?

Olasılık teorisi, rastgele olayları inceleyen matematik disiplinlerinden biridir.

Biraz daha anlaşılır kılmak için küçük bir örnek verelim: Bir madeni parayı yukarı kaldırırsanız, "yazı" veya "yazı" gelebilir. Madeni para havada olduğu sürece, bu olasılıkların her ikisi de mümkündür. Yani, olası sonuçların olasılığı 1: 1'dir. 36 kartlık bir desteden birini çıkarırsanız, olasılık 1:36 olarak gösterilir. Özellikle matematiksel formüllerin yardımıyla araştırılacak ve tahmin edilecek bir şey yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, belirli bir eylemi birçok kez tekrarlarsanız, belirli bir kalıp belirleyebilir ve temelinde, diğer koşullardaki olayların sonucunu tahmin edebilirsiniz.

Yukarıdakilerin tümünü özetlemek gerekirse, klasik anlamda olasılık teorisi, olası olaylardan birinin sayısal bir değerde meydana gelme olasılığını inceler.

Tarihin sayfalarından

Olasılık teorisi, ilk görevlerin formülleri ve örnekleri, kart oyunlarının sonucunu tahmin etmek için ilk girişimlerin yapıldığı uzak Orta Çağ'da ortaya çıktı.

Başlangıçta, olasılık teorisinin matematikle hiçbir ilgisi yoktu. Pratikte yeniden üretilebilecek bir olayın ampirik gerçeklerine veya özelliklerine dayanıyordu. Matematik disiplini olarak bu alandaki ilk çalışmalar 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kurucuları Blaise Pascal ve Pierre Fermat'tır. Uzun süre kumar okudular ve halka anlatmaya karar verdikleri belirli kalıpları gördüler.

Aynı teknik, Pascal ve Fermat'ın araştırmalarının sonuçlarına aşina olmamasına rağmen, Christian Huygens tarafından icat edildi. Disiplin tarihinde ilk olarak kabul edilen "olasılık teorisi" kavramı, formüller ve örnekler onun tarafından tanıtıldı.

Jacob Bernoulli'nin çalışmaları, Laplace ve Poisson teoremleri de önemlidir. Olasılık teorisini daha çok bir matematik disiplini gibi yaptılar. Olasılık teorisi, formüller ve temel görev örnekleri, Kolmogorov'un aksiyomları sayesinde mevcut şeklini aldı. Tüm değişimler sonucunda olasılık teorisi matematik dallarından biri haline gelmiştir.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Gelişmeler

Bu disiplinin ana kavramı “olay”dır. Üç tür olay vardır:

• Güvenilir. Yine de olacak olanlar (madeni para düşecek).
• İmkansız. Hiçbir senaryoda olmayacak olaylar (coin havada asılı kalacak).
• Rastgele. Olacak veya olmayacak olanlar. Tahmin edilmesi çok zor olan çeşitli faktörlerden etkilenebilirler. Madeni para hakkında konuşursak, sonucu etkileyebilecek rastgele faktörler: madeni paranın fiziksel özellikleri, şekli, ilk konumu, atış gücü vb.

Örneklerdeki tüm olaylar, farklı bir role sahip olan P hariç, büyük Latin harfleriyle belirtilmiştir. Örneğin:

• A = "öğrenciler derse geldi."
• Ā = "öğrenciler derse gelmedi."

Pratik alıştırmalarda, olayları kelimelerle yazmak gelenekseldir.

Etkinliklerin en önemli özelliklerinden biri fırsat eşitliğidir. Yani, bir yazı tura atarsanız, ilk düşüşün tüm çeşitleri, düşene kadar mümkündür. Ancak olaylar da eşit derecede mümkün değildir. Bu, birisi özellikle sonucu etkilediğinde olur. Örneğin, ağırlık merkezinin kaydırıldığı "işaretli" oyun kartları veya zarlar.

Olaylar da uyumlu ve uyumsuz. Uyumlu olaylar birbirinin oluşmasını engellemez. Örneğin:

• A = "derse bir öğrenci geldi."
• B = "öğrenci derse geldi."

Bu olaylar birbirinden bağımsızdır ve birinin görünümü diğerinin görünümünü etkilemez. Uyumsuz olaylar, birinin görünüşünün diğerinin görünüşünü dışlaması gerçeğiyle belirlenir. Aynı madeni para hakkında konuşursak, o zaman düşen “yazılar” aynı deneyde “turaların” görünmesini imkansız hale getirir.

Olaylarla ilgili eylemler

Olaylar sırasıyla çoğaltılabilir ve eklenebilir, "VE" ve "VEYA" mantıksal bağlantıları disiplinde tanıtılır.

Miktar, A veya B olayının veya ikisinin aynı anda meydana gelebileceği gerçeğiyle belirlenir. Uyumsuz olmaları durumunda, A veya B olmak üzere son seçenek imkansızdır.

Olayların çarpımı, A ve B'nin aynı anda ortaya çıkmasından oluşur.

Şimdi temelleri, olasılık teorisini ve formülleri daha iyi hatırlamak için birkaç örnek verebilirsiniz. Daha fazla problem çözme örnekleri.

1. Egzersiz: Firma, üç tür iş için sözleşmeler için bir rekabete katılıyor. Oluşabilecek olası olaylar:

• A = "firma ilk sözleşmeyi alacak."
• A 1 = "firma ilk sözleşmeyi almayacak."
• B = "firma ikinci bir sözleşme alacak."
• B 1 = "firma ikinci bir sözleşme almayacak"
• C = "firma üçüncü bir sözleşme alacak."
• C 1 = "firma üçüncü bir sözleşme almayacak."

Aşağıdaki durumları olaylarla ilgili eylemleri kullanarak ifade etmeye çalışalım:

• K = "firma tüm sözleşmeleri alacak."

Matematiksel formda denklem şöyle görünecektir: K = ABC.

• M = "firma tek bir sözleşme almayacak."

M = A 1 B 1 C 1.

Görevi karmaşık hale getirmek: H = "firma bir sözleşme alacak." Firmanın hangi sözleşmeyi alacağı (birinci, ikinci veya üçüncü) bilinmediğinden, tüm olası olaylar serisini kaydetmek gerekir:

Н = А 1 ВС 1 υ AB 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

A 1 BC 1, firmanın birinci ve üçüncü sözleşmeleri almadığı, ancak ikincisini aldığı bir dizi olaydır. Diğer olası olaylar ilgili yöntemle kaydedildi. Disiplin içindeki υ sembolü "VEYA" bağlantısını gösterir. Verilen örneği insan diline çevirirsek, şirket ya üçüncü bir sözleşme ya da ikinci veya birinci bir sözleşme alacaktır. Benzer şekilde, "Olasılık Teorisi" disiplinindeki diğer koşulları da yazabilirsiniz. Yukarıda sunulan problem çözme formülleri ve örnekleri, bunu kendiniz yapmanıza yardımcı olacaktır.

Aslında, olasılık

Belki de bu matematik disiplininde bir olayın olasılığı ana kavramdır. Olasılığın 3 tanımı vardır:

• klasik;
• istatistiksel;
• geometrik.

Her birinin olasılıkların incelenmesinde yeri vardır. Olasılık teorisi, formüller ve örnekler (9. sınıf) çoğunlukla kulağa şöyle gelen klasik tanımı kullanır:

• A durumunun olasılığı, gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranına eşittir.

Formül şöyle görünür: P (A) = m / n.

A aslında bir olaydır. A'nın tersi bir durum varsa, Ā veya A 1 olarak yazılabilir.

m olası olumlu durumların sayısıdır.

n - olabilecek tüm olaylar.

Örneğin, A = "kalp takımından bir kart çizin." Standart bir destede 36 kart vardır, 9 tanesi kalptir. Buna göre, sorunu çözme formülü şöyle görünecektir:

P(A) = 9/36 = 0.25.

Sonuç olarak, desteden kalp desenli bir kartın çekilme olasılığı 0.25'tir.

Daha yüksek matematiğe doğru

Artık olasılık teorisinin ne olduğu, okul müfredatında karşılaşılan formüller ve çözme görevlerinin örnekleri biraz bilinir hale geldi. Ancak, üniversitelerde öğretilen yüksek matematikte de olasılık teorisi bulunur. Çoğu zaman, teorinin geometrik ve istatistiksel tanımları ve karmaşık formüllerle çalışırlar.

Olasılık teorisi çok ilginç. Olasılığın istatistiksel (veya sıklık) tanımıyla formülleri ve örnekleri (yüksek matematik) küçük öğrenmeye başlamak daha iyidir.

İstatistiksel yaklaşım klasik yaklaşımla çelişmez, ancak onu biraz genişletir. İlk durumda, olayın ne kadar olasılıkla gerçekleşeceğini belirlemek gerekliyse, bu yöntemde ne sıklıkta gerçekleşeceğini belirtmek gerekir. Burada W n (A) ile gösterilebilen yeni bir "göreceli frekans" kavramını tanıtıyoruz. Formül klasik olandan farklı değil:

Klasik formül tahmin için hesaplanırsa, o zaman istatistiksel olanı - deneyin sonuçlarına göre. Örneğin, küçük bir görev alın.

Teknolojik kontrol departmanı, ürünleri kalite açısından kontrol eder. 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. Kaliteli bir ürünün sıklık olasılığını nasıl buluyorsunuz?

A = "kaliteli bir ürünün görünümü."

Wn (A) = 97/100 = 0.97

Böylece kaliteli bir ürünün sıklığı 0.97'dir. 97'yi nereden buldun? Kontrol ettiğimiz 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. 100'den 3 çıkarırsak 97 alırız, bu kaliteli mal miktarıdır.

Kombinatorik hakkında biraz

Olasılık teorisinin başka bir yöntemine kombinatorik denir. Temel ilkesi, A'nın belirli bir seçimi m farklı şekilde ve B seçimi n farklı şekilde yapılabiliyorsa, A ve B seçimi çarpma yoluyla yapılabilir.

Örneğin, A şehrinden B şehrine giden 5 yol vardır. B şehrinden C şehrine 4 yol vardır. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir?

Çok basit: 5x4 = 20, yani A noktasından C noktasına yirmi farklı şekilde gidebilirsiniz.

Görevi karmaşıklaştıralım. Solitaire'de kağıt oynamanın kaç yolu var? Destede 36 kart var - bu başlangıç ​​noktasıdır. Yolların sayısını bulmak için, başlangıç ​​noktasından bir kartı "çıkarmanız" ve çarpmanız gerekir.

Yani 36x35x34x33x32 ... x2x1 = sonuç hesap makinesi ekranına sığmıyor yani 36 ! İmza "!" bir sayının yanında, tüm sayı dizisinin kendi aralarında çarpıldığını gösterir.

Kombinatorikte permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon gibi kavramlar vardır. Her birinin kendi formülü vardır.

Bir kümedeki sıralı elemanlar kümesine düzenleme denir. Yerleşimler tekrarlanabilir, yani bir öğe birden çok kez kullanılabilir. Ve öğeler tekrarlanmadığında tekrar yok. n tüm öğelerdir, m yerleşime katılan öğelerdir. Tekrarsız yerleştirme formülü şöyle olacaktır:

Bir n m = n! / (N-m)!

Yalnızca yerleşim sırasına göre farklılık gösteren n elemanın bağlantılarına permütasyon denir. Matematikte bu: P n = n!

n elementin m ile kombinasyonlarına, hangi elementlerin olduklarının ve toplam sayılarının ne olduğunun önemli olduğu bileşikler denir. Formül şöyle görünecektir:

Bir n m = n! / M! (N-m)!

Bernoulli'nin formülü

Olasılık teorisinde, her disiplinde olduğu gibi, alanında seçkin araştırmacıların, onu yeni bir boyuta taşımış çalışmaları bulunmaktadır. Bu çalışmalardan biri, bağımsız koşullar altında belirli bir olayın meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlayan Bernoulli formülüdür. Bu, bir deneyde A'nın görünümünün, önceki veya sonraki testlerde aynı olayın görünmesine veya görünmemesine bağlı olmadığını gösterir.

Bernoulli denklemi:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

(A) olayının meydana gelme olasılığı (p), her test için değişmez. Durumun n sayıda deneyde tam olarak m kez meydana gelme olasılığı, yukarıda verilen formülle hesaplanacaktır. Buna göre, q sayısının nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkar.

A olayı sırasıyla p sayıda meydana gelirse, gerçekleşmeyebilir. Biri, bir disiplindeki bir durumun tüm sonuçlarını belirtmek için kullanılan bir sayıdır. Bu nedenle, q olayın gerçekleşmeme olasılığını gösteren bir sayıdır.

Artık Bernoulli'nin formülünü (olasılık teorisi) biliyorsunuz. Problem çözme örneklerini (birinci seviye) daha fazla ele alacağız.

Ödev 2: Mağaza ziyaretçisi 0,2 olasılıkla bir satın alma yapacaktır. 6 ziyaretçi bağımsız olarak mağazaya girdi. Bir ziyaretçinin alışveriş yapma olasılığı nedir?

Çözüm: Kaç ziyaretçinin bir veya altı tanesini satın alması gerektiği bilinmediğinden, Bernoulli formülünü kullanarak tüm olası olasılıkları hesaplamak gerekir.

A = "ziyaretçi bir satın alma işlemi gerçekleştirir."

Bu durumda: p = 0.2 (görevde belirtildiği gibi). Buna göre, q = 1-0.2 = 0.8.

n = 6 (mağazada 6 müşteri olduğu için). m sayısı 0'dan (hiçbir müşteri satın alma yapmaz) 6'ya (mağazaya gelen tüm ziyaretçiler bir şey satın alır) değişecektir. Sonuç olarak, çözümü elde ederiz:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

Alıcıların hiçbiri 0.2621 olasılıkla alım yapmayacaktır.

Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi) başka nasıl kullanılır? Aşağıdaki problem çözme örnekleri (ikinci seviye).

Yukarıdaki örnekten sonra, C ve p'nin nereye gittiğiyle ilgili sorular ortaya çıkıyor. p'ye göre, 0'ın kuvvetinin sayısı bire eşit olacaktır. C'ye gelince, aşağıdaki formülle bulunabilir:

C n m = n! / m! (n-m)!

İlk örnekte sırasıyla m = 0 olduğundan, prensipte sonucu etkilemeyen C = 1'dir. Yeni formülü kullanarak, iki ziyaretçinin mal satın alma olasılığının ne olduğunu bulmaya çalışalım.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Olasılık teorisi o kadar karmaşık değil. Yukarıda örnekleri verilen Bernoulli formülü bunun doğrudan bir kanıtıdır.

Poisson formülü

Poisson denklemi, olası olmayan rastgele durumları hesaplamak için kullanılır.

Temel formül:

P n (m) = λ m / m! × e (-λ).

Ayrıca, λ = n x p. İşte çok basit bir Poisson formülü (olasılık teorisi). Sorun çözme örneklerini daha fazla ele alacağız.

ödev 3: Fabrika 100.000 adet parça üretti. Arızalı parça oluşumu = 0.0001. Bir partide 5 kusurlu parça olma olasılığı nedir?

Gördüğünüz gibi, evlilik olası olmayan bir olaydır ve bu nedenle hesaplama için Poisson formülü (olasılık teorisi) kullanılır. Bu tür problem çözme örnekleri, disiplinin diğer görevlerinden hiçbir şekilde farklı değildir, gerekli verileri verilen formülde değiştiririz:

A = "rastgele seçilen bir parça kusurlu olacaktır."

p = 0.0001 (görevin durumuna göre).

n = 100000 (parça sayısı).

m = 5 (arızalı parçalar). Verileri formülde değiştiririz ve şunu elde ederiz:

P 100000 (5) = 10 5/5! Xe -10 = 0.0375.

Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi), yukarıda yazılan çözüm örnekleri gibi, Poisson denklemi de bilinmeyen bir e'ye sahiptir. Aslında, aşağıdaki formülle bulunabilir:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ / n) n.

Ancak, e'nin hemen hemen tüm değerlerini içeren özel tablolar vardır.

Moivre-Laplace teoremi

Bernoulli şemasındaki testlerin sayısı yeterince büyükse ve tüm şemalarda A olayının meydana gelme olasılığı aynıysa, o zaman bir dizi testte A olayının belirli sayıda meydana gelme olasılığı şu şekilde bulunabilir: Laplace formülü:

Р n (m) = 1 / √npq x ϕ (X m).

X m = m-np / √npq.

Laplace formülünü (olasılık teorisi) daha iyi hatırlamak için, aşağıda size yardımcı olacak problem örnekleri.

İlk olarak, X m'yi buluyoruz, verileri (hepsi yukarıda belirtilmiştir) formüle değiştiriyoruz ve 0.025 elde ediyoruz. Tabloları kullanarak, değeri 0.3988 olan ϕ (0.025) sayısını buluyoruz. Artık formüldeki tüm verileri değiştirebilirsiniz:

R 800 (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

Yani el ilanının tam olarak 267 kez ateş etme olasılığı 0,03'tür.

Bayes formülü

Aşağıda yardımı ile problem çözme örnekleri verilecek olan Bayes formülü (olasılık teorisi), onunla ilişkilendirilebilecek koşullara dayalı olarak bir olayın olasılığını tanımlayan bir denklemdir. Temel formül şöyle görünür:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A ve B kesin olaylardır.

P (A | B) - koşullu olasılık, yani B olayının doğru olması koşuluyla A olayı gerçekleşebilir.

P (B | A) - B olayının koşullu olasılığı.

Bu nedenle, "Olasılık Teorisi" adlı kısa kursun son kısmı, aşağıdaki problemlerin çözüm örnekleri olan Bayes formülüdür.

Ödev 5: Depoya üç firmaya ait telefonlar getirildi. Aynı zamanda ilk fabrikada üretilen telefonların oranı %25, ikinci fabrikada %60, üçüncü fabrikada %15. Ayrıca ilk fabrikadaki ortalama kusurlu ürün yüzdesinin %2, ikinci fabrikada %4 ve üçüncü fabrikada %1 olduğu bilinmektedir. Rastgele seçilen bir telefonun arızalı çıkma olasılığını bulmak gerekiyor.

A = "rastgele seçilmiş telefon".

B 1 - İlk fabrika tarafından yapılan telefon. Buna göre, B 2 ve B 3 girişi görünecektir (ikinci ve üçüncü fabrikalar için).

Sonuç olarak şunları elde ederiz:

P (B 1) = %25 / %100 = 0.25; P(B2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - böylece her seçeneğin olasılığını bulduk.

Şimdi istenen olayın koşullu olasılıklarını, yani firmalarda kusurlu ürün olasılığını bulmanız gerekiyor:

P (A / B 1) = %2 / %100 = 0.02;

P (A / B2) = 0.04;

P (A / B 3) = 0.01.

Şimdi verileri Bayes formülüne ekliyoruz ve şunu elde ediyoruz:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Makale, olasılık teorisini, formülleri ve problem çözme örneklerini sunar, ancak bu, geniş bir disiplinin buzdağının sadece görünen kısmıdır. Ve tüm bu yazılanlardan sonra, hayatta olasılık teorisine ihtiyaç var mı sorusunu sormak mantıklı olacaktır. Sıradan bir kişinin cevap vermesi zordur, ikramiyeyi birden fazla vuran kişiye yardımı ile sormak daha iyidir.

2.1. Güvenilirlik teorisinin matematiksel aparatının seçimi

Yukarıdaki güvenilirlik tanımı, yalnızca nitel bir yapıya sahip olduğu ve uçağın tasarlanması, üretilmesi, test edilmesi ve çalıştırılması sürecinde çeşitli mühendislik problemlerinin çözülmesine izin vermediği için açıkça yetersizdir. Özellikle, örneğin aşağıdaki gibi önemli görevlerin çözülmesine izin vermez:

Oluşturulan mevcut ve yeni yapıların güvenilirliğini (güvenilirlik, geri kazanılabilirlik, koruma, kullanılabilirlik ve dayanıklılık) değerlendirin;

Farklı tipteki eleman ve sistemlerin güvenilirliğini karşılaştırın;

Arızalı uçakların restorasyonunun etkinliğini değerlendirmek;

Uçuş planlarını desteklemek için gereken onarım planlarını ve yedek parça bileşimini gerekçelendirin;

Uçuş hazırlıklarının hacmini, sıklığını, maliyetini, rutin bakımı ve tüm bakım aralığını belirleyin;

Arızalı teknik cihazları onarmak için gereken zaman, para ve fon maliyetini belirleyin.

Güvenilirliğin nicel özelliklerini belirlemedeki zorluk, her biri, örneğin aşırı yükler, elemanların tasarım çalışma modlarından yerel sapmalar gibi bir dizi olumsuz faktörün çakışmasının sonucu olan arızaların doğasından kaynaklanmaktadır. ve sistemler, malzeme kusurları, dış koşullardaki değişiklikler vb. değişen derecelerde ve farklı nitelikteki nedensel ilişkiler, tasarım yükünü aşan ani yük konsantrasyonlarına neden olur.

Havacılık ekipmanının arızaları, okunabilirlikleri açısından birincil veya ikincil olarak geçici olarak değerlendirilebilecek birçok nedene bağlıdır. Bu, arızaların sayısını ve meydana gelme zamanını 1 rastgele değişkenler, yani duruma bağlı olarak daha önce bilinmeyen farklı değerler alabilen nicelikler olarak düşünmeyi mümkün kılar.

Klasik - III yöntemlerini kullanarak böyle zor bir durumda nicel bağımlılıklar oluşturmak pratik olarak imkansızdır - 1k 11, çünkü çok sayıda ikincil rastgele faktör o kadar belirgin bir rol oynar ki, ilk ana faktörleri diğerlerinden ayırmak imkansızdır. Ayrıca, onun affedilmiş ve idealize edilmiş modeli olgusu yerine, sadece klasik araştırma yöntemlerinin kullanılması, dikkate dayalı olarak inşa edilmiştir. Sadece ana faktörler ve ikincil olanlar ihmal edilirse, her zaman doğru sonucu verir.

Olasılık teorisi ve ma - | Semn nicheskaya istatistikleri - düzenliliği inceleyen bilimler - Rastgele olaylarda III ve bazı durumlarda - IIі> '111) 110111110 klasik yöntemlere kadar.

Aşağıdaki yöntemler, bu yöntemlerin ağına atfedilmelidir:

I) ciaiin'iirnch'kiiie yöntemleri, bireyi ve berbat reddetme nedenlerini açıklamadan, yerine kurmak

……… ben. i pvniiiiiH ve pc hakkında iyiiii. і.іga ile toplu sömürü

Değirmen …………. (ІКНІМО (oyun І taşıma) KOŞULLARDA

"merhaba", bu nedenlerden kaynaklanmaktadır;

'І“ onlar) elde edilen sonuçların yöntemleri

1 "……… ve arama ve süt verimi her şeye karşılık gelir

1 .. пік »pcarn. içinde. Sömürü açısından iK ve şu ya da bu yaygın ve oldukça basitleştirilmiş şema değil; m І..І otitis görünümünün kitlesel gözlemlerine dayanarak. Haziran ve mühendislik analizi, operasyon sürecinde belirli bir seviyede oluşturulması ve bakımı sürecinde havacılık teknolojisinin PNDI aşınma oranını artırmanın yolunu açan genel kalıpları belirlemek mümkündür.

Bu matematiksel aparatın belirtilen avantajları, havacılık teknolojisinin güvenilirliğine ilişkin sorgulamaları araştırmak için şimdiye kadar kabul edilebilir tek cihaz olmasını sağlıyor. Aynı zamanda, uygulamada, belirli kısıtlamalar dikkate alınmalıdır, ödüller

Belirli bir teknik cihazın bizi ilgilendirdiği süre boyunca kusursuz çalışıp çalışmayacağı sorusuna cevap veremeyen istatistiksel yöntemler için gereklidir. Bu yöntemler, yalnızca bir veya daha fazla havacılık ekipmanı örneğinin hatasız çalışma olasılığını belirlemeyi ve ilgili çalışma süresi boyunca bir arıza meydana gelme riskini değerlendirmeyi mümkün kılar.

İstatistiksel olarak elde edilen sonuçlar her zaman havacılık teknolojisinin işletilmesindeki geçmiş deneyimlere dayanmaktadır ve bu nedenle gelecekteki arızaların değerlendirilmesi, yalnızca tüm çalışma koşulları (çalışma modları, depolama koşulları) yeterince doğru bir şekilde çakışırsa titiz olacaktır.

Havacılık ekipmanının uçuş için kurtarılabilirliğini ve hazır olup olmadığını analiz etmek ve değerlendirmek için, kuyruk teorisi yasaları ve özellikle kurtarma teorisinin bazı bölümleri kullanılarak bu yöntemler de kullanılır.

1.2. Olasılık Teorisi Alanları

Olasılık teorisi yöntemleri, doğa bilimleri ve teknolojinin çeşitli dallarında yaygın olarak kullanılmaktadır:

 Güvenilirlik teorisinde,

 Kuyruk teorisi,

Teorik fizik,

 jeodezi,

Astronomi,

atış teorisi,

 gözlem hataları teorisi,

 otomatik kontrol teorisi,

 genel iletişim teorisi ve diğer birçok teorik ve uygulamalı bilimde.

Olasılıklar teorisi aynı zamanda üretimin planlanması ve düzenlenmesinde, teknolojik süreçlerin analizinde, ürün kalitesinin önleyici ve kabul kontrolünde ve diğer birçok amaç için kullanılan matematiksel ve uygulamalı istatistiklerin doğrulanmasına da hizmet eder.

Son yıllarda, olasılık teorisi yöntemleri, bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarına giderek daha fazla nüfuz ederek ilerlemelerine katkıda bulundu.

1.3. Kısa tarihsel arka plan

Olasılık teorisinin temel kavramlarının doğduğu ilk eserler, bir kumar teorisi yaratma girişimleriydi (16.-17. yüzyıllarda Cardano, Huygens, Pascal, Fermat ve diğerleri).

Olasılık teorisinin gelişimindeki bir sonraki aşama, Jacob Bernoulli (1654 - 1705) adıyla ilişkilidir. Daha sonra "Büyük Sayılar Yasası" adını alan kanıtladığı teorem, daha önce biriken gerçeklerin ilk teorik doğrulamasıydı.

Olasılık teorisi daha sonraki başarılarını Moivre, Laplace, Gauss, Poisson ve diğerlerine borçludur.Yeni, en verimli dönem P.L. Lyapunov (1857 - 1918). Bu dönemde, olasılık teorisi uyumlu bir matematik bilimi haline gelir. Daha sonraki gelişimi öncelikle Rus ve Sovyet matematikçilerinden (S.N.Bernshtein, V.I. Romanovsky, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, N.V. Smirnov, vb.) kaynaklanmaktadır.

1.4. Denemeler ve olaylar. Olay türleri

Olasılık teorisinin temel kavramları, bir temel olay kavramı ve bir temel olaylar uzayı kavramıdır. Yukarıda, belirli bir dizi koşulun uygulanması altında bir olay rastgele olarak adlandırılır. S olabilir veya olmayabilir. Aşağıda, “bir dizi koşul” demek yerine, S yapıldı ”, kısaca söyleyeceğiz:“ test yapıldı ”. Böylece olay bir test sonucu olarak kabul edilecektir.

Tanım. Rastgele bir olayla Deneyim sonucunda meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek herhangi bir olguya denir.

Ayrıca, deneyimin şu veya bu sonucu, değişen derecelerde olasılıklarla elde edilebilir. Yani bazı durumlarda bir olayın neredeyse kesinlikle gerçekleşeceğini, diğerinin ise neredeyse hiç olmayacağını söyleyebiliriz.

Tanım. Temel sonuçların alanıΩ, belirli bir rastgele deneyin tüm olası sonuçlarını içeren bir kümedir ve bunlardan tam olarak biri deneyde gerçekleşir. Bu kümenin elemanlarına denir. temel sonuçlar ve ω ("omega") harfi ile gösterilir.

Daha sonra olaylara Ω kümesinin alt kümeleri denir. Bir deney sonucunda, A kümesine dahil edilen temel sonuçlardan biri deneyde meydana gelirse, bir A Ω olayının meydana geldiğini söylüyorlar.

Basitlik için, temel olayların sayısının sonlu olduğunu varsayacağız. Temel olaylar uzayının bir alt kümesine rastgele olay denir. Test sonucunda bu olay meydana gelebilir veya gelmeyebilir (zar atarken üç puan düştü, belirli bir anda telefon görüşmesi vb.).

Örnek 1. Atıcı, dört alana bölünmüş bir hedefe ateş eder. Çekim bir testtir. Belirli bir hedef alanı vurmak bir olaydır.

Örnek 2. Vazoda renkli toplar bulunur. Kutudan rastgele bir top çekiliyor. Topu vazodan çıkarmak bir testtir. Belirli bir renkteki bir topun ortaya çıkması bir olaydır.

Matematiksel bir modelde, bir tanım verilmeyen ve sadece özellikleri ile karakterize edilen bir olay kavramı ilk olarak kabul edilebilir. Olay kavramının gerçek anlamından yola çıkarak farklı olay türleri tanımlayabilirsiniz.

Tanım. Rastgele bir olay denir güvenilir kasıtlı olarak meydana gelirse (zar atılırken bir puandan altı puana düşmek) ve imkansız, deney sonucunda açıkça gerçekleşemezse (zar atılırken yedi puan kaybı). Bu durumda, güvenilir bir olay, temel olaylar uzayının tüm noktalarını içerir ve imkansız bir olay, bu uzayın tek bir noktasını içermez.

Tanım.İki rastgele olay denir tutarsız aynı test sonucu ile aynı anda meydana gelmezlerse. Ve genel olarak, herhangi bir sayıda olay denir tutarsız birinin görünümü diğerlerinin görünümünü dışlarsa.

Tutarsız olayların klasik bir örneği, yazı tura atma sonucudur - bir yazı tura yüzü dışarı düşerken, arka yüzün dışarı düşmesi hariç tutulur (aynı deneyde).

Başka bir örnek - bir parça kutusundan rastgele bir parça çıkarıldı. Standart bir parçanın görünümü, standart olmayan bir parçanın görünümünü ortadan kaldırır. "Standart bir parça göründü" ve "standart olmayan bir parça göründü" olayları tutarsız.

Tanım. Birkaç olay formu tam grup test sonucunda bunlardan en az biri ortaya çıkarsa.

Başka bir deyişle, tüm grubun olaylarından en az birinin ortaya çıkması güvenilir bir olaydır. Özellikle tam bir grubu oluşturan olaylar ikili olarak tutarsız ise, test sonucunda bu olaylardan sadece bir tanesi ortaya çıkacaktır. Bu özel durum, aşağıda kullanıldığı için büyük ilgi görmektedir.

Örnek.İki nakit piyango bileti satın alındı. Aşağıdaki olaylardan sadece biri mutlaka gerçekleşecektir: "kazançlar birinci bilete düştü ve ikinciye düşmedi", "kazançlar birinci bilete düşmedi ve ikinciye düştü", "kazançlar düştü" her iki bilette", "her iki bilette de kazançlar düşmedi." Bu olaylar, tam bir ikili uyumsuz olaylar grubu oluşturur.

Örnek. Atıcı hedefe ateş etti. Aşağıdaki iki olaydan birinin gerçekleşmesi kaçınılmazdır: vur, ıskala. Bu iki uyumsuz olay tam bir grup oluşturur.

Örnek.İçinde sadece kırmızı ve yeşil bilyeler bulunan bir kutudan rastgele bir top çekiliyorsa, çıkarılan toplar arasında beyaz bir topun ortaya çıkması imkansız bir olaydır. Kırmızının görünümü ve yeşil topların görünümü tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Tanım. Hiçbirinin diğerinden daha mümkün olmadığına inanmak için bir neden varsa, olaylara eşit derecede mümkün denir.

Örnek. Bir madeni para atıldığında "armanın" ortaya çıkması ve bir yazının ortaya çıkması eşit derecede olası olaylardır. Gerçekten de, madalyonun homojen bir malzemeden yapıldığı, düzenli bir silindirik şekle sahip olduğu ve darphanenin varlığının madalyonun bir veya diğer tarafının serpintisini etkilemediği varsayılmaktadır.

Örnek. Atılan bir zar üzerinde bir veya daha fazla sayıda noktanın ortaya çıkması eşit derecede olası olaylardır. Aslında, zarın homojen bir malzemeden yapıldığı, düzenli bir çokyüzlü şeklinde olduğu ve gözlüklerin varlığının herhangi bir yüzün serpilmesini etkilemediği varsayılmaktadır.

Toplarla ilgili yukarıdaki örnekte, kutuda aynı sayıda kırmızı ve yeşil top varsa, kırmızı ve yeşil topların ortaya çıkması eşit olası olaylardır. Kutuda yeşil olanlardan daha fazla kırmızı top varsa, yeşil topun ortaya çıkması kırmızı olandan daha az olası bir olaydır.

12.09.2009 güncellendi

Olasılık teorisinin pratikte uygulanmasının tarihine küçük bir gezi.

18. yüzyılın sonuna kadar, devlet muhasebesi ve kontrolünün düşünülemeyeceği ve bu nedenle uzun süredir var olan uygulamalı istatistikler, temel, tamamen aritmetik bir karaktere sahipti. Olasılık teorisi tamamen akademik bir disiplin olarak kaldı ve yalnızca kumar, onun nispeten karmaşık "uygulamaları" olarak işlev gördü. 18. yüzyılda zar üretim teknolojisindeki gelişmeler, olasılık teorisinin gelişimini teşvik etti. Oyuncular, farkında olmadan, zarlar aynı standart hale geldiğinden, büyük ölçekte tekrarlanabilir deneyler yapmaya başladılar. Bu, daha sonra "istatistiksel deney" olarak adlandırılacak bir örneğin ortaya çıkmasına neden oldu - aynı koşullar altında sınırsız sayıda tekrarlanabilen bir deney.

19. ve 20. yüzyıllarda, olasılık teorisi önce bilime (astronomi, fizik, biyoloji), sonra uygulamaya (tarım, endüstri, tıp) ve son olarak bilgisayarların icadından sonra modern kullanan herhangi bir kişinin günlük yaşamına nüfuz eder. bilgi alma ve iletme araçları Ana aşamaları takip edelim.

1. Astronomi.

Ünlü "en küçük kareler yöntemi" astronomide kullanılmak üzere geliştirilmişti (Legendre 1805, Gauss 1815).Başlangıçta kullanıldığı temel problem, küçük bir gezegen üzerinde yapılması gereken kuyruklu yıldızların yörüngelerinin hesaplanmasıydı. gözlem sayısı. Yörünge tipini (elips veya hiperbol) güvenilir bir şekilde belirlemenin ve parametrelerini doğru bir şekilde hesaplamanın zor olduğu açıktır, çünkü yörünge yalnızca küçük bir alanda gözlemlenir. Yöntemin etkili, çok yönlü olduğu kanıtlandı ve öncelik konusunda hararetli bir tartışma başlattı. Jeodezi ve haritacılıkta kullanılmaya başlandı. Şimdi, elle hesaplama sanatı kaybolduğunda, 1880'lerde İngiltere'de dünya okyanuslarının haritalarını derlerken, birkaç denklemden oluşan yaklaşık 6.000 denklemden oluşan bir sistemi sayısal olarak çözmek için en küçük kareler yönteminin kullanıldığını hayal etmek zor. yüz bilinmeyen

19. yüzyılın ikinci yarısında, Maxwell, Boltzmann ve Gibbs'in çalışmalarında, çok sayıda parçacık içeren (Avogadro sayısı kadar) nadir görülen sistemlerin durumunu tanımlayan istatistiksel mekanik geliştirildi. Daha önce rastgele bir değişkenin dağılımı kavramı esas olarak ölçüm hatalarının dağılımı ile ilişkilendirildiyse, şimdi dağılımın çok farklı miktarlar olduğu ortaya çıktı - hız, enerji, ortalama serbest yol.

3. Biyometri.

1870-1900'da Belçikalı Quetelet ve İngiliz Francis Galton ve Carl Pearson yeni bir bilimsel yön kurdu - biyometri, ilk kez canlı organizmaların sınırsız değişkenliği ve nicel özelliklerin kalıtımı sistematik ve nicel olarak incelenmeye başlandı. Bilimsel dolaşıma yeni kavramlar getirildi - gerileme ve korelasyon.

Bu nedenle, 20. yüzyılın başına kadar, olasılık teorisinin ana uygulamaları bilimsel araştırmalarla ilişkilendirildi. Uygulamaya giriş - tarım, sanayi, tıp - 20. yüzyılda gerçekleşti.

4. Tarım.

İngiltere'de 20. yüzyılın başında, çeşitli tarım yöntemlerinin etkinliğini nicel olarak karşılaştırmak için görev belirlendi. Bu sorunu çözmek için, planlama deneyleri teorisi ve varyans analizi geliştirildi. İstatistiklerin bu zaten tamamen pratik kullanımının geliştirilmesindeki ana değer, bir astronom (!) Eğitim yoluyla ve daha sonra bir çiftçi, istatistik, genetik, İngiliz Kraliyet Derneği başkanı olan Sir Ronald Fisher'a aittir. Pratikte geniş uygulama için uygun olan modern matematiksel istatistikler İngiltere'de geliştirilmiştir (Carl Pearson, Student, Fisher). Bayes yaklaşımını kullanmadan bilinmeyen bir dağılım parametresini tahmin etme problemini ilk çözen bir öğrenci oldu.

5. Sanayi. Üretimde istatistiksel kontrol yöntemlerinin tanıtılması (Shewhart kontrol çizelgeleri). Gerekli ürün kalitesi testlerinin sayısını azaltmak. Matematiksel yöntemler zaten o kadar önemli ki sınıflandırılmaya başladılar. Böylece, test sayısını azaltmaya izin veren yeni bir tekniği açıklayan bir kitap (Wald'ın "Sıralı Analizi") ancak 1947'de İkinci Dünya Savaşı'nın sona ermesinden sonra yayınlandı.

6. Tıp. İstatistiksel yöntemlerin tıpta yaygın kullanımı nispeten yakın zamanda (20. yüzyılın ikinci yarısı) başlamıştır. Etkili tedavi yöntemlerinin (antibiyotikler, insülin, etkili anestezi, yapay dolaşım) geliştirilmesi, etkinliklerini değerlendirmek için güvenilir yöntemler gerektiriyordu. Yeni bir kavram olan “Kanıta Dayalı Tıp” ortaya çıktı. Birçok hastalığın tedavisine yönelik daha resmi, nicel bir yaklaşım gelişmeye başladı - protokollerin, kılavuz ilkelerin tanıtımı.

1980'lerin ortalarından bu yana, olasılık teorisinin tüm uygulamalarında devrim yaratan yeni ve önemli bir faktör ortaya çıktı - hızlı ve uygun fiyatlı bilgisayarların yaygın kullanımı. Bir (!) Modern kişisel bilgisayarın hız ve bellek açısından tüm (!) SSCB ve ABD bilgisayarlarını geride bıraktığını hesaba katarsak, gerçekleşen devrimin büyüklüğü hissedilebilir. nükleer santrallerin inşası ile ilgili zaten uygulandı , aya uçuşlar, bir termonükleer bomba oluşturulması. Şimdi, doğrudan deney yaparak, daha önce elde edilemeyen, düşünülemez olan sonuçları elde edebilirsiniz.

7. Biyoinformatik. 1980'lerden beri bilinen protein ve nükleik asit dizilerinin sayısı hızla artmıştır. Birikmiş bilgilerin hacmi, yalnızca bu verilerin bilgisayar analizinin bilgi çıkarma problemini çözebileceği kadardır.

8. Görüntülerin tanınması.

Tanıtım

Şans, şans - onlarla her gün buluşuyoruz: tesadüfi bir toplantı, tesadüfi bir arıza, tesadüfi bir keşif, tesadüfi bir hata. Bu seri sonsuza kadar devam ettirilebilir. Görünüşe göre matematiğe yer yok, ancak bilim burada bile ilginç kalıplar keşfetti - bir kişinin rastgele olaylarla karşılaştığında kendinden emin hissetmesini sağlar.
Olasılık teorisi, rastgele olayların doğasında bulunan kalıpları inceleyen bir matematik dalı olarak tanımlanabilir. Olasılık teorisi yöntemleri, ölçüm sonuçlarının matematiksel olarak işlenmesinde ve ayrıca ekonomi, istatistik, sigortacılık ve kuyruğa ilişkin birçok problemde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu nedenle, olasılık teorisinin havacılıkta da çok geniş uygulama bulduğunu tahmin etmek zor değil.
Gelecekteki tez çalışmam uydu navigasyonu ile ilgili olacak. Sadece uydu navigasyonunda değil, aynı zamanda geleneksel navigasyon araçlarında da, radyo ekipmanının operasyonel ve teknik özelliklerinin çoğu nicel olarak olasılık yoluyla ifade edildiğinden, olasılık teorisi çok geniş bir uygulama almıştır.

1. Menşe tarihi

Şimdi, kusurlu bir biçimde de olsa, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığını nicel olarak ölçme olasılığı hakkında soruyu ilk kimin ortaya attığını belirlemek zaten zor. Bir şey açıktır ki, bu soruya az çok tatmin edici bir cevap uzun zaman aldı ve birkaç kuşak seçkin araştırmacının hatırı sayılır çabalarını aldı. Araştırmaları kişinin kendini basit ve şeffaf matematiksel modellerle sınırlamasına izin verdiği için, araştırmacılar uzun bir süre boyunca çeşitli oyunları, özellikle de zar oyunlarını düşünmekle sınırlı kaldılar. Bununla birlikte, birçok kişinin daha sonra Christian Huygens tarafından formüle edilen şeyi çok iyi anladığını belirtmek gerekir: “... Konunun dikkatli bir şekilde incelenmesi üzerine okuyucunun, onun sadece oyunla uğraştığını değil, aynı zamanda çok ilginç ve derin bir teorinin temelleri burada atılıyor."
Olasılık teorisinin daha da ilerlemesinde, hem doğal bilimsel hem de genel felsefi karaktere ilişkin derin değerlendirmelerin önemli bir rol oynadığını göreceğiz. Bu eğilim bugün de devam ediyor: pratik konuların - bilimsel, endüstriyel, savunma - olasılık teorisine nasıl yeni sorunlar getirdiğini ve fikir, kavram ve araştırma yöntemlerinin cephaneliğini genişletme ihtiyacına yol açtığını sürekli olarak gözlemliyoruz.
Olasılık teorisinin gelişimi ve onunla birlikte olasılık kavramının gelişimi aşağıdaki aşamalara ayrılabilir.
1. Olasılık teorisinin tarihöncesi. Başlangıcı yüzyıllarda kaybolan bu dönemde, daha sonra olasılık teorisi olarak anılacak olan temel problemler ortaya atıldı ve çözüldü. Bu dönemde özel bir yöntem ortaya çıkmaz. Bu dönem Cardano, Pacioli, Tartaglia ve diğerlerinin çalışmalarıyla sona erer.
Antik çağda olasılık kavramlarıyla karşılaşıyoruz. Democritus, Lucretius Kara ve diğer antik bilim adamları ve düşünürlerde, küçük parçacıkların (moleküllerin) düzensiz hareketi ile maddenin yapısı hakkında derin tahminlere sahibiz, eşit olası sonuçlar hakkında akıl yürütüyoruz, vb. Antik çağda bile, bazı istatistiksel materyalleri toplama ve analiz etme girişimleri yapıldı - tüm bunlar (ve rastgele olaylara dikkatin diğer tezahürleri), olasılık kavramı da dahil olmak üzere yeni bilimsel kavramların geliştirilmesi için temel oluşturdu. Ancak antik bilim, bu kavramı izole etme noktasına gelmedi.
Felsefede, tesadüfi, gerekli ve mümkün olan soru her zaman ana sorunlardan biri olmuştur. Bu problemlerin felsefi gelişimi, olasılık kavramının oluşumunu da etkilemiştir. Genel olarak, Orta Çağ'da, karşılaşılan olasılıksal akıl yürütmeyi sulandırmak için yalnızca dağınık girişimler vardır.
Pacioli, Tartaglia ve Cardano'nun çalışmalarında, başta kombinatoryal olanlar olmak üzere bir dizi belirli sorunu çözerken yeni bir kavramı - olasılık oranı - vurgulamaya yönelik bir girişimde bulunuldu.
2. Bir bilim olarak olasılık teorisinin ortaya çıkışı. 17. yüzyılın ortalarında. İstatistiksel uygulamada, sigorta şirketlerinin uygulamalarında, gözlem sonuçlarının işlenmesinde ve diğer alanlarda ortaya çıkan olasılıksal konular ve sorunlar, güncel konular haline gelmesi nedeniyle bilim insanlarının ilgisini çekmiştir. Bu dönem öncelikle Pascal, Fermat ve Huygens isimleriyle ilişkilendirilir. Bu dönemde, matematiksel beklenti ve olasılık (olasılık oranı olarak) gibi belirli kavramlar geliştirilir, olasılığın ilk özellikleri belirlenir ve kullanılır: olasılıkların toplama ve çarpma teoremleri. Şu anda, olasılık teoremi sigorta işinde, demografide, gözlem hatalarını değerlendirmede, olasılık kavramını yaygın olarak kullanarak uygulama bulur.
3. Bir sonraki dönem, Bernoulli'nin, ilk limit teoreminin ilk kez kanıtlandığı "Varsayım Sanatı" (1713) adlı eserinin ortaya çıkmasıyla başlar - büyük sayılar yasasının en basit durumu. Moivre, Laplace, Gauss ve diğerlerinin çalışmaları 19. yüzyılın ortalarına kadar süren bu döneme aittir.Şu anda limit teoremleri ilgi odağındadır. Olasılık teorisi, doğa bilimlerinin çeşitli alanlarında yaygın olarak uygulanmaya başladı. Ve bu dönemde çeşitli olasılık kavramları (geometrik olasılık, istatistiksel olasılık) uygulanmaya başlasa da, klasik olasılık tanımı baskın bir konuma sahiptir.
4. Olasılık teorisinin gelişimindeki bir sonraki dönem, öncelikle St. Petersburg matematik okulu ile ilişkilidir. Olasılık teorisinin gelişiminin iki yüzyılı boyunca, ana başarıları limit teoremleriydi, ancak uygulamalarının sınırları ve daha fazla genelleme olasılığı açıklığa kavuşturulmadı. Başarıların yanı sıra, gerekçesinde önemli eksiklikler de tespit edildi, bu, olasılığın yeterince net bir şekilde anlaşılmamasıyla ifade ediliyor. Olasılık teorisinde, daha da geliştirilmesinin temel hükümlerin açıklığa kavuşturulmasını, araştırma yöntemlerinin güçlendirilmesini gerektirdiği bir durum yaratıldı.
Bu, Chebyshev başkanlığındaki Rus matematik okulu tarafından yapıldı. En büyük temsilcileri arasında Markov ve Lyapunov var.
Bu süre boyunca, olasılık teorisi limit teoremlerinin yaklaşık tahminlerini ve limit teoremlerine uyan rastgele değişkenler sınıfının bir uzantısını içerir. Şu anda, olasılık teorisinde bazı bağımlı rastgele değişkenler (Markov zincirleri) dikkate alınmaya başlıyor. Olasılık teorisinde karakteristik fonksiyonlar teorisi, momentler teorisi vb. gibi yeni kavramlar ortaya çıkmaktadır. Bu bağlamda doğa bilimlerinde yaygınlaşmıştır, öncelikle fizik ile ilgilidir. Bu dönemde istatistiksel fizik oluşturuldu. Ancak olasılıkçı yöntemlerin ve kavramların fiziğe girişi, olasılık teorisinin başarılarından oldukça uzaklaştı. Fizikte kullanılan olasılıklar matematikteki ile tam olarak aynı değildi. Mevcut olasılık kavramları, doğa bilimlerinin ihtiyaçlarını karşılamadı ve sonuç olarak, tek bir tanıma indirgenmesi zor olan çeşitli olasılık yorumları ortaya çıkmaya başladı.
19. yüzyılın başında olasılık teorisinin gelişimi. Başta olasılık kavramı olmak üzere mantıksal temellerini gözden geçirme ve netleştirme ihtiyacını doğurdu. Bu, fiziğin gelişmesini ve olasılık kavramlarının ve içindeki olasılık teorisinin aparatının kullanılmasını gerektiriyordu; Laplace tipinin klasik gerekçesinden memnuniyetsizlik vardı.
5. Olasılık teorisinin modern gelişim dönemi, aksiyomatiklerin kurulmasıyla başladı (aksiyomatik, herhangi bir bilimin aksiyomları sistemidir). Bu öncelikle pratik tarafından gerekliydi, çünkü olasılık teorisinin fizik, biyoloji ve diğer bilim alanlarının yanı sıra teknoloji ve askeri ilişkilerde başarılı bir şekilde uygulanması için, temel kavramlarını netleştirmek ve tutarlı bir sisteme getirmek gerekiyordu. . Aksiyomatik sayesinde olasılık teorisi, küme teorisi ile yakından ilişkili soyut-tümdengelimli bir matematik disiplini haline gelmiştir. Bu, olasılık teorisindeki araştırmaların genişliğine yol açtı.
Bu dönemin ilk eserleri Bernstein, Mises, Borel isimleriyle ilişkilendirilir. Aksiyomatiğin son kuruluşu XX yüzyılın 30'larında gerçekleşti. Olasılık teorisinin geliştirilmesindeki eğilimlerin analizi, Kolmogorov'un genel kabul görmüş bir aksiyomatik oluşturmasına izin verdi. Olasılıksal çalışmalarda küme teorisi ile analojiler önemli bir rol oynamaya başladı. Metrik fonksiyon teorisinin fikirleri, olasılık teorisine daha derinden nüfuz etmeye başladı. Küme-teorik kavramlara dayalı olasılık teorisinin aksiyomlaştırılması ihtiyacı ortaya çıktı. Bu aksiyomatik, Kolmogorov tarafından yaratıldı ve olasılık teorisinin nihayet tam teşekküllü bir matematik bilimi olarak güçlendirilmesine katkıda bulundu.
Bu dönemde, olasılık kavramı, insan faaliyetinin neredeyse tüm alanlarına nüfuz eder. Olasılığın çeşitli tanımları ortaya çıkar. Temel kavramların tanımlarının çeşitliliği, modern bilimin temel bir özelliğidir. Bilimdeki modern tanımlar, herhangi bir temel kavram için çok sayıda olabilen kavramların, bakış açılarının bir ifadesidir ve hepsi, tanımlanan kavramın bazı temel yönlerini yansıtır. Bu aynı zamanda olasılık kavramı için de geçerlidir.

2. Olasılığın klasik tanımının ortaya çıkışı

Olasılık kavramı modern bilimde büyük bir rol oynar ve bu nedenle genel olarak modern dünya görüşünün, modern felsefenin temel bir unsurudur. Bütün bunlar, bilimin genel hareketiyle yakından ilgili olan olasılık kavramının gelişimine dikkat ve ilgi uyandırır. Olasılık kavramları, birçok bilimin başarılarından önemli ölçüde etkilenmiştir, ancak bu kavram da onları dünya çalışmasına yaklaşımlarını iyileştirmeye zorlamıştır.
Temel matematiksel kavramların oluşumu, matematiksel gelişim sürecinde önemli aşamaları temsil eder. 17. yüzyılın sonuna kadar bilim, olasılığın klasik tanımına girmedi, ancak araştırmacıların ilgisini çeken belirli bir olaya elverişli şans sayısıyla çalışmaya devam etti. Cardano ve sonraki araştırmacılar tarafından not edilen bireysel girişimler, bu yeniliğin anlamının net bir şekilde anlaşılmasına yol açmadı ve tamamlanan eserlerde yabancı bir cisim olarak kaldı. Bununla birlikte, 18. yüzyılın otuzlu yaşlarında, klasik olasılık kavramı genel olarak kullanılmaya başlandı ve bu yılların bilim adamlarının hiçbiri kendilerini yalnızca bir olay için elverişli şansların sayısını saymakla sınırlayamazdı. Klasik olasılık tanımının getirilmesi, tek bir eylemin sonucu olarak ortaya çıkmadı, ancak formülasyonun sürekli bir şekilde iyileştirildiği, belirli sorunlardan genel duruma geçişin olduğu uzun bir zaman aldı.
Dikkatli bir çalışma, H. Huygens'in "On Calculations in Gambling" (1657) adlı kitabında bile, 0 ile 1 arasında ve olaya elverişli şans sayısının oranına eşit bir sayı olarak bir olasılık kavramı olmadığını göstermektedir. tüm olası olanların sayısına. Ve J. Bernoulli'nin The Art of Assumptions (1713) adlı incelemesinde, bu kavram, mükemmel bir biçimden uzak olmasına rağmen, ancak özellikle önemli olan, yaygın olarak kullanılmaktadır.
A. Moivre, Bernoulli tarafından verilen klasik olasılık tanımını aldı ve bir olayın olasılığını hemen hemen şimdi yaptığımız gibi belirledi. Şöyle yazdı: "Bu nedenle, payı bir olayın meydana gelme sayısı olacak ve payda, görünebileceği veya görünmeyebileceği tüm durumların sayısı olacak bir kesir oluşturuyoruz, böyle bir kesir fiili ifade edecektir. gerçekleşme olasılığı."

3. Olasılık teorisinin konusu
Gözlemlediğimiz olaylar (olgular) şu üç türe ayrılabilir: güvenilir, imkansız ve rastgele.
Belirli bir koşul kümesi S yerine getirildiğinde mutlaka gerçekleşecek olan bir olaya güvenilir denir.Örneğin, bir kap normal atmosfer basıncında ve 20 ° 'lik bir sıcaklıkta su içeriyorsa, o zaman "kaptaki su bir su içindedir. sıvı hal” güvenilirdir. Bu örnekte, ayarlanan atmosfer basıncı ve su sıcaklığı, S koşullarıdır.
Bir olay S koşul kümesi yerine getirildiğinde gerçekleşmezse imkansız denir.Örneğin, bir önceki örnekteki koşullar kümesi yerine getirildiğinde "kaptaki su katı haldedir" olayı kesinlikle olmayacaktır. .
Rastgele bir olay, bir dizi koşul S yerine getirildiğinde gerçekleşebilen veya gerçekleşmeyen bir olaydır. Örneğin, bir madeni para atılırsa, üzerine bir arma veya bir yazı olacak şekilde düşebilir. Bu nedenle, “madeni para atıldığında” arması” olayı düştü - rastgele. Her rastgele olay, özellikle "armanın" düşmesi, çok sayıda rastgele nedenin eyleminin bir sonucudur (örneğimizde: madeni paranın atılma kuvveti, madeni paranın şekli ve daha birçokları). ). Sayıları çok büyük olduğundan ve eylemlerinin yasaları bilinmediğinden, tüm bu nedenlerin sonucu üzerindeki etkiyi hesaba katmak imkansızdır. Bu nedenle, olasılık teorisi kendisine tek bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini tahmin etme görevini vermez - bunu yapamaz.
Aynı koşullar S altında birçok kez gözlemlenebilen rastgele olaylar düşünüldüğünde, yani kütle homojen rastgele olaylardan bahsediyorsak durum farklıdır. Yeterince fazla sayıda homojen rastgele olayın, belirli doğalarına bakılmaksızın, belirli yasalara, yani olasılık yasalarına uyduğu ortaya çıktı. Bu düzenliliklerin kurulması, olasılık teorisi ile ele alınmaktadır.
Bu nedenle, olasılık teorisinin konusu, kütle homojen rastgele olayların olasılık yasalarının incelenmesidir.

4. Olasılık teorisinin temel kavramları

Herhangi bir fenomen dizisinin genel bir teorisini geliştiren her bilim, dayandığı bir dizi temel kavramı içerir. Bu tür temel kavramlar olasılık teorisinde de mevcuttur. Bunlar: bir olay, bir olayın olasılığı, bir olayın sıklığı veya istatistiksel bir olasılık ve bir rastgele değişkendir.
Rastgele olaylar, bu olayların meydana gelme olasılığı ile ilişkili bir dizi koşul olduğunda meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaylardır.
Rastgele olaylar A, B, C, ... harfleriyle belirtilir. Söz konusu takımyıldızın her egzersizine test denir. Test sayısı süresiz olarak artabilir. Belirli bir test dizisinde belirli bir rastgele A olayının meydana gelme sayısının m'sinin bu dizideki toplam n test sayısına oranına, belirli bir test dizisinde A olayının meydana gelme sıklığı (veya sadece frekans) denir. A) olayının ve P * (A) ile gösterilir. Böylece, P * (A) = m / n.
Rastgele bir olayın sıklığı her zaman sıfır ile bir arasındadır: 0? P * (A)? 1.
Kitlesel rastgele olaylar, frekans kararlılığı özelliğine sahiptir: çeşitli homojen test serilerinde (her seride yeterince büyük sayıda test ile) gözlemlenen belirli bir rastgele olayın frekans değerleri, oldukça dar sınırlar içinde seriden seriye değişir.
Rastgele olayların incelenmesinde matematiksel yöntemlerin uygulanmasını mümkün kılan, her bir rastgele kütle olayına olasılığını atayan bu durumdur; olay değişkendir.
Rastgele bir A olayının olasılığı P (A) ile gösterilir. Rastgele bir olayın olasılığı, sıklığı gibi sıfır ile bir arasındadır: 0? (A)? 1 .
Rastgele değişken, üstlenilen bir işlemin sonucunu karakterize eden ve uygulanma koşulları ne kadar homojen olursa olsun çeşitli işlemler için farklı değerler alabilen bir değerdir.

5. Olasılık teorisinin modern dünyada uygulanması
Doğru bir şekilde istatistiksel fizikle başlamalıyız. Modern doğa bilimi, tüm doğal fenomenlerin istatistiksel bir yapıya sahip olduğu ve yasaların yalnızca olasılık teorisi açısından doğru bir şekilde formüle edilebileceği fikrinden yola çıkar. İstatistiksel fizik tüm modern fiziğin temeli oldu ve olasılık teorisi onun matematiksel aygıtı oldu. İstatistiksel fizikte, çok sayıda parçacığın davranışını belirleyen fenomenleri tanımlayan problemler düşünülür. İstatistiksel fizik, fiziğin çeşitli dallarında çok başarılı bir şekilde kullanılmaktadır. Moleküler fizikte, termal olayları açıklamak için kullanılır, elektromanyetizmada - cisimlerin dielektrik, iletken ve manyetik özellikleri, optikte bir termal radyasyon teorisi, ışığın moleküler saçılımı oluşturmayı mümkün kıldı. Son yıllarda, istatistiksel fiziğin uygulama alanları genişlemeye devam etti.
İstatistiksel temsiller, nükleer fizik fenomenlerinin matematiksel çalışmasını hızlı bir şekilde formüle etmeyi mümkün kıldı. Radyofiziğin ortaya çıkışı ve radyo sinyali iletiminin incelenmesi, yalnızca istatistiksel kavramların önemini arttırmakla kalmadı, aynı zamanda matematik biliminin kendisinin ilerlemesine de yol açtı - bilgi teorisinin ortaya çıkışı.
Kimyasal reaksiyonların doğasını anlamak, dinamik denge de istatistiksel kavramlar olmadan imkansızdır. Tüm fiziksel kimya, matematiksel düzeneği ve sunduğu modeller istatistikseldir.
Deneysel koşullarda gözlemci için her zaman hem rastgele gözlem hatalarının hem de gözlemci için rastgele değişikliklerin eşlik ettiği gözlem sonuçlarının işlenmesi, araştırmacıları 19. yüzyılda bir gözlem hataları teorisi oluşturmaya yönlendirdi ve bu teori tamamen istatistiksel kavramlar.
Astronomi, çeşitli bölümlerinde istatistiksel bir aygıt kullanır. Yıldız astronomisi, maddenin uzaydaki dağılımının incelenmesi, kozmik parçacık akışlarının incelenmesi, güneş lekelerinin (güneş aktivitesinin merkezleri) güneşin yüzeyindeki dağılımı ve çok daha fazlası, istatistiksel temsillerin kullanılmasını gerektirir.
Biyologlar, aynı türden canlıların organlarının boyutlarındaki yayılmanın, genel olasılık yasaları teorisine mükemmel bir şekilde uyduğunu fark ettiler. Modern genetiğin temelini oluşturan ünlü Mendel yasaları, olasılıksal ve istatistiksel akıl yürütmeyi gerektirir. Heyecanın iletilmesi, hafıza aygıtı, kalıtsal özelliklerin iletilmesi, bölgedeki hayvanların yerleşimi ile ilgili sorular, bir avcı ile bir av arasındaki ilişki gibi önemli biyoloji sorunlarının incelenmesi, iyi bir bilgi birikimi gerektirir. olasılık teorisi ve matematiksel istatistik.
Beşeri bilimler, dilbilim ve edebiyattan psikoloji ve ekonomiye kadar doğası gereği çok çeşitli disiplinleri birleştirir. İstatistiksel yöntemler, tarih araştırmalarında, özellikle arkeolojide giderek daha fazla yer almaya başlıyor. Eski halkların dilindeki yazıtları deşifre etmek için istatistiksel bir yaklaşım kullanılır. J. Champollion'u deşifre etmede yönlendiren fikirlereski hiyeroglif yazıtemelde istatistikseldir. Şifreleme ve şifre çözme sanatı, dilin istatistiksel yasalarının kullanımına dayanmaktadır. Diğer yönler, kelimelerin ve harflerin tekrarının incelenmesi, kelimelerdeki vurgunun dağılımı, belirli yazarların ve şairin dilinin bilgilendiriciliğinin hesaplanması ile ilgilidir. Yazarlığı belirlemek ve edebi sahtekarlıkları ortaya çıkarmak için istatistiksel yöntemler kullanılır. Örneğin,yazarlık M.A. Sholokhov "Sessiz Don" romanına dayanıyorolasılıksal ve istatistiksel yöntemler kullanılarak oluşturulmuştur. Bir dilin seslerinin sözlü ve yazılı konuşmada ortaya çıkma sıklığının ortaya çıkarılması, bilgi iletmek için belirli bir dilin harflerinin en uygun şekilde kodlanması sorununu gündeme getirmeyi mümkün kılar. Harflerin kullanım sıklığı, dizgi gişesindeki karakter sayısının oranını belirler. Daktilo arabasındaki ve bilgisayar klavyesindeki harflerin yeri, belirli bir dildeki harf kombinasyonlarının sıklığının istatistiksel olarak incelenmesiyle belirlenir.
Pedagoji ve psikolojinin birçok sorunu da olasılıksal-istatistiksel bir aygıtın dahil edilmesini gerektirir. Ekonomik konular toplumun ilgisini çekemez, çünkü gelişiminin tüm yönleri onunla ilişkilidir. İstatistiksel analiz olmadan, nüfusun büyüklüğündeki, ihtiyaçlarındaki, istihdamın doğasındaki, kitlesel talepteki değişikliklerdeki değişiklikleri tahmin etmek imkansızdır ve bu olmadan ekonomik faaliyetleri planlamak imkansızdır.
Ürün kalite kontrol konuları, olasılıksal ve istatistiksel yöntemlerle doğrudan ilişkilidir. Çoğu zaman, bir ürünü üretmek, kalitesini kontrol etmekten çok daha az zaman alır. Bu nedenle her ürünün kalitesini kontrol etmenin bir yolu yoktur. Bu nedenle, numunenin nispeten küçük bir kısmı ile partinin kalitesi yargılanmalıdır. İstatistiksel yöntemler, ürünlerin kalitesini test ederken hasara veya ölüme yol açarken de kullanılır.
Tarımla ilgili sorunlar uzun süredir istatistiksel yöntemlerin yaygın kullanımıyla çözülmüştür. Yeni hayvan ırkları, yeni bitki çeşitleri yetiştirmek, üretkenliği karşılaştırmak - bu, istatistiksel yöntemlerle çözülen sorunların tam bir listesi değildir.
Günümüzde istatistiksel yöntemlerin tüm yaşamımıza nüfuz ettiğini abartmadan söyleyebiliriz. Materyalist şair Lucretius Cara'nın "Şeylerin doğası üzerine" adlı ünlü çalışmasında, toz parçacıklarının Brown hareketi olgusunun canlı ve şiirsel bir açıklaması vardır:
"Buraya bakın: ne zaman güneş ışığı içeri sızarsa
Evlerimize ve karanlık ışınlarıyla kesiyor,
Boşlukta birçok küçük beden göreceksiniz, titreşiyor,
Parlak bir ışık parlaklığında ileri geri koşarlar;
Sanki sonsuz bir mücadele içinde, savaşlarda ve savaşlarda savaşırlar.
Aniden, dinlenmeyi bilmeden müfrezeler halinde kavgalara girerler.
Ya birleşiyor ya da ayrı sürekli tekrar ayrılıyor.
Bundan ne kadar acımasızca anlayabilirsiniz
Şeylerin kökenleri uçsuz bucaksız boşlukta buruşuyor.
Yani bir anlayış oluşturmaya yardımcı oldukları harika şeyler hakkında
Küçük şeyler, başarı için yolların ana hatlarını çiziyor,
Ayrıca, bu nedenle, dikkat etmeniz gerekir
Gün ışığında parıldayan bedenlerdeki kargaşaya
Ondan maddeyi de hareketi de öğreniyorsunuz"
Tek tek parçacıkların rastgele hareketi ile büyük kümelerinin düzenli hareketi arasındaki ilişkileri deneysel olarak incelemek için ilk fırsat, 1827'de botanikçi R. Brown, adını "Brown hareketi" olarak adlandırılan bir fenomen keşfettiğinde ortaya çıktı. Kahverengi gözlemlenen polen, mikroskop altında suda süspanse edildi. Şaşırtıcı bir şekilde, suda asılı kalan parçacıkların, herhangi bir dış etkiyi ortadan kaldırmak için en dikkatli çabalarla durdurulamayan sürekli düzensiz hareket halinde olduğunu buldu. Kısa süre sonra bunun, bir sıvı içinde asılı duran yeterince küçük parçacıkların ortak bir özelliği olduğu keşfedildi. Brownian hareketi, rastgele bir sürecin klasik bir örneğidir.

6. Olasılık ve hava taşımacılığı
Bir önceki bölümde, olasılık ve istatistik teorisinin çeşitli bilim alanlarındaki uygulamalarını inceledik. Bu bölümde olasılık teorisinin hava taşımacılığında uygulanmasına örnekler vermek istiyorum.
Hava taşımacılığı, hem uçağın kendisini hem de operasyonları için gerekli altyapıyı içeren bir kavramdır: havaalanları, sevk ve teknik hizmetler. Bildiğiniz gibi uçuş yapmak, faaliyetlerinde çeşitli bilim alanlarını kullanan ve bu alanların hemen hepsinde olasılık teorisinin yer aldığı birçok havalimanı servisinin ortak çalışmasının sonucudur. Olasılık teorisinin de yaygın olarak kullanıldığı navigasyon alanından bir örnek vermek istiyorum.
Uydu navigasyon, iniş ve iletişim sistemlerinin geliştirilmesi ile bağlantılı olarak, sistemin bütünlüğü, sürekliliği ve kullanılabilirliği gibi yeni güvenilirlik göstergeleri tanıtıldı. Tüm bu güvenilirlik göstergeleri, olasılık açısından nicelleştirilir.
Bütünlük - radyo mühendislik sisteminden alınan ve gelecekte uçak tarafından kullanılan bilgilere olan güven derecesi. Bütünlük olasılığı, arıza olasılığı ile tespit edilecek arıza olasılığının çarpımına eşittir ve uçuş saati başına 10 -7'ye eşit veya daha az olmalıdır.
Hizmetin sürekliliği, planlanan operasyonun yürütülmesi sırasında çalışma modunu kesintiye uğratmadan tüm sistemin işlevini yerine getirme yeteneğidir. En az 10 -4 olmalıdır.
Hazırlık, bir sistemin bir operasyon başlamadan önce işlevlerini yerine getirme yeteneğidir. Onam en az 0, 99 olmalıdır.
Çözüm
Olasılıkçı fikirler, bugün cansız doğa bilimlerinden toplum bilimlerine kadar tüm bilgi kompleksinin gelişimini teşvik eder. Modern doğa biliminin ilerlemesi, olasılıksal fikirlerin ve yöntemlerin kullanımı ve geliştirilmesinden ayrılamaz. Zamanımızda, olasılıksal yöntemlerin uygulanmadığı herhangi bir araştırma alanına isim vermek zordur.

bibliyografya
1. Wentzel E.Ş. Olasılık teorisi: Üniversiteler için ders kitabı. M.: Yüksekokul, 2006;
2. Gmurman V.E. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. Ders kitabı. üniversiteler için el kitabı. E: Yüksek Okul, 1998;
3. Gnedenko B.V. Olasılık teorisi üzerine deneme. M.: Editoryal URSS, 2009;
4. Maystrov L.Ye. Olasılık teorisinin gelişimi. M.: Bilim, 1980;
5. Maystrov L.Ye. Olasılık teorisi. Tarihsel kroki. Moskova: Nauka, 1967
6. Sobolev E.V. Uçuşların radyo teknik desteğinin organizasyonu (bölüm 1). Petersburg, 2008;
7. http:// verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/ p8aa1.html
8.http: //shpora.net/index.cgi? hareket = görünüm ve kimlik = 4966